Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

   Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008

Dado el sistema de ecuaciones lineales

x + λy − z = 0

2x + y + λz = 0

x + 5y − λz = λ +1

(a) [1’5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ.

(b) [1 punto] Resuélvelo λ = −1.

Solución

x + λy − z = 0

2x + y + λz = 0

x + 5y − λz = λ +1

(a)

La matriz de los coeficientes del sistema es y la matriz ampliada .

Si det(A) = |A| ¹ 0, rango(A) = rango(A*) = 3. El sistema es compatible y determinado y tiene solución única.

(1)( -λ - 5λ  ) – (λ  )(-2λ  - λ  ) + (-1)(9) = 3λ  2 - 6λ  - 9. (Lo he desarrollado por los adjuntos de la 1ª fila)

Resolvemos |A| = 0, es decir 3λ 2 - 6λ  - 9 = 0, de donde λ  = -1 y λ  = 3

Si λ ≠ -1 y λ ≠ 3 , tenemos |A| ≠ 0 con lo cual rango(A) = rango(A*) = 3, y por el teorema de Rouche el sistema es compatible y determinado y tiene solución única.

Si λ  = -1, y

En A como 9 ≠ 0, tenemos rango(A) = 2

En A* como , porque una columna es nula, tenemos rango(A*) = 2

Como rango(A)= 2 = rango(A*), por el teorema de Rouche el sistema es compatible e indeterminado, y tiene infinitas soluciones.

Si l = 3, y

En A como 9 ≠ 0, tenemos rango(A) = 2

En A* como 4(1 – 6) = - 20 ≠ 0, tenemos rango(A*) = 3

Como rango(A)= 2 ≠ rango(A*) = 3, por el teorema de Rouche el sistema es incompatible, y no tiene solución.

(b)

Nos piden resolverlo si λ  = -1.

Hemos visto que como rango(A)= 2 = rango(A*), por el teorema de Rouche el sistema es compatible e indeterminado, y tiene infinitas soluciones.

Como rango(A)= rango(A*) = 2, tenemos sólo dos ecuaciones (las dos últimas, con las que hemos calculado el rango de A) y dos incógnitas principales..

2x + y – z = 0

x + 5y + z = 0. Tomamos z = λ  Î R

A la 1ª ecuación le sumo la 2ª multiplicada por -2, y tenemos –9y = 3λ  . De donde y = (-1/3) λ  .

Sustituyendo en x + 5y + z = 0, nos resulta x = (2/3) λ  .

La solución del sistema es (x, y, z)= ( (2/3) λ  , (-1/3) λ  , λ  ) con λ  R