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Principales Distribuciones de una variable aleatoria discreta.


Esquema

1. Distribución Uniforme

2. Distribución Binomial.

3. Distribución Polinomial

4. Distribución de Poisson

5. Distribución Hipergeométrica

6. Distribución geométrica o de Pascal

7. Distribución Binomial negativa.


Como se sabe, la ley de probabilidad de una variable aleatoria discreta X está bien definida si se conoce su distribución de probabilidad P(X=xi); i = 1, 2, …, n. O bien, si se conoce su función de distribución F(x), teniendo que:

Distribución Uniforme.

Una variable aleatoria discreta X que toma valores enteros 1, 2, …, n con probabilidades: P(X=k)=1/n; k=1, 2, …, n recibe el nombre de variable uniforme discreta y su distribución de probabilidad distribución uniforme discreta.

a)      Depende de un solo parámetro n.

b)      Su media y varianza son:

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Distribución Binomial.

Supongamos un experimento aleatorio S y consideremos asociado con él un suceso A de probabilidad p y sea A* el suceso contrario, cuya probabilidad será q=1-p. Para distinguirlos con mayor facilidad, al suceso A lo llamaremos éxito, y al suceso A* fracaso.

Repitamos el experimento en las mismas condiciones n veces y supongamos que:

a)      El resultado de cada ensayo es independiente de los resultados anteriores.

b)      La probabilidad de A permanece constante y no varía de una prueba a otra..

Todo experimento que tenga esta características diremos que sigue el modelo de la distribución binomial.

A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas del experimento aleatorio la llamaremos variable aleatoria binomial. Representaremos por B(n, p) a la variable de la distribución, siendo n y p los parámetros.

Función de probabilidad de la distribución Binomial.

La variable aleatoria que expresa el número de éxitos en n pruebas, es una variable aleatoria discreta cuyos valores varían de 0, 1, 2, …, n. Y las probabilidades con que toman dichos valores se calculan de la siguiente forma:                                              

Media y varianza de la distribución binomial.

a)      Media:

b)        Varianza:

En ella hay que observar:

c)      Es simétrica si p=q. Si p<q asimetría a la derecha; si p>q, asimetría a la izquierda. Cuando n ® ¥ la distribución tiende a ser simétrica (distribución normal).

d)      Los valores de P(X=k) están tabulados para valores de p comprendidos entre 0 y 0.5. Si p>0.5, hay que tener en cuenta que B(n, k, p) = B(n, n-k, q).

Ajuste.

El problema del ajuste es el de buscar una distribución binomial que “mejor” se adapta a unos datos, es decir, se ha de calcular el valor del parámetro p para el cual las probabilidades binomiales obtenidas sean las mas cercanas posibles a los datos. El procedimiento que se sigue es igualar la media de la muestra a la media de la población, con lo que tenemos:

Con este valor de p se calculan las correspondientes probabilidades y se comprueba si el ajuste es bueno. Para medir la bondad del ajuste de una manera objetiva existen métodos matemáticos que se tratarán más adelante.

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Distribución polinomial.

Es una generalización de la distribución binomial para el caso de que en cada prueba se consideren k sucesos excluyentes A1, A2, …, Ak con probabilidades respectivas p1, p2, …, pk siendo la suma de todas igual a la unidad.

Supongamos que se realizan sucesivamente n pruebas independientes de este tipo y consideremos las variables Xi = ”Número de veces que ocurre el suceso Ai en las n pruebas”.

A la variable k-dimensional (X1, X2, …, Xk) se le denomina variable polinomial o multinomial.

Para hallar su función de probabilidad P(X1=n1, X2=n2, …, Xk=nk) con

 consideremos uno de sus sucesos favorables:

En ella hay que observar:

a)      Depende de k parámetros n, p1, p2, …, pk-1.

b)      Si el experimento consiste en extracciones de una urna, estas han de ser con reemplazamiento para mantener las probabilidades de los sucesos Ai constantes a lo largo de todas las pruebas.

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Distribución de Poisson.

Una variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson si puede tomat valores enteros 0, 1, 2, …, n, …, con probabilidades:

En esta distribución hay que observar:

a)      Depende de un solo parámetro.

b)      Su media, varianza son

c)      Es una buena aproximación de la binomial cuando n grande y p pequeño:

 

En general si n>50 y p<0.1 ó n.p<5 la distribución de Poisson es una buena aproximación de la Binomial.

d)      La distribución de Poisson presenta una ligera asimetría hacia la izquierda. Cuando n tiende hacia infinito tiende a ser simétrica (distribución normal).

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Distribución Hipergeométrica.

Consideremos una población de N elementos de dos clases A y A* excluyentes, de los cuales nA son de la clase A y nA* son de la Clase A*, con nA + nA* = N.

Al tomar un elemento de esta población la probabilidad de que proceda de una u otra clase es:

Sea ahora el experimento de tomar n elementos consecutivos de una población sin reemplazamiento. A la variable aleatoria X= “ número de elementos de la clase A en la muestra de tamaño n” se le denomina variable hipergeométrica.

Para hallar su función de probabilidad P(X=k) consideremos uno de los sucesos favorables:

Luego

En ella hay que observar

a)      Depende de los parámetros N, n, p

b)      Su media y varianza son:

c)      Se diferencia de la binomial en que, en aquella las probabilidades son constantes a lo largo de las pruebas(extracciones con reemplazamiento) mientras que en la hipergeométrica, varían de una prueba a otra (extracciones sin reemplazamiento).

d)      Si N es grande respecto de n, las probabilidades varían muy poco de una prueba a la siguiente, por lo que en estos casos se puede decir que la variable hipergeométrica sigue aproximadamente una distribución binomial, es decir:

Se conviene en sustituirla cuando n/N<0.1

Por otra parte y de manera análoga a la distribución polinomial, si tenemos una población con N elementos repartidos en k clases excluyentes A1, A2, …, Ak con N1 elementos de la clase A1, N2 elementos de la clase A2, …, Nk elementos de la clase Ak siendo N1+N2+ …+ Nk = N, al tomar consecutivamente n elementos sin reemplazamiento y llamando Xi = “Número de elementos que hay de la clase Ai en la muestra de tamaño n” la variable k-dimensional (X1, X2, …, Xk) tiene por función de probabilidad:

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Distribución geométrica o de Pascal

Sea el experimento consistente en la realización  sucesiva de pruebas de Bernoulli. A la variable X= “número de la prueba en la que aparece por primera vez el suceso A” se le denomina variable geométrica. Ara hallar la probabilidad de P(X=k), hay que notar que esta probabilidad es la del suceso  luego P(X=k)=qk-1.p

a)      Esta distribución depende de un solo parámetro p.

b)      Su media y varianza son

c)      Si el experimento consiste en extracciones de una urna estas han de ser con reeemplazamiento.

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Distribución Binomial negativa.

Sea X = “número de pruebas en que aparece el suceso A* hasta la enésima aparición del suceso A”.

Para hallar la probabilidad del suceso P(X=k), consideremos uno de los sucesos favorables:

luego:

En ella hay que observar:

a)      Depende de dos parámetros n y p.

b)      Su media y varianza son:

c)      Si el experimento consiste en extracciones de una urna, estas han de ser con reemplazamiento.

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