PARADA 3

PARADA 3: PARÍS

FRANÇOIS VIÉTE MUERE EN PARÍS EN 1603. VAMOS A RESALTAR AQUÍ UNA FACETA POCO CONOCIDA DE ESTE GRAN MATEMÁTICO.

HACIA FINAL DEL SIGLO XVI LOS FRANCESES CONSIGUIERON DESCIFRAR LOS MENSAJES CODIFICADOS QUE EL REY DE ESPAÑA FELIPE II ENVIABA A SUS TROPAS EN EUROPA, ESTO SE DEBIÓ A LA APORTACIÓN DE VIÉTE.

ACTIVIDAD 1

CIFRADO DE MENSAJES.(TRABAJO EN GRUPO)

HPBNBPH.SK.HBHKKV

Proceso para cifrar un mensaje por el método de Cesar

Mensaje: APRENDEMOS A CIFRAR

1.- Seleccionamos nuestro abecedario

{A, B, C, D, E, F, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O ,P, Q, R ,S, T ,U ,V ,W, X ,Y ,Z}

¿Se entienden bien las frases? , al menos tendríamos que poner, espacio blanco y punto.

{A, B, C, D, E, F, , H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O ,P, Q, R ,S, T ,U ,V ,W, X ,Y ,Z, “ “ , “ .” , ”, ”}, a esta lista le llamamos lista de caracteres.

2.- Como queremos operar con las letras, le vamos a asignar a cada letra un número

Aà0	Bà1	Cà2	Dà3	Eà4
Fà5	Gà6	Hà7	Ià8	Jà9
Kà10	Là11	Mà12	Nà13	Ñà14
Oà15	Pà16	Qà17	Rà18	Sà19
Tà20	Uà21	Và22	Wà23	Xà24
Yà25	Zà26	ESPACIO BLANCOà27	. à28	, à29

3.- Esta asignación nos permite trabajar con el conjunto (Z₃₀)

Z₃₀ ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29}

Y nuestro mensaje queda:

Y como sólo podemos trabajar con 30 números, no podemos sumarlos ni multiplicarlos de forma tradicional porque nos podríamos salir del conjunto.

4.- Definimos la forma de operar en Z₃₀ (cambiamos las reglas del juego )

Para sumar dos número hacemos lo siguiente:

Seleccionamos los números que queremos sumar

Ejemplo: 23, y 12

13+12 =35

Hacemos la división entera con cociente 30 y nos quedamos con el resto

El resto es 5

Este resto es el que consideramos como suma de x + y

Entonces 23+12 decimos que vale 5

Para multiplicar dos números hacemos lo siguiente:

Seleccionamos los números que queremos multiplicar

Ejemplo: 23 y 12

23.12= 276

Hacemos la división entera del producto con cociente 30 y nos quedamos con el resto

El resto es 6

Este resto es el que consideramos como producto de x, y

Entonces 23. 12 decimos que vale 6

Practica sumando y multiplicando distintos número de Z₃₀

Si el mensaje lo mandamos:

0 16 18 4 13 3 4 12 15 19 27 0 27 2 8 5 18 0 18

es muy fácil de saber lo que nos dicen, hasta ahora no hemos cifrado, sólo hemos preparado el mensaje para cifrarlo.

5.- Ahora vamos a cifrar por el método Cesar

Consiste en lo siguiente

Vamos a transformar un número de Z₃₀ por otro de Z₃₀

Matemáticamente decimos que vamos a definir una función Z₃₀ à Z₃₀

La forma de transformar es la siguiente

X à a. X + b

Pero la suma y producto es el que acabamos de definir

Tenemos que elegir a y b, por ejemplo a = 7 y b = 5

Ejemplo:

6.7 + 5 pero a 42 le asociamos 12 y 12 + 5 = 17

Aplicamos esta transformación a cada uno de los números del mensaje

0	à	7.0+5 -> 5	12	à	8	à
16	à	7.16+5 -> 27	15	à	5	à
18	à	11	19	à	18	à
4	à	2	27	à	0	à
13	à	6	0	à	18	à
3	à	26	27	à
4	à		2	à

Pasamos esos números a sus letras correspondientes:

5	27	11	2	6	26

Y ya tenemos el mensaje cifrado.

Proceso para descifrar un mensaje por el método de Cesar

Ya tenemos el mensaje cifrado. Ahora nuestro amigo tendrá que descifrarlo si quiere entenderlo, pero para hacerlo tendrá que deshacer lo que nosotros hemos hecho.

¿Lo intentamos con otro mensaje? DCLDOF.ÑDRYTÑKCGSBTGF

Pasamos esas letras a sus números correspondientes:

Tenemos que realizar la función inversa de la anterior, si f (x) = a.x + b, entonces, el inverso será una función que cumpla:

X à a.X + b à X

Luego si pensamos un poco tenemos que hacer lo siguiente restar b y dividir por a ¿cómo restamos y dividimos si no podemos salirnos de Z₃₀?

¿Cuál es el resultado de hacer 25-12?

¿Cuál es el resultado de hacer 26 dividido entre 7?

0	opuesto	0	15	opuesto		-----	0	inverso	No	------	15	inverso
1	opuesto	29	16	opuesto			1		1		16
2	opuesto	28	17	opuesto			2				17
3	opuesto		18	opuesto			3				18
4	opuesto		19	opuesto	11		4				19	19
5	opuesto		20	opuesto			5				20
6	opuesto		21	opuesto			6				21
7	opuesto		22	opuesto			7		13		22
8	opuesto		23	opuesto			8				23
9	opuesto	21	24	opuesto			9				24
10	opuesto		25	opuesto			10				25
11	opuesto		26	opuesto			11		11		26
12	opuesto	18	27	opuesto			12				27
13	opuesto		28	opuesto			13		7		28
14	opuesto		29	opuesto	1		14				15

¿sabes ya el resultado de 25 – 12? El resultado es ………..

¿sabes ya el resultado de ? El resultado es …………….

Si hemos cifrado con : f(X) = 7 .X +5,

tenemos que descifrar con la función: f^-1 (Y ) = = (Y+25) . 13

pero ojo, no nos podemos salir de Z₃₀

Vamos a empezar a descifrar:

letra	número	Descifrado	letra
D	3	(3+25).13 à 4	E
C	2	(2+25).13à 21	U
L	11	(11+25).13à 18	R
D	3
O	15
F	5
.	28
Ñ	14
D	3
R	18
Y	25	20
T	20		0
Ñ	14
K	10
C	2
G	6
S	19
B	1
T	20
G	6
F	5		A

¿Podemos descifrar el título de la sesión de trabajo?

Nos dicen lo siguiente:

Se ha cifrado un mensaje con la función f(x) = 3 x + 7 y considerando un alfabeto de 30 caracteres, el resultado es el mensaje:

HPBNBPH.SK.HBHKKV

Lo tenemos que descifrar con la función : f(y) =

Si trabajamos con 30 caracteres, ¿Cuáles son los valores de a que podemos usar?

Si trabajamos con 29 caracteres,

¿Podríamos descifrar un mensaje cifrado con a = 3 y b = 7 ?