Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 6 de 2008
Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 6 de 2008
Considera los puntos A(2, 0, 1), B(−1, 1, 2), C(2, 2, 1) y D(3, 1, 0).
(a) [1 punto] Calcula la ecuación del plano π que contiene a los puntos B, C y D.
(b) [1’5 puntos] Halla el punto simétrico de A respecto del plano
π.Solución
A(2, 0, 1), B(−1, 1, 2), C(2, 2, 1) y D(3, 1, 0).
(a)
Plano π que contiene a los puntos B, C y D
Punto B(−1, 1, 2), vectores paralelos independientes el BC = (3, 1, -1) y el BD = (4, 0, -2)
Ecuación continua
(x + 1)(-2) – (y – 1)(-2) + (z – 2)(-4) = -2x + 2y – 4z + 4 = 0
Simplificando tenemos – x + y – 2z + 2 = 0 y un vector normal sería n = (-1, 1, -2)
(b)
Para calcular el simétrico del punto A respecto del plano π ≡ x + y – 2z + 2 = 0, lo que hacemos es calcular el simétrico del punto sobre su proyección ortogonal P sobre el plano.
Una forma de hacerlo es calcular la recta perpendicular al plano que pasa por A. Su punto es A(2, 0, 1) y su vector director el normal del plano, es decir u = n = (-1, 1, -2)
Ecuaciones paramétricas 
Calculamos P como intersección de la recta con el plano, sustituyendo la ecuación de la recta en el plano
-(2 - λ ) + (λ ) – 2(1 -2λ ) + 2 = 0. De donde λ = 1/3, y el punto P es P(2 – 1/3, 1/3, 1-2(1/3)) = P(5/3, 1/3, 1/3).
P es el punto medio del segmento AA’, siendo A’ el simétrico buscado.
(5/3, 1/3, 1/3) = ( (2 + x)/2, y/2, (z + 1)/2 ) de donde x = 4/3, y = 2/3 y z = -1/3, es decir el punto simétrico buscado es A’( 4/3, 2/3, -1/3 )