Examen modelo 4 de sobrantes de 2000

Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Instrucciones

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

modelo 4 de sobrantes de 2000 - Opción A

Ejercicio 1. Considera la función f: R → R definida por f(x) =

(a) [ 1'5 puntos] Calcula los límites laterales de f en x = 0. ¿Es continua f en x=0?

(b) [ 1 punto] Calcula el valor de la derivada fe f en x = 1.

Ejercicio 2. Considera la función f: R → R definida por f(x) = (1+x)ex.

(a) [ 1'5 puntos] Calcula f(x)dx.

(b) [ 1 punto] Calcula una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (0,3).

Ejercicio 3. [ 2'5 puntos] Halla las ecuaciones de la recta que se apoya perpendicularmente en las rectas r y s definidas respectivamente por x-1 = y-2 =(x-1)/(-2) ; (x-4)/(-1) = (y+1)/3 = z/2

Ejercicio 4.- Considera las matrices A = , X = y U =

(a) [ 0'75 puntos] Halla los valores de x e y tales que AX = U.

(b) [ 0'75 puntos ] Halla la matriz A-1 y calcula A-1U.

(c) [ 1 punto] Encuentra los posibles valores de m para que los vectores A× y sean linealmente dependientes.

modelo 4 de sobrantes de 2000 - Opción B

Ejercicio 1. [ 2'5 puntos] Determina una función polinómica de grado 3 sabiendo que verifica que alcanza un máximo en x=1, que su gráfica pasa por el punto (1,1) y que la recta de ecuación y = x es tangente a su gráfica en el punto de abscisa x=0.

Ejercicio 2.  [ 2'5 puntos] Calcula la siguiente integral definida ¿Qué representa geométricamente?

Ejercicio 3. [ 2'5 puntos] Calcula el volumen de un cubo sabiendo que dos de sus caras están, respectivamente, en los planos 2x-2y+z-1=0 y 2x-2y+z-5=0.

Ejercicio 4.   Considera el sistema de ecuaciones .

(a) [ 1 punto] Halla todos los posibles valores del parámetro λ para los que el sistema correspondiente tiene al menos dos soluciones distintas.

(b) [ 1 punto] Resuelve el sistema para los valores de λ en el apartado anterior.

(c) [ 0'5 puntos] Discute el sistema para los restantes valores de λ .