Expresiones algebraicas

 

Un poco de historia

Una de las causas por las que la Matemáticas no avanzaron suficientemente hasta el siglo XVI fue sin duda la carencia de unos símbolos que ayudaran a los matemáticos a expresar sus trabajos de una manera más simple y que permitieran su lectura con mayor facilidad.

Desde los babilonios (1700 a. de C.) hasta Diofanto (250 d. de C.) las operaciones se relataban con el lenguaje ordinario (Período retórico o verbal). Así, por ejemplo, en el papiro de Rhind (1650 a. de C.) se puede leer para describir un problema: "Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24". Con la palabra "un montón" designaban la incógnita; Un par de piernas andando en la dirección de la escritura era el signo (+) y en contra el signo (-). ¿Cómo se escribiría hoy esta ecuación?

A partir de Diofanto y hasta comienzos del siglo XVI se comienzan a utilizar algunas abreviaturas (Período abreviado o sincopado) Así, por ejemplo, para expresar la ecuación , Regiomontano (1464) escribía:

3 CENSUS ET 6 DEMPTIS 5 REBUS AEQUATUR ZERO

mientras que Luca Pacioli (1494) escribía:

3 CENSUS P 6 DE 5 REBUS AE 0

A partir del siglo XVI, con Vieta y Descartes sobre todo, se empieza a utilizar un lenguaje simbólico bastante parecido al actual (Período simbólico). Por ejemplo, la ecuación anterior era expresada así:

Stevin (1585): 

Vieta (1591):   3Q - 5N + 6 ae 0

Descartes (1637): 3xx - 5x + 6 = 0

Actualmente, el lenguaje de las Matemáticas es internacional. Se puede desconocer el idioma en que está escrito un problema, pero la expresión algebraica será la misma que en cualquier libro español.

En este texto sólo son legibles las letras x e y, así como la fórmula y = x2 (salvo que se sepa leer japonés).

La palabra Álgebra viene del título del libro "Al-jabr w'al_muqabalah", escrito en Bagdad alrededor del año 825 por el matemático y astrónomo Mohamed ibn-Musa al-Khwarizmi (hijo de Musa y nativo de Khwarizmi). «Al-jabr» significa transposición y con ello se hacía referencia al paso de términos de un miembro a otro de la ecuación y «w'al-muqabalah» significa eliminación y se hacía referencia a la eliminación de términos iguales en los dos miembros.

Así, en la ecuación: 2x2 - 3x + 5 = -x2 +14 - 3x

«Al-jabr» será: 3x2 - 9 - 3x = -3x

«W'al-muqabalah» será: 3x2 - 9 = 0

A la incógnita la llamaba «sahy» (cosa), nombre que perduró durante bastante tiempo.

El Álgebra se caracteriza por el uso de letras y expresiones literales sobre las que se hacen operaciones. La posibilidad de representar con una sola letra una infinidad de valores y el hecho de poder operar con ellas de forma natural y sencilla es lo que la hace ser de gran utilidad.

Al ser el algebraico un lenguaje, tiene unas reglas particulares que hay que aprender. Así, por ejemplo, es probable que te hayas encontrado con la expresión "8m" y la hayas traducido por "ocho metros"; en las expresiones algebraicas su significado será "ocho por m" o lo que es lo mismo "ocho veces m".

Cuando manejamos solamente números (Aritmética), los signos de operaciones indican una acción cuyo resultado es siempre un número (7 + 6 = 13), sin embargo, cuando tratamos además con letras(Álgebra) estas operaciones no tienen siempre por qué realizarse sino que se dejan indicadas (3 + x). Por otra parte, mientras que en el primero de los casos se llega a un resultado único, en el segundo se expresan todos los resultados posibles, según el valor que demos a x.

Otra "regla" algebraica que has de tener en cuenta es que cuando escribes 35 significa 5 + 3 · 10, sin embargo cuando escribes "3a" significa "tres por a" o, lo que es lo mismo, "a + a + a" (salvo que se especifique que "a" es la cifra de las unidades de un número y 3 es la cifra de las centenas).

