Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

    Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 1 de 2008

Los puntos A(−2, 3, 1), B(2, −1, 3) y C(0, 1, −2) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCD.

(a) [1 punto] Halla las coordenadas del vértice D.

(b) [1 punto] Encuentra la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal AC.

(c) [0’5 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo.

Solución

A(−2, 3, 1), B(2, −1, 3) y C(0, 1, −2) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCD

(a)

Si ABCD son los vértices de un paralelogramo. Los vectores libres AB y DC son iguales:

AB = (4, -4, 2)

DC = (-x, 1 – y, -2 –z)

Igualando coordenadas tenemos x = -4, y = 5 y z = -4. El punto que falta es D(-4, 5, -4)

(b)

La recta tiene por punto el B(2,-1,3) y como vector director el AC = (2,-2,-3). Su ecuación continua es

(c)

Tomamos para el plano como punto el B(2,-1,3) y como vectores paralelos independientes el BA = (-4,4,-2) y BC = (-2,2,5). Su ecuación paramétrica es

, con λ , μ R