Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

    Ejercicio 2 de la Opción B del modelo 1 de 2008

Sea g : (0, + ∞) → R la función dada por g(x) = ln x (ln denota logaritmo neperiano).

(a) [0’75 puntos] Justifica que la recta de ecuación y = (1/e)x es la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x = e.

(b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado anterior.

Solución

(a)

La recta tangente a g(x) en x = e es y – g(e) = g’(e)(x - e).

g(x) = ln(x), g(e) = ln(e) = 1.

g ‘(x) = 1/x, g ‘(e) = 1/e.

Sustituyendo tenemos que la recta tangente es y – 1 = (1/e)(x – e), es decir y = (1/e)x.

(b)

Sabemos que g(x) = ln (x) pasa por (1,0) y tiene x = 0+ como asíntota vertical.

Sabemos que y = (1/e)x es una recta que pasa por (0,0) y coincide con g(x) = ln(x) en x = e., y que está por encima.

Aunque no lo piden un esbozo de las gráficas es

El área pedida es

= (e2)/(2e) – [ (eln(e) - e) – (1ln(1) – 1) ] = [ (e/2) – 1 ] u2

Recordamos que es una integral por partes