El signo igual también tiene en muchas ocasiones un significado distinto cuando trabajamos en Aritmética o en Álgebra. Así,

2 · 6 = 6 + 6 = 2 · (4 + 2) = 6 · (1 + 1) = ...

aquí el signo igual se utiliza para expresar de distintas formas varias operaciones que dan todas el mismo resultado, en cambio, en x + 6 = 10 es cierto sólo para x = 4.

Expresiones literales

Cuenta la historia que a mediados del siglo XVI los estados españoles estaban muy distanciados y para comunicarse sin que sus mensajes pudiesen ser conocidos por sus enemigos, empleaban una serie de caracteres desconocidos. Durante los desórdenes de la unión, su código secreto estaba compuesto por unos 500 caracteres diferentes y aunque sus mensajes eran frecuentemente interceptados, no podían ser descifrados. Mandadas estas cartas a Vieta las descifró sin mayores problemas. Esto desconcertó a los españoles durante dos años que pensaron que el rey lo había descubierto a través de un mago. Este mago, que era solo un matemático, había aplicado sus inventos de escrituras y notaciones matemáticas. Estos trabajos están publicados en el libro "El Álgebra nueva" donde Vieta muestra el enorme interés que tiene para las matemáticas (y otras ciencias) el efectuar cálculos con letras en lugar de con números.

Actividades de introducción

Se acaba antes empleando símbolos

El profesor de Juan le ha dicho que intente simbolizar una serie de frases. Su hermano mayor decide ayudarle en la primera y lo hace así:

Tengo el doble de canicas que tu.

Llamo p al número de canicas que tengo yo y t al número de canicas que tienes tu. ("siempre debes especificar qué es cada letra", le dice). La frase anterior se simbolizará p = 2t

Ayúdale con estas otras frases:

  1. Entre los dos tenemos 5 euros.
  2. Ahora mismo, el padre de Carlos tiene triple edad que él.
  3. No me quites 8 pegatinas que entonces te quedas con una más que yo.
  4. Si buscamos dos gusanos más cada uno yo tendré el doble que tu.
  5. La suma de tres números consecutivos es 243.

Adivina un número

Piensa un número entero.
Súmale su doble.
Añade 6 al resultado obtenido.
Divide el resultado anterior por 3.
Réstale al nuevo resultado el número inicial.
  1. ¿Qué número obtienes?
  2. Repite los pasos anteriores con un número cualquiera a.
  3. ¿Te ayuda la simbolización para explicar lo sucedido?

Máquinas de calcular

Disponemos de cuatro máquinas elementales:

Con ellas puedes inventar otras que realicen cálculos más complejos. Ahí tienes dos de ellas:

a. Calcula el resultado que da cada máquina para a = 2, b = -3 y c = 5.

b. Escribe la expresión calculada por cada máquina.

c. En cada caso, inventa una máquina que sólo utilice tres máquinas elementales y efectúe el mismo trabajo.

d. Construye una máquina que nos permita calcular las expresiones:

6(a + b) - 4(a - b) - a

(3a + b)2 + (3a - b) + a

En todas las actividades anteriores habrás observado las grandes ventajas que nos presenta el uso de las letras en su planteamiento y resolución.

A estas combinaciones de letras y números ligadas entre sí por una o más operaciones se les llama expresiones algebraicas.

Utilizando y fabricando fórmulas

Las fórmulas son expresiones que representan relaciones entre medidas. Por ejemplo, el área de un rectángulo de base a y altura b es S = a · b.

Utilizando....

En una convocatoria de plazas para entrar en la policía local, se exige para los solicitantes que tengan un peso no superior ni inferior al 20% del teórico ideal, calculado según la fórmula siguiente:

donde t es la talla en cm, e la edad en años y k una constante que vale 0'8 para las mujeres y 0'9 para los hombres.

  1. Miguel tiene 30 años, mide 1'75 m y pesa 90 kg. ¿podría solicitar la plaza?
  2. Blanca tiene 25 años, mide 1'60 m y pesa 42 kg. ¿Podrá solicitarla?
  3. ¿Cuál sería el peso ideal de un baloncestista de 25 años y 1'90 m de altura?
  4. Si una persona pesa 80 kilos y tiene 20 años ¿cuál debería ser su estatura?
  5. Un futbolista retirado de 40 años mide 1'75 m y pesa 80 kg. ¿Tu crees que se conserva bien?
  6. Calcula tu peso ideal.

