Soluciones del Examen de Junio de 2010

Germán Jesús Rubio Luna   " grublun299@iesayala.com "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Opción A

Opción B

Ejercicio 1A Ejercicio 2A Ejercicio 3A Ejercicio 4A Ejercicio 1B Ejercicio 2B Ejercicio 3B Ejercicio 4B

Ejercicio 1 de la Opción A de Junio de 2010

Sea f la función definida como f(x) = (ax2 + b) / (a – x) para x ≠ a.

(a) [1'5 puntos] Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2,3) y tenga una asíntota oblicua con pendiente - 4.

(b) [1 punto] Para el caso de a = 2, b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1

Solución

Sea f la función definida como f(x) = (ax2 + b) / (a – x) para x ≠ a.

(a)

Como f pasa por el punto (2,3) tenemos que f(2) = 3.

Como f tiene una asíntota oblicua (y = mx + n) con pendiente – 4, me están diciendo que m = -4, pero también sabemos que m = lim x→ ∞ [ (f(x)) /(x) ].

De -4 = lim x→ ∞ [ (f(x)) /(x) ] tenemos – 4 = lim x→ ∞ [(ax2 + b) / (ax – x2)] = -a, luego a = 4.

De f(2) = 3 tenemos 3 = (4.22 + b)/(4-2) = (16 + b)/2, de donde b = -10.

(b)

Si a = 2 y b = 3, tenemos f(x) = (2x2 + 3) / (2 – x) para x ≠ 2.

La recta tangente en x = 1 es y – f(1) = f ‘(1)(x – 1)

f(x) = (2x2 + 3) / (2 – x), luego f(1) = 5/1 = 5

f ‘(x) = [(4x).(2 – x) - (2x2 + 3)(-1)] / (2 – x)2, luego f ’(1) = (4+5)/(1)2 = 9, por tanto la recta tangente pedida es y – 5 = 9(x – 1).

 

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Ejercicio 2 de la Opción A de Junio de 2010

[2’5 puntos] Calcula

Sugerencia: Efectúa el cambio √(x) = t.

Solución

Calculamos primero la integral indefinida

I = ∫sen(√(x))dx = { cambio √(x) = t; x = t2 y dx = 2tdt } = ∫sen(t).2tdt = 2. ∫t.sen(t)dt = 2.I1, donde I1 es una integral por partes (∫u.dv = u.v - ∫v.du)

I1 = ∫t.sen(t)dt = { u = t y dv = sen(t)dt, de donde du = dt y v = ∫sen(t)dt = -cos(t) } =

= -t.cos(t) - ∫-cos(t)dt = -t.cos(t) + sen(t)

Luego I = 2. I1 = 2.[ -t.cos(t) + sen(t)] + K = { quito cambio √(x) = t } =

= 2.[ -(√(x)).cos(√(x)) + sen(√(x))] + K

Calculamos ya la integral original

= 2.[ ( -√π2.cos(√(π2)) + sen(√(π2) ) - (-(√(0)).cos(√(0)) + sen(√(0) ) ] =

= 2.[ ( (-π)(-1) + 0 ) – ( 0+0 ) ] = 2π

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Ejercicio 3 de la Opción A de Junio de 2010

Sean las matrices A = , B = y C =

(a) [0'5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible.

(b) [2 puntos] Resuelve la ecuación XA – Bt = C para m = 0. (Bt es la matriz traspuesta de B)

Solución

A = ,      B =       y      C =

(a)

A es invertible si y solamente si det(A) = |A| ≠ 0.

det(A) = |A| = = 1(-m2 - 3) – 0 + (-1)(-4m) = -m2 + 4m – 3.

Si |A| = 0, -m2 + 4m – 3 = 0. Resolviendo esta ecuación nos sale m = 1 y m = 3.

Para m ≠ 1 y m ≠ 3, A es invertible y existe A-1.

(b)

Resuelve la ecuación XA – Bt = C para m = 0.

XA = Bt + C. Como existe A-1 multiplicamos ambos miembros por la derecha por A-1.

XAA-1 = (Bt + C)A-1, operando nos queda X = (Bt + C)A-1.

Calculamos A-1, con m = 0

A -1 = (1/|A|).Adj(AT)

A = , det(A) = |A| = = (-3)(1) = – 3.

At = , Adj(At) = , A -1 = (1/|A|).Adj(AT) =

Calculamos (Bt + C) = + =

X = (Bt + C)A-1 =

=


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Ejercicio 4 de la Opción A de Junio de 2010

Considera las rectas "r" y "s" de ecuaciones

x – 1 = y = 1 – z          y          

(a) [0'75 puntos] Determina su punto de corte.

(b) [1 punto] Halla el ángulo que forma "r" y "s".

(c) [0’75 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a "r" y "s".

