Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

    Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 1 de 2008

Sea la recta r dada por

2x + y − mz =2

x − y − z = −m

y el plano π definido por x + my − z =1

(a) [1 punto] ¿Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos ?

(b) [1 punto] ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano ?

(c) [0’5 puntos] ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0?

Solución

Recta 2x + y − mz =2

          x − y − z = − m

Un vector director es el producto vectorial de los vectores normales de cada plano

u = i(-1 – m) – j(-2 + m) + k(-3) = (-1 – m, +2 - m, -3)

Plano x + my − z =1. Un vector normal es n = (1, m, -1)

(a)

Si la recta "r" es paralela al plano "π ", el vector director de "r", u, es perpendicular al vector normal de "π ", n, por tanto su producto escalar es cero

u•n = 0 = (-1 – m, +2 - m, -3)•(1, m, -1) = -1 - m + 2m - m2 + 3 = - m2 + m + 2 = 0. Resolviendo la ecuación resulta m = - 1 y m = 2. Es decir para m = - 1 y m = 2, la recta "r" es paralela al plano "p ".

(b)

Para que la recta esté contenida en el plano, tiene que ser paralela y por el apartado (a) hemos visto que m = - 1 o m = 2. Resolvemos el sistema recta – plano para m = -1 y m = 2 y aquel en el cual tenga infinitas soluciones (dos ecuaciones y tres incógnitas) será el valor de m buscado.

Si m = - 1, el sistema es

2x + y + z = 2

x − y − z = 1

x − y − z = 1. Si nos damos cuenta la 2ª y la 3ª ecuación son iguales y el sistema es

2x + y + z =2

x − y − z = 1, Sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas. Luego para m = -1 la recta r está contenida en el plano π .

Si m = 2, el sistema es

2x + y − 2z = 2

x − y − z = −2

x + 2y − z = 1. Si sumamos la 2ª y la 3ª ecuación, y después se la restamos a la primera nos queda

0x + 0y + 0z = 3, lo cual es absurdo, por tanto para m = 2 la recta es paralela al plano pero no está contenida en él.

(c)

Para m = 0, la recta corta al plano en un punto, que se obtiene resolviendo el sistema

2x + y = 2

x − y − z = 0

x − z = 1. 3ª ecuación– 2ª ecuación nos resulta y = 1,entrando en la 1ª ecuación x = 1/2, y después entrando en la 2ª ecuación nos queda z = - 1/2. El punto de corte es (x, y, z) = (1/2, 1, - 1/2).