algunas APLICACIONES DE LA EXPONENCIAL

El testamento de Benjamín Franklin

Entre otras cosas afirmaba en su testamento:

Nací en Boston, y debo mi inicial instrucción literaria a las escuelas públicas de primera enseñanza establecidas allí, por tanto, en mi testamento he tenido en cuenta a esas escuelas, ... Considero que, entre los artesanos, son los buenos aprendices los más idóneos para hacerse buenos ciudadanos ... Quiero ser útil incluso después de mi muerte, si ello es posible, para la formación y el progreso de otros jóvenes que puedan ser útiles a su país, tanto en Boston como en Filadelfia. A tal fin dedico dos mil libras esterlinas, de las cuales doy mil a los habitantes de la ciudad de Boston en Massachusets, y las otras mil a los habitantes de la ciudad de Filadelfia, en fidecomiso y para los usos, intereses y propósitos aquí mencionados y declarados.

Franklin tenía la idea de prestar dinero a jóvenes aprendices a un interés del 5% con la indicación de que cada beneficiario debería pagar cada año.

...junto con el interés anual, una décima parte de la principal, la suma de la principal y los intereses se prestará a nuevos beneficiarios. Si este plan se ejecuta y realiza como se ha proyectado durante cien años sin interrupción, la suma será entonces de ciento treinta y una mil libras, de las cuales nombro administradores de la donación a los habitantes de la ciudad de Boston, que pueden gastar a su discreción cien mil libras en obras públicas, ... Las treinta y una mil libras restantes se pondrán a interés de la manera indicada anteriormente durante otros cien años... Al final de este segundo periodo, si ningún accidente desafortunado ha estorbado la operación, la suma será de cuatro millones sesenta y una mil libras.

Los prestatarios no fueron siempre tan numerosos como hubiese deseado Franklin. Al cabo de un siglo, en enero de 1894, el fondo había crecido hasta unas noventa mil libras, en lugar de las ciento treinta y una mil previstas.

Supongamos que colocamos en un banco 30000 euros a un interés anual del 5%.

Al final del año nos ingresarán los intereses y tendremos = 30000 · 1'05 = 31500 euros.

Si le solicitamos al director que distribuya el 5% anual en dos pagos semestrales al 2'5%, lo que se llama interés compuesto semestral, ¿dará lo mismo?:

Al final del primer trimestre se nos ingresarán = 30000 · 1'025. Si no sacamos el dinero, al final del segundo semestre, tendremos la cantidad que teníamos al comienzo de este periodo multiplicada de nuevo por 1'025, es decir: = 30000 · 1'025 2 = 31518'75 . Hemos ganado 18'75 euros más.

Puestos a pedir, le solicitamos que el 5% anual de interés se reparta en doce pagos mensuales a un interés del 5/12 %. En cuyo caso, al final del año tendríamos un capital de = 31534'85694 euros.

Como el capital está a disposición del banco todas los días del año, al menos teóricamente, se podría exigir que actualizara los intereses de día en día. El 5 % del interés anual habría que cambiarlo al 5/365 % diario. De esta forma, al final, tendríamos = 315380'2489 euros.

El no va más de las exigencias sería que, no sólo ya cada hora, sino que cada instante se actualizara el interés. Dicho de otro modo, que la actualización fuese continua. El problema es que el numero de instantes que tiene el año es infinito y sólo se nos ocurre aproximarnos a esa idea exigiendo la actualización segundo a segundo. Como el número de segundos que contiene el año es de 31536000, el resultado final sería de un capital de

= 315381' 3289003 euros, aproximadamente.

En la calculadora, con la tecla ex, halla 300000 · e 0'05 y obtendrás un valor muy próximo al anterior.

La fórmula para el interés continuo es , donde C0 es el capital inicial, r es el interés dividido por 100 y t es el número de años que tenemos el capital invertido.

Velocidad proporcional al espacio recorrido

Hemos puesto el ejemplo anterior para que veáis un caso en el que aparece este número misterioso. Existen ámbitos muy diferentes al anterior en el que también se nos presenta:

En Física se estudian situaciones en las que la velocidad de un móvil es proporcional al espacio que lleva recorrido (así ocurre con las fuerzas de rozamiento). Consideremos un móvil que está moviéndose sobre la recta a una velocidad igual a la décima parte de su distancia al origen. Supondremos que parte desde una distancia de 100 m respecto al 0, lo hará entonces con una velocidad inicial de 10 m/s

Cuando se halle a 70 m del origen llevará una velocidad de 7 m/s:

Cuando se halle a 15 m de distancia su velocidad habrá disminuido hasta 1'5 m/s

Como cuesta trabajo imaginar que la velocidad cambie en cada instante, vamos a suponer que los cambios se producen de segundo en segundo. Al comienzo de cada segundo que pasa, la velocidad será la décima parte de la distancia que ocupe el móvil respecto al origen:

velocidad

(m/s)

espacio recorrido

en ese tiempo (m)

posición final (m hasta el origen)
de 0 a 1 s 10 10 100 - 10 = 90 (= 100 * 0'9)
de 1 a 2 9 9 90 - 9 = 81 = 90 * 0'9 (= 100 * 0'9 2)
de 2 a 3 8'1 8'1 81 - 8'1 = 72'9 = 81 * 0' 9 (= 100 * 0'9 3)
Se observa que la posición, cuando han pasado t segundos, es de 100*0'9 t =

De esta manera, es fácil comprobar que, justo cuando ha pasado un minuto, el móvil se encuentra a 

100 * 0'9 60 = 0'17970103 m del origen (unos 18 cm) y que se dirige hacia éste a una velocidad aproximada de 1'8 cm por segundo.

