EL NÚMERO e. BREVE IDEA DE CÓMO SE INVENTARON LOS LOGARITMOS

El número e es un número irracional, y se obtiene como límite de la sucesión .

Lo anterior supone que, aumentando suficientemente el valor que sustituyamos por n en la fórmula, más decimales del número e obtendremos:

= 1'01¹⁰⁰ =2'704813...

=1'001¹⁰⁰⁰ =2'716023...

=1'000001^1000000 =2'718280...

e = 2'718281828459045.....

UN POCO DE HISTORIA

Desde hace mucho tiempo el hombre ha necesitado efectuar laboriosos y precisos cálculos para resolver problemas que afectaban a su vida cotidiana. Durante el siglo XVI, la realización de cálculos complicados se presentaba en asuntos mercantiles y trigonométricos, estos últimos de gran incidencia en la navegación o la agrimensura.

Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos (Laplace)

Antes de la invención de los computadores, el nivel de precisión exigido en algunas cuestiones técnicas era bastante grande, requiriéndose operar con números de 5 o más decimales. En las Tablas de logaritmos vulgares, de D. Vicente Vázquez Queipo, "obra declarada de texto por el consejo de instrucción pública y premiada en la Exposición Universal de Paris de 1887", se comenta, en el prólogo de su vigésima octava edición (¡Madrid, 1940!), lo siguiente:

... es supérfluo en la mayoría de los cálculos astronómicos el empleo de más de cinco decimales, pues los errores de observación son mayores en lo general que la quinta unidad decimal y nunca llega la precisión á la sexta. ¿A qué conducen, pues, la exactitud y prolijidad en los cálculos, si los datos á que se aplican no las consienten? A nada absolutamente, á no ser en la análisis trascendental y en las ciencias que de ella dependen indirectamente , en las cuales se necesitan siete y á veces hasta diez decimales, como en la Geodesia. Fuera de estos casos excepcionales sobra y basta con seis.

La cuestión es: ¿cómo actuaban los técnicos y científicos cuando tenían la necesidad de realizar numerosos y complejos cálculos?: lo hacían utilizando las tablas de logaritmos.

La invención de los logaritmos la dio a conocer el escocés Juan Neper, barón de Merchiston, que los publicó por primera vez en 1614.

De manera paralela a Neper, también los descubría el suizo Bürgi. Su idea se basaba en la observación, ya realizada por Arquímedes, de ciertas propiedades de las progresiones geométricas.

Consideremos, por ejemplo, la progresión geométrica de primer término 2 y razón 2:

Si quiero multiplicar 8 (término nº 3 de la progresión) por 128 (término nº 7) me basta con sumar los términos (3 + 7 = 10) y comprobar el número que le corresponde a la suma: 1024 = 8 x 128..

De la misma forma, para multiplicar 16 (N = 4) por 128 (N = 7) miro en el término 4 + 7 = 11 y obtendré que 16 x 128 = 2048.

Esto no es más que aplicar la propiedad de que 2 ⁿ x 2 ^m = 2 ^{m + n}.

Como 2 ⁿ : 2 ^m = 2 ^{m - n} , para dividir dos términos de la progresión se miran los lugares que ocupan y se restan estos lugares, el resultado será el número correspondiente al resultado de la resta: 128 (nº 7) entre 16 (nº 4) da 8 (nº 3 = 7 - 4)

Dicho de otra forma: multiplicar dos términos de la progresión se traduce en sumar sus posiciones en la secuencia, y dividirlos en restarlos. ¿Cómo se elevará un término de la progresión? :

Para hallar 16 ² , miro el lugar que ocupa 16 en la serie (4), lo multiplico por la potencia (2) y obtengo 8. Volviendo a mirar el número que corresponde al lugar 8, comprobamos que se trata de 256, que es el resultado de la potencia.

• ¿En qué propiedad de las potencias se basa la observación anterior?
• ¿Cómo obtener fácilmente la raíz cuadrada de 1024? ¿Y la raíz cúbica de 512?

A los lugares que ocupaban las sucesivas potencias de base 2 se les llama logaritmos de base 2:

log ₂ 2 = 1

log ₂ 4 = 2

log ₂ 8 = 3

etc.

