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Movimientos

Todos entendemos, gracias al lenguaje coloquial, que el movimiento es un cambio en la posición de un objeto; y esencialmente eso será también para las matemáticas, aunque tenemos que ser bastante más rigurosos a la hora de hablar de ellos.

Si nos centramos en el plano,  tendremos que una transformación será aquella aplicación que hace que a cada punto P del plano le corresponda otro punto P'. Pueden entonces pasar dos cosas: que P sea distinto a P', en cuyo caso diremos que P y P' son puntos homólogos; o bien que P y P' sean el mismo punto, en cuyo caso diremos que P es un punto doble.

Estas transformaciones podemos hacérselas a figuras que estén en el plano. Si al hacerlas éstas mantienen su forma y tamaño diremos que la trasformación es un movimiento.

Dicho de una forma más rigurosa; un movimiento en el plano es una trasformación del plano en sí mismo que mantiene invariante las distancias, es decir, la distancia entre los puntos P y Q ha de ser la misma que entre sus homólogos P' y Q'.

Ejemplo de movimiento Ejemplo de transformación que no es movimiento

A partir de ahora nos centraremos en los movimientos. Al mover una figura pueden ocurrir dos cosas: que la figura mantenga la misma orientación o que no lo haga. Si ocurre lo primero diremos que estamos ante un movimiento directo y caso contrario, estaremos ante un movimiento inverso.

Ejemplo de movimiento directo Ejemplo de movimiento inverso

La primera pregunta que podemos plantearnos es: ¿Cuántos tipos de movimientos distintos puede haber en el plano? La respuesta nos la da las matematicas. En total hay cinco tipos de movimientos distintos:

Lo curioso es que cualquiera de los cinco tipos puede conseguirse haciendo una, dos o tres simetrías seguidas. Es decir, cualquier movimiento que nos planteemos hacer en el plano es uno de estos cinco, y además podemos hacerlo componiendo simetrías. Es más, por muchas simetrías que compongamos no vamos a obtener un movimiento que no sea uno de esos cinco. Esto último lo demostraron los matemáticos Jean Dieudonné y Henri Cartan; se conoce como el Teorema de Cartan-Dieudonné.




Frisos

Ahora que ya conocemos los movimientos nos será más sencillo entender los frisos.

En arquitectura, los frisos, también conocidos como cenefas, son figuras donde una vez más la geometría se pone al servicio de crear belleza. Su uso ha sido patrimonio de todas las culturas, estando presente en las decoraciones de las paredes griegas, romanas...

Friso del Partenón de Atenas Friso de casa en Pompeya Fresco en la tumba de Seti

La aparición de frisos en arquitectura no siempre obedece a motivos estéticos; en culturas antiguas hay un trasfondo de misticismo. Un ejemplo de lo anterior lo tenemos en el friso que aparece en las escaleras del ala este de la Apadana del Palacio de Persépolis en Irán, fechado en el s VI a.C. Representa a una serie de guerreros en procesión hacia el rey, junto a cortesanos y nobles. La presencia real en estos conjuntos escultóricos ejerce una acción protectora sobre todos sus súbditos.

Bajorrelieve de Persépolis

Otro de sus usos en épocas pasadas es el de soporte gráfico para narrar las proezas conseguidas por los distintos reyes o emperadores, o bien para dejar constancia de algún hecho importante. Ejemplo de ello es el gran friso escultórico que preside la fachada del Ayuntamiento de Tarazona (Zaragoza) construído entre 1557 y 1563.

Ayuntamiento de Tarazona

En la actualidad su uso es meramente decorativo y forman parte de nuestra vida cotidiana, haciendo su aparición en cercas, rejas, suelos y paredes, dándosele un uso tanto exterior como interior.

Cerca de piedra
Friso en una reja

Dentro del patrimonio arquitectónico andaluz hay numerosas muestras del uso de frisos desde el punto de vista de la ornamentación, sobre todo debido a la cultura de la cerámica heredada de los árabes. Es corriente ver zaguanes y fachadas adornadas con motivos en azulejos que contienen distintos frisos.

Friso en un zaguán Friso en fachada

Los frisos árabes que encontramos en edificios como la Mezquita de Córdoba, la Alhambra de Granada o el Alcázar de Sevilla están realizados en su mayoría con motivos geométricos debido a la prohibición religiosa que les impide representar figuras humanas en el arte.

Friso geométrico

Nos centraremos en el estudio de los frisos desde el punto de vista de las matemáticas, estudiaremos las distintas formas de construirlos y por último veremos algunos ejemplos de su uso en la arquitectura andaluza.

Para ello, lo primero que haremos es decir qué entendemos por friso o cenefa.: un friso será una figura plana que se genera por la traslación repetida de un motivo que hace de base.