Solución

(a)

Ponemos las rectas en paramétricas (cada una con un parámetro distinto) y de cada una tomamos un punto y un vector

De la recta "r", que en continua es " (x – 1)/1 = y/1 = (z – 1)/(-1), tomamos el punto A(1,0,1) y el vector director u = (1,1,-1). Su ecuación paramétrica es con "a" número real.

De la recta "s" , tomando y = b (nº real) tenemos . Un punto será B(-1,0,1) y un vector director v = (2,1,-1).

Me han dicho que se cortan, no obstante vamos a comprobar que es cierto viendo que det(AB,u,v) = 0

AB = (-2,0,0)

det(AB,u,v) = , por tener la columna 2ª y 3ª proporcionales.

Para obtener el punto de corte igualamos ambas rectas en paramétricas, y resolvemos el sistema de 3 ecuaciones con dos incógnitas. (x = x, y = y, z = z)

1 + a = -1 + 2b

a = b

1 – a = 1 - b

Utilizamos la 1ª y la 2ª

1 + a = -1 + 2a, de donde a = 2 = b, que evidentemente verifica la 3ª ecuación.

El punto de corte de las rectas es M(1+2,2,1-2) = M(3,2,-1)

(b)

Sabemos que el ángulo que forman dos rectas es el menor de los ángulos que forman sus vectores de dirección, por lo cual tomamos valor absoluto en el coseno.

cos(r,s) = |cos(u,v)| = |u.v| / (||u||.||v||) = 4/( √(3).√(6) ) = 4/√(18). Luego el ángulo que forman las rectas es (r,s) =) arcos[4/√(18)] ≈ 19’4712º.

u = (1,1,-1), v = (2,1,-1), de donde

u.v = 2+1+1 = 4; ||u|| = √(12+12+12) = √(3), ||v|| = √(22+12+12) = √(6)

(c)

Para determinar un plano π necesitamos un punto y dos vectores independiente o bien un punto y un vector normal. En nuestro caso tomamos el punto de corte M((3,2,-1) y los vectores de dirección de cada recta u = (1,1,-1) y v = (2,1,-1).

La ecuación del plano en paramétricas es

x = 3 + λ + 2μ

y = 2 + λ + μ

z = -1 - λ – μ, con λ y μ números reales.

La ecuación general del plano π sería

π = det(MX,u,v ) = = (x-3)(0) – (y-2)(1) + (z+1)(-1) = - y – z +1 = 0

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Ejercicio 1 de la Opción B de Junio de 2010

[2’5 puntos] Calcula lim x→0 [ (ex – esen x) /(x2) ]

Solución

La Regla de L’Hopital (L’H), que dice si lim x→a [(f(x)/g(x)] = 0/0, y existe limx→a [(f‘(x)/g‘(x)] entonces se verifica que lim x→a [ (f(x)/g(x ] = lim x→a [(f ‘(x)/g ‘(x)].

lim x→0 [ex – esen x) /(x2) ] = [ (e0 – e0)/0 ] = 0/0, L’H

lim x→0 [(ex – cos(x).esen x) /(2x) ] = [ (e0 – 1. e0)/0 ] = 0/0, L’H

lim x→0 [( ex – (-sen(x).esen x + cos2(x). esen x ) ) /(2) ] = [ (e0 – (0.e0 - 1. e0)/2 ] = 0/2 = 0

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Ejercicio 2 de la Opción B de Junio de 2010

Considera la función f dada por f(x) = 5 – x     y     la función g definida como g(x) = 4/x para x ≠ 0.

(a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g indicando sus puntos de corte.

(b) [1’5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Solución

f(x) = 5 – x                y               g(x) = 4/x

(a)

f(x) = 5 – x, es una recta y con dos valores de "x" es suficiente para dibujarla.

g(x) = 4/x, es una hipérbola de I y III cuadrante. Le doy dos valores a "x" a la derecha del 0 y dos a la izquierda del 0. Tenemos en cuenta que x = 0 es una asíntota vertical y la recta y = 0 es una asíntota horizontal.

x   f(x) = 5 – x       x     g(x) = 4/x

5   f(5) = 0            1     g(1) = 4

0   f(0) = 5            2     g(2) = 2

                          -1     g(-1) = -4

                          -2     g(-2) = -2

Para ver los puntos de corte igualamos f(x) = g(x), es decir 5 – x = 4/x, de donde 5x-x2=4, es decir x2 – 5x + 4 = 0. Resolviendo l ecuación obtenemos x = 1 y x = 4. Un esbozo de la gráficas es

(b)

El área del recinto limitado por las curvas f(x) y g(x) es

Área = ∫14 [f(x) – g(x) ]dx = ∫14 [5 – x – 4/x ]dx = [ 5x – x2/2 – 4Ln|x| ]14| =

= ( 20 – 8 – 4Ln|4| ) – ( 5 – 1/2 – 4Ln|1| ) = ( 12 – 4Ln(4) ) – ( 9/2 – 0 ) = 15/2 – 4Ln(4) u2

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Ejercicio 3 de la Opción B de Junio de 2010

Sea el siguiente sistema de ecuaciones

λx + y + z = λ + 2

2x - λy + z = 2

x - y + λz = λ

(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores de λ. ¿Tiene siempre solución?

