Ejercicio n° 4 de la opción B de septiembre de 2008
Ejercicio n° 4 de la opción B de septiembre de 2008
Considera los puntos A(1,1,0), B(1,1,2) y C(1,-1,1).
(a) [1’5 puntos] Comprueba que no están alineados y calcula el área del triángulo que determinan.
(b) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al punto A y es perpendicular a la recta determinada por B y C.
Solución
(a)
Para que los puntos A(1,1,0), B(1,1,2) y C(1,-1,1) no estén alineados, los vectores AB y AC no pueden ser proporcionales.
AB = (0,0,2); AC = (0,-2,1). Como vemos no son proporcionales y los tres puntos no están alineados.
El área del triángulo que determinan los puntos A, B y C es ˝ del área del paralelogramo que determinan los vectores AB y AC, es decir ˝||ABxAC||
ABxAC =
=i(4)
– j(0) + k(0) = (-4,0,0)
Área = ˝||ABxAC|| =
(b)
El plano que contiene al punto A y es perpendicular a la recta que pasa por B y C, es el plano que tiene por vector normal n = BC = (0,-2,-1) y pasa por el punto A(1,1,0).
Todos los planos perpendiculares a la recta que pasa por B y C, son de la forma -2y – z + K = 0. Le imponemos la condición de que pase por el punto A(1,1,0).
-2(1) – (0) + K = 0
de donde K = 2, y el plano pedido es -2y – z + 2 = 0