Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada 

    Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 1 de 2008

Sean f : R → R y g : R → R las funciones definidas por

f(x) = x2 + ax + b y g(x) = ce -(x + 1)


Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto (−1, 2) y tienen en ese punto la misma recta tangente.
(a) [2 puntos] Calcula los valores de a, b y c.
(b) [0’5 puntos] Halla la ecuación de dicha recta tangente.

Solución

(a)

f(x) = x2 + ax + b y g(x) = ce -(x + 1)

Como se cortan en el punto (−1, 2), tenemos f(-1) = g(-1) = 2

Como en el punto (−1, 2) tienen la misma recta tangente, tienen la misma pendiente, es decir f’(-1) = g’(-1)

De f(-1) = g(-1) = 2

f(-1) = 1-a+b = 2

g(-1) = c.e0 = 2, de donde c = 2

De f’(-1) = g’(-1)

f’(x) = 2x + a, de donde f’(-1) = -2 + a

g’(x) = (-1)2e -(x + 1), de donde g’(-1) = (-1)2e 0 = -2 , igualando tenemos -2 + a = -2, por tanto a = 0.

Entrando en 1-a+b = 2 con a = 0, nos resulta b = 1.

Las funciones son f(x) = x2 + 1 y g(x) = 2e -(x + 1)

(b)

La recta tangente a f(x) en x = -1 es y – f(-1) = f’(-1)(x - (-1)).

f(x) = x2 + 1, f(-1) = 2.

f’(x) = 2x, f’(-1) = -2.

Sustituyendo tenemos que la recta tangente es y – 2 = – 2(x + 1)