FUNCIONES

INTRODUCCIÓN

Las gráficas son medios potentes para tratar gran número de problemas. Se utilizan en todas las disciplinas: física, biología, economía, sociología, psicología, etc.

Las gráficas dan una rápida información visual de la relación entre dos magnitudes.

ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN

  1. Abajo tienes varias gráficas que relacionan distintas magnitudes.
  2. Escribe, para cada gráfica, una frase comparando A y B. Por ejemplo, en la 1ª, B tiene más temperatura y mayor longitud que A.

    Actividad resuelta:

    "...quien a buen árbol se arrima......."

    Desde las 9 de la mañana hemos ido anotando la longitud de sombra de un poste vertical. Éstos son los resultados:

    La hora del día y la longitud de la sombra son magnitudes que están relacionadas. Además, a cada hora del día le corresponde una única longitud de sombra. Podemos resumir escribiendo que la longitud de la sombra depende o es función de la hora del día.

    Si representas los pares de valores (hora del día, longitud de sombra): (9,21), (10,15'5), ........., etc. recogidos en la tabla, en unos ejes de coordenadas obtienes la gráfica:

    Como observas en ella, la longitud de la sombra disminuye o decrece hasta las 13 horas y comienza a aumentar o crecer a partir de dicha hora. Diremos que la función es decreciente desde t = 9 hasta t = 13, y creciente a partir de t = 13.

    Además, la mínima longitud de sombra (6 m.) se alcanza a las 13 horas. En ese punto, (13,6), la función presenta un mínimo.

  3. ¡Cuidado con los medicamentos!

    En las instrucciones de un medicamento, que hay que administrar a un diabético, se establece que la dosis del mismo, expresada en mg, está en función del peso del paciente según la gráfica:

    Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde una dosis de 20 mg. Diremos que 20 es la imagen de 50 o que 50 es un original de 20 y escribiremos 50 Kg   →  20 mg.

    a.   ¿Cuál es la imagen de 75?, es decir, ¿qué dosis hay que suministrar a una persona de 75Kg?

    b.   ¿Se puede administrar a bebés?¿Y a personas obesas?.

    c.   ¿Qué peso tenía una persona a la que suministraron 40 mg?

    d.   ¿Para qué peso la dosis es máxima?

    Diremos que la variable dosis depende (o es función) de la variable peso: Peso  →  Dosis

    INTERPRETACIÓN DE FUNCIONES

    La relación entre dos magnitudes o variables puede expresarse mediante una gráfica, una tabla o una fórmula.

    Mediante gráficas

    A continuación proponemos unas actividades para que se realicen en grupo y sean discutidas en el aula.

  4. Después de bañarse en su casa, Ana dibuja un esbozo de gráfica que muestra lo que ocurre con el volumen de agua de su baño en función del tiempo transcurrido.

    a.   Si ambos grifos (caliente y frío) se abrieron al principio, ¿qué puede haber ocurrido en A? (Hay más de una respuesta).

    b.   Cuando el baño se está vaciando, Ana pone el pie en el agujero del desagüe. ¿Qué parte de la gráfica muestra esto?

    c.   ¿Cuándo aumenta el volumen del agua? ¿Cuándo disminuye?

    d.   ¿Cuándo se alcanza el volumen máximo de agua? ¿Y el mínimo?

    Como observarás, es la forma de la gráfica la que nos muestra si el volumen de agua aumenta más o menos rápidamente (la mayor o menor inclinación de la gráfica).

  5. Vamos de Benalmádena a unas clases en Alhaurín de la Torre. La distancia aproximada es de unos 10 Km. La clase comienza a las 8:15 y salimos de casa a las 7:30.

    Las siguientes gráficas muestran cómo las cosas son bastante distintas para Antonio, Bernabé, Carlos y Delicia.

    Antonio: Salgo con calma. En el camino comienzo a pedalear más fuerte.

    Bernabé: Acababa de salir cuando me di cuenta de que olvidé las zapatillas y tuve que volver.

    Carlos: Fui en moto, pero por el camino me quedé sin gasolina. Así que pie al suelo y andando.

    a.   ¿A quién corresponde cada gráfica?

    b.   ¿Qué diría Delicia?

    Si precisamos la gráfica de Antonio, podremos responder a varias cuestiones de manera más precisa.

    c.   ¿Cuántos Km lleva recorrido Antonio a las 7:45?,¿qué ocurre a las 7:55?¿Cuánto tiempo empleó en la primera mitad del trayecto?

    d.   Cuántos Km pedaleó entre las 8 menos cuarto y las ocho?

    e.   ¿Cómo se puede saber que Antonio ha ido a la misma velocidad en los primeros 20 minutos?

    f.   Si Antonio hubiera seguido con la misma velocidad, ¿habría llegado a tiempo al colegio?;¿ con cuánto adelanto/atraso?.

    g.   ¿Entre qué horas fue menor la velocidad de Antonio?, ¿cómo se puede saber?

    h.   Sandra sale al mismo tiempo que Antonio. Después de 20 minutos va exactamente 1 Km detrás de Antonio, y llega 5 minutos después que él al colegio. ¿Cómo se puede estar seguro de que Sandra no ha pedaleado siempre a la misma velocidad? Dibuja la gráfica de Sandra.

    i.   Roberto sale de Benalmádena 5 minutos después que Antonio y llega 5 minutos antes. Dibuja la gráfica de Roberto en los mismos ejes que la de Antonio, sabiendo que ha pedaleado a velocidad constante. ¿Por qué tu gráfica y las de tus compañeros ha de ser exactamente igual?

