Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 6 de 2008
Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 6 de 2008
Se considera la recta r definida por mx = y = z + 2, (m ¹ 0),
y la recta s definida por (x − 4)/4 = y − 1 = z/2
(a) [1’5 puntos] Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares.
(b) [1 punto] Deduce razonadamente si existe algún valor de m para el que r y s son paralelas.
Solución
(a)
Ponemos la recta r
≡ mx = y = z + 2, en forma continua x/(1/m) = y/1 = (z + 2)/1. Un vector director suyo es(1/m, 1, 1) y otro paralelo es u = (1, m, m)
La recta s ya me la han dado en forma continua (x − 4)/4 = (y − 1)/1 = z/2. Un vector director suyo es
v = (4, 1, 2)
Las rectas "r" y "s" son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares, es decir su producto escalar es cero
0 = u•v = (1, m, m) • (4, 1, 2) = 4 + m + 2m, por tanto 3m = - 4, de donde m = - 4/3
(b)
Las rectas "r" y "s" son paralelas si lo son sus vectores directores, es decir sus coordenadas son proporcionales. En nuestro caso
1/4 = m/1 = m/2, lo cual es absurdo pues m no puede ser a la vez 1/4 y 1/2, luego no hay ningún valor de "m" para el que las rectas sean paralelas.