Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

   Examen modelo 1 de sobrantes de 2008

Instrucciones

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Puedes usar calculadora científica (no programable, sin pantalla gráfica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

modelo 1 de sobrantes de 2008 - Opción A

Ejercicio 1. Sean f : R → R y g : R → R las funciones definidas por

f(x) = x2 + ax + b y g(x) = ce -(x + 1)

Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto (−1, 2) y tienen en ese punto la misma recta tangente.
(a) [2 puntos] Calcula los valores de a, b y c.
(b) [0’5 puntos] Halla la ecuación de dicha recta tangente.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Dadas las funciones f : [0,+ ∞ ) → R y g : [0, + ∞ ) → R definidas por

y

calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

Ejercicio 3. Dado el sistema de ecuaciones lineales

x + λy − z = 0

2x + y + λz = 0

x + 5y − λz = λ +1

(a) [1’5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ.

(b) [1 punto] Resuélvelo λ = −1.

Ejercicio 4.- Los puntos A(−2, 3, 1), B(2, −1, 3) y C(0, 1, −2) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCD.

(a) [1 punto] Halla las coordenadas del vértice D.

(b) [1 punto] Encuentra la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal AC.

(c) [0’5 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo.

modelo 1 de sobrantes de 2008 - Opción B

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f : R → R la función definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Se sabe que f tiene un máximo local en x = 1, que el punto (0, 1) es un punto de inflexión de su gráfica y que . Calcula a, b, c y d.

Ejercicio 2. Sea g : (0, + ∞) → R la función dada por g(x) = ln x (ln denota logaritmo neperiano).

(a) [0’75 puntos] Justifica que la recta de ecuación y = (1/e)x es la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x = e.

(b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado anterior.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Dadas las matrices

, y

Calcula la matriz P que verifica AP − B = CT (CT es la matriz traspuesta de C).

Ejercicio 4.  Sea la recta r dada por

2x + y − mz =2

x − y − z = −m

y el plano π definido por x + my − z =1

(a) [1 punto] ¿Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos ?

(b) [1 punto] ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano ?

(c) [0’5 puntos] ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0?