Fabricando.....

Escribe fórmulas en cada uno de los casos siguientes:

1. ¿Cuánto gastas......

    a)  si vas a la papelería y compras 5 lápices a x cts. cada uno y 3 libretas a y cts. cada una?

    b)  si vais a la playa en autobús tus padres, tu abuelo y un hermano pequeño? (El billete de autobús de una          persona adulta vale a cts., el de un pensionista 25 cts. menos y el de un niño 30 cts.

2. Expresa la distancia recorrida si llevas t horas viajando a 80 Km/h. Expresa también la distancia recorrida        cuando lleves dos horas más.

3. Escribe el área de la zona coloreada en cada una de las siguientes figuras:

Desarrollos y factorizaciones

Cómo desarrollar

Actividad resuelta

Vamos a desarrollar las expresiones A y B:

A = 2a · (a + 3)                                              B = (3a - 2) · (a + 4)

A = 2a · a + 2a · 3                                          B = 3a · a + 3a · 4 - 2 · a - 2 · 4

A = 2a2 + 6a                                                   B = 3a2 + 12a - 2a - 8 = 3a2 + 10a - 8.

Actividad

Desarrolla C = 4(x + 2) - 5x + (3x - 1) · (2x + 5)

Como habrás visto, para desarrollar una expresión se efectúan los productos indicados aplicando la propiedad distributiva. No debes olvidar respetar siempre las prioridades de las operaciones.

Desarrolla de tres formas distintas la expresión A = 3(p -1)(2p -2)

Cómo factorizar

En muchas ocasiones nos será muy útil expresar sumas de términos como producto de factores. Los factores comunes pueden ser números o expresiones algebraicas. A este proceso se le llama factorización.

Actividad resuelta

Vamos a factorizar las expresiones:

A = 6 + 8b2. A = 2 · 3 + 2 · 4b2 = 2 · (3 + 4b2).

B = 10p2 - 30p B = 10p · p - 3 · 10p = 10p · (p - 3).

Actividad

Factoriza las siguientes expresiones:

  • A = - 35x2 + 56x4
  • B = 7p3 - 28p2 + 21p
  • C = 2(x + 3) - (x - 5)(3x + 9)2
  • Si a, b, c, d y k son números cualesquiera, cuando se pasa, por ejemplo, de la escritura k · (a + b) a la escritura k · a + k · b se dice que se ha desarrollado el producto k · (a + b).Cuando se pasa de la escritura k ·a + k · b a la escritura k · (a + b) se dice que se ha factorizado la suma k · a + k · b.

    Análogamente:

     

    Actividad

    Encuentra en la columna de la derecha las expresiones que se corresponden con las de la columna de la izquierda:

    1   3x(2x + 5) A   (x-1)(x+2)
    2   (x-1)2+(x-1)3 B   -2(x-1)
    3   4(x+1)(2x+5) C   6x2+15x
    4   (2x-2)+(x-1)-5x+5 D   2(x-3)(2+x)
    5   4(x-3)+2x(x-3) E   8x2+28x+20

    Actividades finales

    Simbolización

    1. Escribe mediante una expresión algebraica:

  • La edad de Carlos es la mitad que la de Enrique.

  • En la fiesta de ayer había tres chicas por cada dos chicos.

  • Mi padre tiene tres años más que mi madre.

  • Si me regalaras cuatro cromos tendríamos la misma cantidad.

  • Adivina un número

    2. Piensa un número. Multiplícalo por 5. Súmale 10 al resultado. Multiplica por dos lo que te sale. Súmale ahora 80. Dime el resultado y te adivinaré el número que pensaste.

    3. Piensa un número; multiplícalo por 2 y después le sumas 3; multiplica lo que te sale por 5, súmale 5, divide por 10; réstale el número de partida, súmale 7 y multiplica por 4. Explica por qué, cualquiera que sea el número inicial, da como resultado 36.

    4. Piensa tres números naturales consecutivos y súmalos. Repite el proceso con otros tres números consecutivos distintos. ¿Encuentras alguna relación entre el resultado y alguno de los números utilizados? ¿Crees que esto es cierto siempre? ¿Cómo podrías demostrarlo?