De lo observado anteriormente, se tienen las siguientes propiedades:

• log ₂ (a · b) = log ₂ a + log ₂ b
• log ₂ (a/b) = log ₂ a - log ₂ b
• log ₂ a^b = b · log ₂ a

De la definición de logaritmo, también se tienen:

• log ₂ 2 ^b = b
• 2 ^log ₂ ^b = b

Igual que hemos considerado la progresión de razón 2 podíamos haberlo hecho con la de razón 3, dando lugar a los logaritmos de base 3, lo mismo sería con cualquier otra base.

En realidad, conociendo los logaritmos de una base es fácil conocer los logaritmos en cualquier otra: 

como log _q x = log _q (p ^log _p ^x) = log _p x · log _q p, se tiene que  log _p x = log _q x/ log _q p

Realmente es un chollo sumar por multiplicar, restar por dividir y multiplicar por elevar. El gran problema es que sólo lo podemos realizar con los números que intervienen en la secuencia de potencias de 2, pero ¿cómo multiplicar cómodamente 2145 por 47, que no lo son?

Nos interesaría, por lo menos, encontrar una progresión que contuviese a todos los números naturales; en realidad nos bastaría con calcular los logaritmos de los números primos, pues el logaritmo de un número natural se puede expresar mediante los logaritmos de sus factores primos. Consideremos, por ejemplo, el número 36:   log ₂ 36 = log ₂ (2² · 3²) = log ₂ 2² + log ₂ 3² = 2 · log ₂ 2 + 3 · log ₂ 3

Una idea válida puede ser la de considerar, en lugar de las potencias de 2, potencias de un número cercano a 1, que dejan menos huecos. Esta es la idea que tuvieron Neper y Bürgi (aunque siguiendo métodos diferentes).

Construcción de la tabla de logaritmos de BÜrgi. Aproximación al número e .

Bürgi consideró la base 1'0001.

Realicemos una tabla de valores de 1'0001 ⁿ :

Vemos que se avanza muy poco (nos interesa que vayan apareciendo los números naturales y con 6 pasos aún estamos lejísimos de 2). Además los cálculos son tan complicados que parece imposible obtener una potencia elevada de 1'0001.

Se observa (puede haber alguna esperanza) que los números en negrita son los del triángulo de Tartaglia.

Pero, precisamente, si disponemos los números del triángulo en columnas observamos que la segunda columna en negrita es la serie de los números naturales , la tercera columna la de los  números combinatorios de la forma : a 2 le corresponde = 1 , a 3  = 3 , a 4  = 6, ... y a n le corresponde = .

Pero los números de la cuarta columna se corresponden con los  números combinatorios del tipo , en particular, al número n le corresponde .

No es difícil comprobar que, generalizando, en la quinta columna n se corresponde con

Así, no resulta complicado establecer las primeras cifras de 1'0001 ⁵⁰ :

Número de la columna de los naturales	50
Número de la 3ª columna
De la 4ª
De la 5ª
Etc.

Ahora, teniendo cuidado con la superposición de cifras:

1'0050

           1225

                 19600

                      230300

......

En definitiva, aunque muy pesado, hemos comprobado que es factible construir la tabla de logaritmos de base 1'0001. El inconveniente que sigue presentando es que el avance es muy lento: elevando esta base a 50 sólo vamos por 1'005...; para obtener 2 hemos de elevar la base a 6931: 

1'0001 ⁶⁹³¹ = 1'99983634, luego a 6932: 2 ⁶⁹³² = 2'000036324 y, calculando la media geométrica(*), estimar que el logaritmo de 2 es 6931'4...

También se nos presenta el problema de que los logaritmos en esta base resultan números muy grandes: hay que elevar 1'0001 a 16095 para estar cerca de 5, peor será con 41 o con 73.

La solución que encontró Bürgi fue considerar la base 1'0001 ¹⁰⁰⁰⁰, cuya tabla es muy fácil de construir a partir de la anterior: se comprueba sin dificultad que si el logaritmo de 2 era 6931'81183, en la nueva base es 0'69314... . Sólo hay que dividir por 10000, con lo que el tamaño de los nuevos logaritmos resulta más razonable.

Siendo exagerados, podríamos pensar que sería mejor base todavía 1'0000001 ^10000000, puesto que 1'0000001 aún está más cerca de la unidad, y podemos seguir.... Si así hacemos nos estaremos acercando al número e = . 

