Definición de funciones afines

Actividad de introducción

Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto.

Consideremos los siguientes casos:

 

a.    Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros:

Tiempo (min.)

0

1

4

6

t

Volumen (lit.)

0

5

20 30 5·t

La fórmula que expresa la relación entre el Volumen y el tiempo es: V = 5·t

b.   Si el volumen inicial fuera de 20 litros.

Tiempo min.

0

1

4

6

t

Volumen lit.

20

25

40 50 5·t+20

La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo será V = t + 20.

Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendríamos una recta paralela a las anteriores que pasaría por (0,5) y cuya ecuación sería V = 5·t + 5.

¿Qué fórmula correspondería a esta situación gráfica?

Las gráficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas, su ecuación era y = a·x. Como acabamos de ver las gráficas de ecuación y = a·x+b  son rectas paralelas a la de y = a·x que atraviesan al eje de ordenadas a altura b.  Estas  funciones se denominan funciones afines. En consecuencia sólo se precisan un par de valores para obtener su gráfica.

Determinación de una función afín a partir de una tabla.

De una función afín, cuya fórmula desconocemos, sólo sabemos las imágenes de los valores 1, 5, 7 y 10:

Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y:

)x 4 6 3
)y 6 3 4'5

observamos que se corresponde con una relación de proporcionalidad directa de razón .

Demostraremos que la fórmula que expresa la función tiene por pendiente 1'5, es decir, y = 1'5·x + b. 

Como f(1) = 3'5, será 3'5 = 1'5·1 + b, de donde b = 2 y la fórmula buscada sería y = 1'5 x + 2

Veamos que, en efecto, el coeficiente a es la pendiente:

Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1, y sus respectivas imágenes mediante la función y = a x + b

Se tiene que

La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera. Si la pendiente es positiva, la recta sube y si es negativa baja.

Actividades

  1. Determina la fórmula de la función afín que corresponde a cada caso:

    a.

    x

    2

    5

    y

    -1

    8

    b.

    c.

    Servicios de grúa

  2. Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas. Si dispones de algún seguro de asistencia las cosas resultan más fáciles. No es nuestro caso, por lo que recurrimos a este servicio de grúas que se anuncia en un periódico:

    Elabora una tabla, dibuja la gráfica y obtén la ecuación que relaciona el precio según el nº de km para cada caso:

    a.   Turismo fuera de Málaga capital en día laboral.

    b.   Turismo fuera de Málaga capital de noche o en día festivo.

    c.   Efectúa de nuevo los apartados a y b, pero para una furgoneta.

    Electricidad

  3. A partir de una experiencia realizado con un aparato eléctrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensión e I la intensidad de la corriente eléctrica:

    I 1 2 3 5 11 15 16
    V 193 186 179 165 123 95 88

    Comprueba si V es función afín de I, y en tal caso expresar la fórmula que los relaciona.

    La caída

  4. En una experiencia de mecánica se obtiene la tabla de valores siguiente, donde t indica el tiempo (en segundos) de la caída de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t:

    t

    0'1

    0'2

    0'5

    0'7

    1

    1'2

    1'3

    d

    0'05

    0'2

    1'25

    2'45

    5

    7'2

    8'45

    ¿La función t v d es afín?

     

  5. Dada la siguiente gráfica:

    a.   ¿Son (50,101) y (33,65) puntos de la gráfica?

    b.   ¿Cuáles son las coordenadas de A y B?, es decir, ¿qué punto de la gráfica tiene de abscisa 3, y qué punto tiene de ordenada 3?

    c.   ¿Qué punto de la gráfica tiene abscisa 25?, ¿qué punto tiene de ordenada 33?

    d.   ¿Cuáles son las coordenadas de C y D?

    e.   El punto (4,9) está en la gráfica puesto que 9 = 2· 4 + 1. Indica cuáles de los siguientes puntos están por debajo o por encima de la gráfica: (2,0), (2,27) y (2,1391).

    f.   Indica qué puntos están a la izquierda o a la derecha de la gráfica: (0,5) (-33,5) (12,5).

    g.   Indica la situación abajo-arriba, izquierda-derecha de los puntos: (323,259) y (-82,141).

    h.   Dado el punto (4,2), señala el punto de la gráfica que está en su misma vertical. ¿Cuál está en la misma horizontal?.

    i.   ¿Qué punto está en la vertical del 0?; ¿y en la horizontal?. Tiene relación con el lugar en el que la gráfica corta a los ejes? ¿Por qué?

