Ejercicio n° 3 de la opción
A de junio de 2008
Ejercicio n° 3 de la opción
A de junio de 2008
Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros.
(a) [1’25 puntos] ż Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?
(b) [1’25 puntos] Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo.
Solución
x = billetes de 10 euros
y = billetes de 20 euros
z = billetes de 50 euros
Las soluciones tienen que ser números enteros y positivos.
130 billetes, se traduce en x + y + z = 130
3000 euros, se traduce en 10x + 20y + 50z = 3000
a)
Triple de billetes de 10 que de 50, se traduce en x = 3z.
Intentamos resolver el sistema
x + y + z = 130
10x + 20y + 50z = 3000
x = 3z.
Sustituyendo x = 3z en las dos primeras nos dá
4z + y = 130
80z + 20y = 3000.
Al resolver este sistema de dos ecuaciones obtenemos "3000 = 2600 + 0.z", lo cual es absurdo y el sistema no tiene solución.
b)
Doble de billetes de 10 que de 50, se traduce en x = 2z.
Intentamos resolver el sistema
x + y + z = 130
10x + 20y + 50z = 3000
x = 2z.
Sustituyendo x = 2z en las dos primeras nos dá
3z + y = 130
70z + 20y = 3000.
Al resolver este sistema obtenemos como solución x = 80, y = 10 y z = 40.
Hay 80 billetes de 10 euros
Hay 10 billetes de 20 euros
Hay 40 billetes de 50 euros