Ejercicio n° 3 de la opción B de junio de 2008
Ejercicio n° 3 de la opción B de junio de 2008
Considera la matriz 
.
(a) [1 punto] Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3
(b) [1’5 puntos] Estudia si el sistema 
tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.
Solución
(a)
Si |A| ¹ 0, el rango de la matriz A es 3.
(1)Si una fila (columna) de un determinante está multiplicada por un número, dicho número puede salir fuera multiplicando.
(2) El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal.
|A| = 0 nos da m2(m-1)2 = 0, que tiene por soluciones m = 0 (doble) y m = 1 (doble)
Si m = 0 y m = 1, el rango de A es menor de 3.
b)
Estudia si el sistema según los valores de m
Si m = 0
La matriz de los coeficientes es 
, y rango(A) = 1
La matriz ampliada es 
, y rango(A*) = 2, porque 
= -1 ¹
0
Por el Teorema de Rouche como rango(A) = 1 ¹ rango(A*) = 2, el sistema es incompatible y no tiene solución.
Si m = 1
La matriz de los coeficientes es 
, y rango(A) = 1
La matriz ampliada es 
, y rango(A*) = 1.
Por el Teorema de Rouche como rango(A) = 1 = rango(A*), el sistema es compatible e indeterminado. Tiene infinitas soluciones.
Como el rango es uno hay una ecuación y una incógnita principal.
x + y + z = 1. Tomando y = λ
∈ R y z = μ ∈ R , las soluciones son (1 - λ - μ , λ , μ ) con λ , μ Î Â .