Si pensamos ahora que los cambios de velocidad se producen de medio segundo en medio segundo, tendremos la siguiente tabla:

velocidad

(m/s)

espacio recorrido

en ese tiempo (m)

posición final (m hasta el origen)
de 0 a 1/2 s 10 10/2 100 - 10/2 = 95 (= 100 * 0'95 )
de 1/2 a 1 9'5 9'5/2 95 - 9'5/2 = 90'25 = 95 * 0'95 (= 100 * 0'95 2)
de 1 a 3/2 9'025 9'025/2 90'25 - 9'025/2 = 85'7375 = 90'25 * 0' 95 (= 100 * 0'95 3)

Al cabo de k intervalos de medio segundo, la posición será de 100* 0'95 k metros hasta el origen. En consecuencia, al cabo de t segundos su posición es de 100*0'95 2 t =

metros.

Por un procedimiento similar, podríamos establecer que si los cambios de velocidad se produjesen cada milésima de segundo, la posición, tras t segundos, sería la de . Es fácil comprobar que cuanto más pequeño sea el intervalo en el que cambiamos de velocidad, más nos acercamos a la mágica expresión que es la auténtica fórmula del movimiento.

Ley de enfriamiento

Hemos hablado de un caso en que la velocidad era proporcional al espacio recorrido. Parecida es la situación que describe la Ley del Newton del enfriamiento de los cuerpos. Esta ley establece que el enfriamiento de un cuerpo es proporcional, en cada instante, a la diferencia con la temperatura ambiente. Precisando, la ley dice que si T0 es la temperatura inicial con que introducimos u cuerpo en un ambiente a una temperatura de Ta grados, al cabo de un tiempo t la temperatura del cuerpo es: , donde k es una constante, llamada constante de enfriamiento, particular de cada cuerpo.

William Dunhan, en su libro El universo de las matemáticas, nos cuenta cómo Clara, la novia de Edu el comadreja, se libró de la acusación por el asesinato de éste: Clara pasó la tarde en el bar de Luisa, bebiendo mucho y amenazando con matar a Edu; a las once y cuarto salió del local maldiciendo, completamente fuera de sí.

A las 12 de la noche la policía entraba en el apartamento de Edu, tras recibir una llamada anónima, encontrando su cadaver. Un oficial tomó nota de que la temperatura ambiente era de 68 ºF y la del cadáver de 85 ºF. Al finalizar el trabajo, dos horas más tarde, se volvió a tomar la temperatura de el comadreja, que había descendido hasta los 74 ºF.

Crecimiento de poblaciones

El economista británico Thomas Malthus propuso en 1798 que el crecimiento de una población se puede considerar como un proceso continuo, cuya velocidad de aumento es proporcional a la población ya existente: tenemos todos los ingredientes para la aparición de nuestro número.

Si P0 es la población inicial (es decir, la existente cuando comenzamos a contar), existe una constante de crecimiento k en cada población, de manera que el número de individuos al cabo de un tiempo t, viene expresado por una ley del tipo P(t) = P0 e k t . Por ejemplo, supongamos que contabilizamos 500 bacterias en una placa de Petri. Una hora después comprobamos que su número ha aumentado hasta 800: P(1) = 800 = 500 e k · 1 , tomando logaritmos se calcula fácilmente el valor de k como 0'47 (aproximadamente).

La ley de crecimiento de la población queda como P(t) = 500 e 0'47 t .

Esto, dejado así, presenta un problema: al cabo de una semana, el número de bacterias será de unos 

500 e 0'47 · 168 = 10 37 ejemplares, aproximadamente.

Si consideramos una bacteria que tenga un volumen de cuatro micras cúbicas, calcula cuánto ocuparían las anteriores y verás que nos saldrían estos bichos por la boca.

En la realidad ocurre que las poblaciones encuentran un nivel de saturación, que no pueden sobrepasar por dificultades de espacio, de alimento o de otros condicionantes. Los biólogos han perfeccionado la fórmula estableciendola como P(t) =, llamado modelo logístico donde A (nivel de saturación) B y K son constantes que dependen de cada población particular.

Desintegración radioactiva

Algunos átomos son inestables y se desintegran espontáneamente emitiendo radiaciones. Se ha observado que el tiempo en que determinada substancia se reduce a la mitad, llamado vida media, es una constante característica de ella e independiente de la cantidad que haya. La ley de Rutherford sobre la desintegración radiactiva dice que el número de átomos de un elemento radiactivo transformados en un tiempo determinado es proporcional al número de átomos de ese elemento que estén presentes en la substancia, en particular, la fórmula que describe la desintegración es de la forma: N(t) = N0·e k t.