Ejemplo de construcción de un friso

A veces, este motivo se puede generar a partir de otro más sencillo aplicándole movimientos. En el ejemplo que hemos propuesto podríamos pensar que la figura que lo generaba era el rombo, sin embargo podemos partir de una figura mucho más sencilla y aplicarle, en este caso, primero una simetría de eje vertical y después otra de eje horizontal; una vez hecho esto es cuando trasladamos la figura obtenida para así construir el friso.

Construcción de un friso

Si nos planteamos la pregunta ¿qué movimientos puedo aplicarle a un friso para que quede invariante?, obtenemos rápidamente respuesta. Los movimientos que pueden dejar a un friso invariante deben estar entre aquellos que dejen invariante la recta que marca la dirección del mismo:

Descrito el repertorio de trasformaciones que podemos hacerle a un friso, vamos a determinar los tipos de frisos que pueden resultar al combinar traslaciones, giros, simetrías y deslizamientos.

  1. El friso de las traslaciones: Es el más simple. Una figura se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda mediante una traslación. El resto de frisos resulta de añadirle a este otros movimientos.

    Friso de las traslaciones

    Ejemplo:
    Cenefa Traslación (6K)


  2. El friso de las traslaciones y la simetría horizontal: El friso se crea con la traslación básica y la reflexión horizontal.

    Friso de las traslaciones y reflexiones

    Ejemplo:
    Cenefa Traslación simetría horizontal (10K)


  3. El friso de las traslaciones y las simetrías verticales: Las traslaciones elementales se combinan con una reflexión especto de una recta perpendicular a la dirección del friso.

    Friso de las traslaciones y reflexiones verticales

    Ejemplo:
    Cenefa Traslación simetría vertical (7K)


  4. El friso de las traslaciones y simetría con deslizamiento.

    Friso de las traslaciones y el deslizamiento

    Ejemplo:
    Cenefa Traslación simetría deslizamiento (4K)


  5. El friso de las traslaciones y los giros.

    Friso de las traslaciones y los giros

    Ejemplo:
    Cenefa traslaciones giros (6K)


  6. El friso de los giros y los deslizamientos.

    Friso giros deslizamientos

    Ejemplo:
    Cenefa giros deslizamiento (5K)


  7. El friso más completo: Al considerar un friso del tipo 5 y añadirle la simetría de eje vertical.

    Friso más completo

    Ejemplo:
    Cenefa completa (6K)

La enumeración anterior agota todos los casos posibles: estos son los únicos siete frisos posibles. Lo curioso es que todos se encuentran en las cerámicas que adornan la Alhambra de Granada.




Mosaicos

Imagina que necesitas enlosar un suelo. Aunque seguro que lo primero que imaginas es hacerlo con losas o mosaicos cuadrados, puedes utilizar otras figuras geométricas que producirian un resultado magnifico. En este apartado vamos a ver algunas de ellas, pero primero comenzaremos con algo de historia.

El arte del mosaico tiene sus comienzos en los orígenes de la civilización, cuando se comienza a utilizar piedras para adornar los suelos de las primeras construcciones. En las distintas culturas ha sido tradicional la decoración de suelos y paredes.

Fedorov, matemático y cristalógrafo ruso, fue quien hizo el primer tratamiento matemático de estos aspectos en 1891, cuando demostró que no hay más que 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formando mosaicos periódicos.

G. Polya y P. Niggli, ya en el siglo XX, redescubrieron la existencia de estas 17 estructuras del plano. Desde entonces, se ha comenzado la búsqueda, hecha por matemáticos, de decoraciones periódicas del plano en obras de arte de determinadas culturas que han destacado en estas realizaciones.

La publicación de los resultados obtenidos por unos y otros ha dado lugar a controversias. Fejes Tóth en Regular Figures, de 1964 asegura que en la Alhambra de Granada hay una representación geométrica de cada uno de los 17 modelos posibles; por el contrario, otros autores sostienen que los egipcios sólo utilizaron 12 posibilidades y que los constructores de la Alhambra llegaron a obtener 13 variantes. Recientemente, en 1986, la Asociación de Profesores de Matemáticas de Andalucía ha publicado una monografía de la geometría de la Alhambra, donde aparecen estudiados los 17 modelos allí presentes. D.S. Dye publicó en 1974, Chinese Lattice Designs, donde aparecen estudiados 14 modelos en la cultura china.

Mosaicos regulares

Si intentamos recubrir un plano con polígonos iguales y regulares, es fácil demostrar que sólo podemos hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos regulares, con lo que se obtienen los tres tipos de mosaicos regulares posibles.

mosaicos regulares (2K)
Mosaicos semiregulares

Llamaremos mosaico semirregular a la composición formada por dos o más tipos de polígonos regulares

En este caso se pueden obtener las siguientes combinaciones: (se indican los polígonos que confluyen en un vértice)

mosaicos semiregulares (27K)

La siguientes imágenes muestran mosaicos de la Alhambra de Granada:

mosaico alhambra 2 (5K) mosaico alhambra 1 (4K) mosaico alhambra 3 (6K)

mosaico alhambra 6 (5K) mosaico alhambra 4 (4K) mosaico alhambra 5 (4K)