     

  6. A partir de los datos de la figura, obtener la fórmula que define esta gráfica:

  7. Averiguar las coordenadas de A, B, C y D  observando la figura.

    ¿Qué se puede decir de las funciones del tipo y = 0'5x + b, con b un número cualquiera?

     

  8. Halla la función representada por la recta roja:

  9. Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la gráfica de la figura:

    Intersección de gráficas

    Curvas de oferta y demanda

    Un mercado de un producto está formado por vendedores y compradores. Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es lógico que se tienda a producir más cantidad de producto (hay más oferta); si el precio es menor y se gana menos, la producción del artículo también será menor (hay menos oferta).

    De otro lado, a más precio menos cantidades comprará el consumidor (hay menos demanda), y a menor precio más cantidades se venderán (hay mayor demanda).

    Los economistas saben que la relación entre precio y oferta, y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulación matemática.

    Supongamos que, tras un análisis de mercado, se llega a la conclusión de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes  viene dada de la siguiente forma:

    OFERTA: , donde y es el precio en y x el número de cajas de disquetes ofertadas.

    DEMANDA: , donde y es el precio en y x el número de cajas que se demandan.

    El punto de equilibrio, que se corresponde con el corte de ambas gráficas, es el término en el que coinciden compradores y vendedores. Veamos cómo hallarlo:

    P es un punto de la línea de oferta, en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuación: ; análogamente, por ser P de la  gráfica de demanda también se cumple que . Es decir, las coordenadas de P son la solución del sistema determinado por las ecuaciones de ambas gráficas:. Procediendo por el método de igualación se obtiene P = (200,9) El mercado estará estable a un precio de 9 €.

     

  10. Halla el punto donde se cortan las gráficas:

    a.

    b.

    Actividades de construcción y determinación de funciones afines

  11.  

  12. Un motorista parte de Málaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante. Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t. (t está medido en horas).

    Se sabe que la función d: t d(t) es una función afín con d(0) = 120 y que d(2) = 60.

    a.   Representar gráficamente d(t) en función de t.

    b.   Determinar los números a y b tales que d(t) = at + b.

    c.   Calcular gráfica y analíticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada.

     

  13. Rally automovilístico
  14. Tres coches A, B y C participan en un rally:

    El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Km/h.

    El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Km/h.

    El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Km/h.

    Designamos por dA, dB y dC las distancias recorridas por los coches A, B y C desde el comienzo de la etapa.

    a.   Representar gráficamente sobre un mismo dibujo las funciones tdA(t) tdB(t) tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km).

    b.   Obtener dA, dB y dC en función del tiempo t.

    c.   Determinar gráficamente y por procedimientos de cálculo:

    d.   El instante en que C coge a A.

    e.   El instante en que C coge a B.

    f.   El instante en que B coge a A.

    h.   El instante en que C se sitúa a la misma distancia de A y B.

     

  15. Peso ideal
  16. Si x es la altura de una persona en cm, el peso teórico, en Kg, está dado por la fórmula

    a.   Calcular el peso teórico de un alumno que mide 1'50 m.

    b.   Calcular el peso teórico de un jugador de baloncesto de 2'10.

    c.    Cuál será la talla de una persona cuyo peso teórico es de 65 Kg

    d.   Obtener una tabla y representar gráficamente: 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso.

    e.   ¿Qué tipo de función es?

    f.   Si fuera afín p(x) = ax + b. ¿Cuánto valen a y b? Tienes dos opciones:

            Usa la gráfica y determina a y b, o simplifica el segundo miembro de la fórmula inicial.

    g.   El peso ideal es inferior un 15% al peso teórico: Calcula el peso ideal de una persona de peso teórico 70 Kg.

    h.   Calcula el peso ideal de una persona de talla 1'60.

    Actividades finales