Examen modelo 4 de  1997

Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Instrucciones

Duración: 1 HORA Y 30 MINUTOS

Elige entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B, sin mezclar los de una opción con los de la otra. Cada ejercicio vale 2'5 puntos. Contesta las preguntas razonando tus conclusiones; la mera respuesta numérica no vale para obtener la puntuación máxima de cada apartado.

Por favor, escribe de forma ordenada y con letra clara. Se permite el uso de calculadoras.

modelo 4 de 1997 - Opción A

Ejercicio 1. Considera la función f : R → R definida por f(x) = (x - 2)e x.

(a) Determina los intervalos en los que la función f es creciente

(b) Dibuja la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x = 1 y x = 3..

(c) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior

Ejercicio 2. Una cierta función p se define como el cociente de dos funciones derivables f y g, es decir. p(x) = f(x)/g(x). En un punto a de su dominio la función p tiene un mínimo relativo y sabemos que f ' (a) = 6 y g ' (a) = 2. ¿Puedes obtener el valor de p ' (a)? Razona tu respuesta

Ejercicio 3. Sabiendo que la matriz A verifica la relación

resuelve el sistema

Ejercicio 4.- Considera el tetraedro formado por el origen de coordenadas y los tres puntos en los que el plano π : 2x + 3y + 6z - 6 = 0 corta a los ejes coordenados.

(a) Describe un procedimiento para calcular el volumen del tetraedro y calcula efectivamente su valor.

(b) Calcula razonadamente las coordenadas del punto simétrico al origen de coordenadas respecto al plano π .

modelo 4 de 1997-Opción B

Ejercicio 1. Una locomotora sale de una estación y viaja durante una hora a lo largo de una trayectoria rectilínea. La velocidad de la locomotora al cabo de t horas viene dada en km./h., por la fórmula

v(t) = 400t3 -1200t2 + 800t ( 0 ≤ t ≤ 1 )

(a) Calcula el espacio total que recorre la locomotora.

(b) Determina la velocidad máxima que alcanza la locomotora y el instante en el que lo hace.

Ejercicio 2. Considera la función valor absoluto, es decir, la función f : R → R dada por f(x) = |x| .

(a) Estudia la derivabilidad de f..

(b) Dibuja la gráfica de f.

(b) Halla

Ejercicio 3. Considera los puntos P = ( 1, 1, 1 ) y Q = ( -1, -1, 2 )

(a) Halla la ecuación del lugar geométrico de los untos que se encuentran a igual distancia del punto P que del punto Q..

(b) Halla la ecuación del plano que corta perpendicularmente y en su punto medio al segmento que une los puntos P y Q.

Ejercicio 4. Sea la matriz

(a) Comprueba que se verifica A2 - 2A + I = O, siendo I la matriz identidad de orden 3.

(b) Usando la igualdad anterior, calcula razonadamente A -1 y A2.