Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

     Ejercicio 1 de la Opción B del modelo 1 de 2008

[2’5 puntos] Sea f : R → R la función definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Se sabe que f tiene un máximo local en x = 1, que el punto (0, 1) es un punto de inflexión de su gráfica y que . Calcula a, b, c y d.

Solución

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Esta función es continua y derivable, las veces que sean necesarias, en  .

Como tiene un máximo local en x = 1, nos dice que f ‘(1) = 0

Como (0, 1) es un punto de inflexión, nos dice que f(0) = 1 y que f ’’(0) = 0.

Además

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d; f ‘(x) = 3ax2 + 2bx + c; f ‘’(x) = 6ax + 2b.

De f (0) = 1, tenemos 1 = d, por tanto d = 1

De f ‘(1) = 0, tenemos 0 = 3a + 2b + c

De f ‘‘(0) = 0, tenemos 0 = 2b, por tanto b = 0

Sustituyendo los valores encontrados tenemos c = - 3a, por tanto f(x) = ax3 – 3ax + 1

De resulta a/4 –(3a)/2 + 1

Resolviendo la ecuación 9/4 = a/4 –(3a)/2 + 1, obtenemos a = -1 y por tanto c = -3(-1) = 3.

La función pedida es f(x) = -x3 + 3x + 1