(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = -1.

Solución

(a)

La matriz de los coeficientes del sistema es y la matriz ampliada .

Si det(A) = |A| ¹ 0, rango(A) = rango(A*) = 3. El sistema es compatible y determinado y tiene solución única.

(λ)(-λ2+1) – (1)(2λ-1) + (1)(-2+λ) = - λ3 - 1. (Lo he desarrollado por los adjuntos de la 1ª fila)

Resolvemos |A| = 0, es decir - λ3 - 1= 0, de donde λ3 = -1 y por tanto λ = -1

Si λ ≠ -1, tenemos |A| ≠ 0 con lo cual rango(A) = rango(A*) = 3 = nº de incógnitas, y por el teorema de Rouche el sistema es compatible y determinado y tiene solución única.

Si λ = -1, y

En A como , tenemos rango(A) = 2

En A* como la 1ª y 3ª filas son proporcionales tenemos rango(A*) = 2

Como rango(A)= 2 = rango(A*) < nº de incógnitas, por el teorema de Rouche el sistema es compatible e indeterminado, y tiene infinitas soluciones.

Por tanto el sistema siempre tiene solución

(b)

Nos piden resolverlo si λ = -1.

Hemos visto que como rango(A)= 2 = rango(A*) < nº de incógnitas, por el teorema de Rouche el sistema es compatible e indeterminado, y tiene infinitas soluciones.

Como rango(A)= rango(A*) = 2 < nº de incógnitas, tenemos sólo dos ecuaciones (las dos primeras, con las que hemos calculado el rango de A) y dos incógnitas principales..

-x + y + z = 1

2x + y + z = 2. Tomamos z = λ nº real.

A la 2ª ecuación le resto la 1ª tenemos 3x = 1. De donde x = 1/3.

Sustituyendo en -x + y + z = 1, nos resulta -1/3 + y + λ = 1, de donde y = 4/3 – λ.

La solución del sistema es (x, y, z)= ( 1/3, 4/3 - λ, λ) con λ nº real.

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Ejercicio 4 de la Opción B de Junio de 2010

Los puntos P(2,0,0) y Q(-1,12,4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice S pertenece a la recta "r" de ecuación .

(a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que "r" es perpendicular a la recta que pasa por P y S.

(b) [1 punto] Comprueba si el triángulo es rectángulo.

Solución

P(2,0,0) y Q(-1,12,4) vértices de un triángulo. El tercer vértice S pertenece a la recta "r" de ecuación .

(a)

Calcula S sabiendo que "r" es perpendicular a la recta que pasa por P y S.

Ponemos la recta “r” en vectorial tomando x = 3λ (asi la ecuación es divisible por 3), con λ nº real.

De 4(3λ) + 3z = 33, tenemos z = 11 - 4λ

La ecuación vectorial es (x,y,z) = (3λ,0,11-4λ) con λ nº real.

Un vector director de la recta es u = (3,0,-4)

S es un punto genérico de "r", es decir S(x,y,z) = S(3λ,0,11-4λ) con λ nΊ real.

Como la recta que pasa por los puntos P y S es perpendicular a la recta "r", el vector director de "r" que es u tiene que ser perpendicular al vector PS, es decir su producto escalar tiene que ser cero.

PS = (3λ-2,0-0,11-4λ-0) = (3λ-2,0,11-4λ)

PS.u = 0 = 9λ – 6 + 0 – 44 + 16λ = 25λ – 50 = 0, de donde λ = 2 y el punto pedido es S(6,0,11-8) = S(6,0,3).

(b)

Para ver si el triángulo es rectángulo podemos ver si el lado mayor al cuadrado es la suma de los cuadrados de los otros dos lados (Teorema de Pitágoras), o bien si el producto escalar de los vectores que determinan los lados es cero.

PQ = (-3,12,4), de donde || PQ|| = √(32+122+42) = √(169) = 13

PS = (4,0,3), de donde || PS|| = √(42+02+32) = √(25) = 5

QS = (7,-12,-1), de donde || QS|| = √(72+122+12) = √(194)

Como [√(194)]2 = [√(169)]2 + [√(25)]2, el triángulo es rectángulo en P.

También podríamos ver que el producto escalar de PQ y PS es cero.


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