Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

    Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 4 de 2008

[2’5 puntos] Sea la recta r definida por

y sean los planos π1, de ecuación x + y + z =0, y π2, de ecuación y + z = 0. Halla la recta contenida en el plano π1, que es paralela al plano π2 y que corta a la recta r.

Solución

Como la recta pedida s está contenida en el plano π1, y es paralela al plano π2, su vector director v tiene que ser a la vez perpendicular al vector normal del plano π1, n1 = (1,1,1) y al vector normal del plano π2, n2 = (0,1,1). Es decir v es el producto vectorial de los vectores n1 y n2.

v = i (0) – j(1) + k(1) = (0, -1, 1)

La recta pedida es de la forma , con λ ∈ R y A(a,b,c) un punto de ella que vamos a determinar.

Como "s" corta a "r", verifica su ecuación, es decir

x = 1 = a, de donde a = 1

x = y, es decir 1 = b - l , de donde b = 1 + l

por tanto la recta es por ahora , es decir b = 1, y además como la recta está contenida en el plano π1, verifica su ecuación, es decir x + y + z =0, en nuestro caso 1 + 1 + c + l = 0, de donde c = - 2 - l .. Sustituyendo este valor en la z de la recta, tenemos z = - 2 - l + l = - 2, por tanto c = -2, el punto de la recta es A(a,b,c) = A(1,1,-2) y la recta pedida es con λ ∈ R