Construcción de la tabla de logaritmos de Briggs

Otra opción diferente para la realización de una tabla de logaritmos la tuvo Briggs, en colaboración con Neper, unos años más tarde (1624) al construir la de base 10. 

Briggs comenzó calculando raíces sucesivas de 10 (según decía, calculó sucesivamente 54 raíces cuadradas de 10):

Veamos como partiendo de una tabla como la anterior se puede estimar el logaritmo de 5; el proceso es pesado y explicará la cantidad de años que se dedicó a la confección de las tablas de logaritmos.

los logaritmos decimales de 1 y 10 son conocidos y 5 está situado entre ambos. Iremos realizando sucesivas medias geométricas hasta acercarnos a 5,  las correspondientes medias aritméticas serán sus logaritmos.

NOTA: hemos reseñado en negrita los datos obtenidos directamente de la tabla anterior.

Si consideramos que 5'0028625 es prácticamente 5, tendremos que 0'6992187 es su logaritmo decimal (En verdad, el logaritmo decimal de 5 es 0'698970004...).

Briggs no se cansó tan pronto como nosotros y llegó a un resultado con 14 cifras decimales exactas en sus tablas.

• Obtén, con ayuda de la calculadora, mediante un proceso similar el logaritmo decimal de 3.

OTRO POCO DE HISTORIA

Después de Briggs, el holandés Adrian Vlacq redujo sus tablas a 10 cifras. En los últimos tiempos se emplearon tablas de cinco y cuatro dígitos porque  los cálculos eran más rápidos y con esos decimales bastaba para la mayoría de los cálculos técnicos (antes de los últimos avances, las mediciones comunes no solían precisar más de tres decimales). Para hacerse una idea de la economía en tiempo de cálculo que suponía reducir decimales, diremos que en operar con tablas de logaritmos de 5 cifras se tardaba la tercera parte que en operar con tablas de 7 cifras.

Como se comentaba al comienzo del escrito, no conviene olvidar que también existían cálculos científicos que requerían incluso más de 14 cifras. Por esta razón se podían encontrar diferentes tipos de tablas que satisfacían todas las necesidadaes:

Tablas de 48 cifras de Wolfram, para números inferiores a 10000

Tablas de 61 cifras de Sharp

Tablas de 102 cifras de Parkhurst

Cálculo, de Adams, de los logaritmos de los números 2, 3, 5, 7 y 10 con 260 cifras.

Los precedentes a las tablas de logaritmos

Dos matemáticos daneses, Wittich y Clavius, sugirieron la aplicación de las tablas trigonométricas para abreviar los cálculos. Hacían uso de la igualdad .

Si deseamos multiplicar 0'17865 por 0'99027, consultamos las tablas y observamos que sen 10º = 0'17865 y que cos 8º = 0'99027. Tenemos que , las mismas tablas nos dicen que el seno de 18º vale 0'30902 y que el de 2º es 0'03490. En consecuencia, el producto aproximado vale 0'17196. Si se desea mayor precisión se utilizarán tablas con más decimales.

Antes de conocerse los logaritmos también existían tablas que permitían transformar la operación de multiplicar en una resta. Se basaban la igualdad y las tablas contenían los cuartos de los cuadrados de los números. Para multiplicar a = 3567 por b = 705. Se miraban los cuartos de cuadrado de 4272 (a + b) y de 2862 (a - b) y al restarlos obtenían la multiplicación deseada. Las mismas tablas facilitaban también la elevación al cuadrado y la raíz cuadrada. Para la división se utilizaba también una tabla de inversos.

Esta técnica siguió utilizándose por algunos después de inventar los logaritmos, incluso en 1856 llegaron a editarse en Francia unas con el título: Tabla de los cuadrados de números de 1 al 1000 millones, con ayuda de la cual se halla el producto exacto de números mediante un sistema sencillo en extremo y más cómodo que el de logaritmos. Compuestas por Alejandro Cossar.

(*) Ya sabemos que si tenemos tres términos consecutivos A, B y C de una progresión aritmética, el término intermedio B es la media aritmética de los otros 2: . Si fuesen términos consecutivos de una progresión geométrica, B será la media geométrica de ambos:.