    Utiliza fórmulas

    5. En un libro antiguo de medicina aparece la fórmula donde N es

    la dosis en medicamentos para niños, A es la dosis para adultos y e es la edad (en años) del niño (válida para niños mayores de 1 año).

    a. ¿Cuál es la dosis para un niño de 8 años si la dosis de adultos es 20 mg?

    b. Si el niño tiene menos de 1 año, la fórmula es: , donde ahora e es la edad del niño en meses. ¿Cuál es la dosis para un niño de 6 meses si la dosis de adultos es 350 mg?

     

    6. Se ha visto que la velocidad V (en cm/sg) de ciertos peces es:   

    donde L es su longitud (en cm) y n es el número de veces que mueve sus aletas en un segundo.

    Si un pez mide 10 cm y mueve sus aletas 14 veces por segundo ¿cuál será su velocidad?

     

    7. Una sardina nada a una velocidad de 224 cm/sg y su longitud es 16 cm. ¿Cuántas veces por segundo mueve sus aletas? A partir de la fórmula anterior encuentra otra que nos calcule n en función de L y V.

    8. Hace "algunos años" se pensó que una fórmula para obtener números primos era:

     donde n era un número entero cualquiera.

    a. Comprueba que esta fórmula es válida para obtener algunos números primos.

    b. Encuentra algún valor natural de n para el cual la fórmula no sea cierta.

     

    9. En algunos libros de Física podrás encontrar las fórmulas siguientes:

    Calcula a en función de las demás letras en cada una de las expresiones.

    Construye fórmulas

    10. La primera figura es un triángulo de lado a. Las otras dos resultan de construir sobre cada lado suyo un triángulo equilátero como se indica. Expresa el perímetro de las tres figuras en función de a.

    11. En el dibujo 1, el círculo pequeño tiene por diámetro p y los otros dos 2p y 4p. En el dibujo 2, el pequeño tiene por diámetro q y los otros dos 3q y 9q.

    Para ir de A a B por el camino 1, hay dos trayectos posibles: Todo derecho (T1) y siguiendo los círculos (C1). De forma análoga para ir de C a D están los caminos T2 y C2.

    a. Expresa mediante una fórmula la longitud de los trayectos T1, C1, T2 y C2.

    b. Si AB = CD = d, compara la longitud de los trayectos C1 y C2.

     

    12. Los dos cuadrados de la figura son idénticos.

    a. Escribe una fórmula que nos permita calcular el área de la figura.

    b. ¿Cuál sería el área si x = 5 cm?

     

    13. Expresa en función de x el área de las siguientes figuras:

        

                 

     

    14. Mi hermano mayor ha conseguido un puesto de trabajo en el mostrador de facturación de equipajes. Le han dicho que para cada viajero se admiten 30 Kgr sin pagar suplemento, pero que por cada Kgr que exceda de 30, habrán de pagar 2 euros. ¿Qué fórmula debe aplicar para hacer los cálculos?

    Desarrollos

    15. Desarrolla las siguientes expresiones:

    a.

    b.

    c.

    d. 3(p+3) + (p-5)(2p+1) - 2(p+2)(p+1)

    Factorizaciones

    16. Factoriza las siguientes expresiones:

    15x + 225

    6p - p

    2x3 + 8x2

    (2x - 3)2 - 1

    (2x + 3)·(x + 1) + 4x·(2x + 3)

    (3x + 2)2 - x(3x + 2)

    (x + 2)2 - 5(x + 2)(x - 1) + (x + 2)

    [2(2x - 3)]2 - (2x + 1)2

    x(2x - 3) + 3 - 2x

    xy + x + y + 1

     

    17. Sea A = (x2 - 9)2 - (x + 3)2

    Desarrollar A.

    Factorizar A de dos formas diferentes.

    Calcular el valor de A para x = 0  y   x = 4.

    Para entretenerse

    Cuadrados mágicos

    Esto es un cuadrado mágico.

    La suma de los números de cada fila, columna y de las dos diagonales es la misma. Llama S a esta suma (número mágico).

    Expresa S en función de a y b y completa todas las casillas del cuadrado.

    18. Los cuadrados siguientes son también mágicos y están construidos con el mismo modelo anterior.

    Calcula en cada uno de ellos el número mágico y completa todas las casillas.