Ejercicio n° 2 de la opción A de junio de 2008
[2’5 puntos] Calcula
Solución
Es la integral de una función racional.
Calculamos primero una primitiva.
= ALn|x| + BLn|x-1|+C(x-1)-2+1/(-2+1) + K= ALn|x| + BLn|x-1|-C/(x-1) + K
Calculamos las constantes A, B y C
Igualamos numeradores
1 = A(x-1)2 + Bx(x-1) + Cx
Para x = 0, 1 = A
Para x = 1, 1 = C
Para x = 2, 1 = 1(1)2 + B(2) + 1.2; de donde B = -1. por tanto una primitiva es
I = 1Ln|x| - 1Ln|x-1|-1/(x-1) , y la integral definida pedida es
( Ln(1) – Ln(2) + 1/2 ) – ( Ln(2) – Ln(3) + 1/3 ) =
= - 2Ln(2) + Ln(3) + 1/6