La vida media de los elementos radiactivos puede utilizarse a veces para determinar la fecha de sucesos del pasado de la Tierra. Las edades de las rocas de más de 2000 millones de años pueden establecerse mediante la desintegración radiactiva del uranio (de 4500 millones de años de vida media).

En un organismo vivo, cada gramo de carbono contiene 10 -6 gramos de C 14 . Tras su muerte, el organismo deja de absorber carbono y la proporción de C 14 decrece a medida que se va desintegrando. Su vida media es de unos 5730 años, de modo que es posible estimar la edad de restos orgánicos: los arqueólogos han fechado así conchas, semillas, objetos de madera, o la fecha en que se realizaron pinturas rupestres.

Mezcla de líquidos

Tenemos un tanque con una solución al 25% de ácido y resto de agua. Para limpiar el tanque, introducimos por arriba un caudal de agua a 3 galones por segundo. El tanque evacua similar cantidad por el grifo de abajo.

Mediante técnicas matemáticas, se puede determinar que dicho porcentaje viene expresado por la ecuación

La exponencial en la sicología.

La experimentación demuestra que un modelo para describir el aprendizaje de una serie de símbolos por una persona viene dado por la ecuación donde , para cada persona, N y K se determinan empíricamente, y S es el número de símbolos que una persona puede aprender en t horas.

algunas APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS

Logaritmos y sicología

En sicología se utiliza la ley de Weber-Fechner, de estímulo-respuesta, que dice que la respuesta (R) se relaciona con el estímulo (E) mediante la ecuación , donde E0

es el valor mínimo del estímulo que puede detectar el sujeto, y k es una constante que depende del experimento.

Esta ley también se utiliza para describir la percepción de la luz. E0 denota la intensidad de luz que apenas es visible para una persona. La diferencia aparente en el brillo viene dada por R, que se conoce como magnitud aparente de la fuente luminosa. Una modificación simple de este modelo es la que utilizan los astrónomos para asignar las magnitudes de brillantez de las estrellas. 

A un levantador de pesas se le aplica un estímulo de electricidad (en voltios) para alentarlo a levantar más peso (este método ha sido utilizado por algunos levantadores).

Los logaritmos y la intensidad del sonido.

La intensidad del sonido es el flujo de energía por unidad de área que produce medida en watts por metro cuadrado. Las intensidad de sonido mínima que puede escucharse (el umbral de audibilidad) es aproximadamente 10 -2 W/m 2. La sonoridad de un sonido se define como , donde I es la intensidad y L se mide en decibelios.

Los escalones de sonoridad: 10 decibelios, 20 decibelios, etc. foman en nuestro oído una progresión aritmética, en cambio la energía de estos sonidos constituye una progresión geométrica de razón 10. Como ejemplo, una conversación en voz alta produce 65 decibelios, el rugido de un león 87 decibelios (posee una energía 158 veces mayor que la conversación en voz alta), el ruido de un martillo sobre una lámina de acero 110. Un ruido superior a 80 decibelios es perjudicial. 

La intensidad de sonido producida por un gran avión de reacción es 10 13 veces tan intensa como el umbral de audibilidad. ¿Cómo es de ruidoso?

Química y logaritmos.

El pH de una solución se define como - log [H+], siendo [H+] la concentración de iones de hidrógeno en moles/litro. Cuando el pH es menor que 7 la solución es ácida, si es igual a 7 es neutra y, cuando es mayor, es alcalina.

Geología y logaritmos.

La escala de Ritcher se utiliza para medir la fuerza de un terremoto. La fórmula que da la magnitud de un seísmo en esta escala es: Magnitud de R = . Donde a es la amplitud del movimiento del suelo en micras (medida por la estación receptora), T es el periodo de la onda sísmica en segundos y B un factor relacionado con el debilitamiento de la onda con el incremento de distancia al epicentro.

MÚSICA y logaritmos.

Los grados de tonalidad de la escala cromática no son equidistantes por el el número de vibraciones ni por la longitud de onda de sus sonidos, sino que representan los logaritmos en base 2 de estas magnitudes.

Supongamos que la nota do de la octava más baja, que representaremos por cero, está determinada por n vibraciones por segundo. El do de la primera octava producirá 2n vibraciones, el do de m-ésima octava producirá n·2m vibraciones cada segundo. Si hemos llamado cero a do, y seguimos numerando las notas, tendremos que sol será la 7ª, la la 9ª, la 12ª será de nuevo do, en una octava nás alta, etc. Como en la escala cada nota tiene más vibraciones que la anterior, entonces el número de éstas en cualquier tono se puede expresar con la fórmula . Tomando logaritmos:

Al tomar el número de vibraciones del do más bajo como unidad y pasando los logaritmos a base 2, se tiene que

En el tono sol de la tercera octava,, 3 es la característica del logaritmo del número de vibraciones y 7/12 la mantisa del mismo logaritmo en base 2. Se tiene que el número de vibraciones es 23'583 , que es 11'98 veces mayor que las del tono do de la 1ª octava.