     

  6. Alicia va al colegio en autobús. El médico le ha prohibido ir en bici. Siempre coge el autobús de las 8 menos 25 y para en el colegio a las 8. Aquí ves la gráfica de Antonio y la de Alicia en el autobús:

    a.   ¿Iba hoy el autobús puntual?

    b.   El autobús ha parado varias veces por el camino. ¿Cómo lo puedes ver en la gráfica?

    c.   ¿A qué hora y a qué distancia de Benalmádena adelantó el autobús a Antonio?.¿Cómo sería si el autobús fuese puntual?

    d.   ¿Cómo puedes ver en las gráficas que Alicia estaba antes en la mitad del camino?.¿Cuántos minutos antes?

    e.   ¿Cuántos Km le quedaban a Antonio cuando Alicia llegó al cole?

    f.   ¿A qué hora aproximadamente llevaba más ventaja Alicia?

    g.   Explica por qué ha tenido que haber un momento en el cual la ventaja de Alicia era exactamente de un kilómetro.

     

  7. Dos monos subieron por un poste. El 1º subió lentamente al principio y después aumentó la velocidad gradualmente. ¿Cuál es la gráfica de este mono?

    a.   Describe con palabras el ascenso del otro mono.

    b.   ¿Qué separación había entre los monos después de 1 minuto, 2 minutos,....?

    c.   ¿Qué tiempo emplearon en llegar a la mitad del poste?

    d.   Completa la gráfica sabiendo que el mono B se quedó arriba y el mono A bajó a velocidad constante.

     

  8. ¿Cuál de los tres perfiles de la derecha se corresponde con el de la carretera recorrida por un ciclista, si su gráfica es la de la izquierda?

    Como hemos comprobado, la observación de una gráfica permite analizar características como el crecimiento o decrecimiento y la existencia de valores máximos y mínimos. También se pueden observar fácilmente otras propiedades.

    Periodicidad

    Cuando un fenómeno se reproduce a intervalos regulares, en una serie de ciclos idénticos encadenados los unos a los otros, se le califica de periódico, teniendo en cuenta que el período equivale a la duración de un ciclo.

    En la gráfica de abajo tienes una curva que estima, con bastante exactitud, la temperatura media del aire en Fairbanks, Alaska (expresada en grados Fahrenheit):

    Observa cómo partes de la gráfica se repiten cada cierto intervalo. Este intervalo mínimo de repetición (el más pequeño posible) se llama periodo, en nuestro caso es de un año; y a este tipo de funciones les llamaremos periódicas.

    Hay numerosas situaciones reales que se traducen en funciones periódicas: ciclos lunares, mareas, estaciones, órbitas, ciclo menstrual, biorritmos, etc.

    Actividad (Biorritmos)

  9. Según ciertas personas existen tres ciclos que ejercen influencia sobre las personas: el ciclo corporal (fuerza, vitalidad, resistencia a las enfermedades) de periodo 24 días; el ciclo de los sentimientos con un periodo de 28 días (creatividad, tristeza, alegría); y por último el ciclo intelectual con un periodo de 33 días. El día del nacimiento comienzan los tres ciclos en el punto cero y desde allí comienzan a subir.

    a.   ¿Después de cuántos años llega el ciclo a un punto como el del nacimiento?

    b.   ¿Cuántas veces en la vida alcanzamos el día total, es decir los tres ciclos en su máximo?

    c.   Los días críticos son aquéllos en que una de las tres curvas alcanza su punto cero. Determina tus días críticos.

    Mediante tablas

    Se juegan 8 partidos durante el invierno. Ésta fue la asistencia de público a cada partido:

    Partido

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    Asistentes

    2800

    2000

    2600

    2300

    1500

    600

    1400

    900

    Su gráfica es:

    La cantidad de asistentes no cambia gradualmente entre partidos: no pasó de 2.800 a 2.000 entre el partido 1 y el partido 2. No hubo ningún partido entre los ocho mostrados en la gráfica. Por tanto, desde un punto de vista estricto, los puntos no deberían ser unidos.

    La variable nº de asistentes no toma valores entre dos consecutivos, por ello decimos que es una variable discreta.

    El gráfico anterior es más fácil de interpretar si los puntos se enlazan mediante líneas rectas.

    Ha de quedar claro que estas líneas no tienen un significado real.

    !No tendría sentido usar el gráfico para estimar cuánta gente va al partido número 3'5!.

    Ruptura de un eje

    En ciertas ocasiones hay que elegir con cuidado las escalas de los ejes para que la gráfica asociada a una tabla se lea adecuadamente. Lee los siguientes ejemplos:

    José está enfermo. La tabla nos muestra su temperatura corporal, tomada por su madre cada hora.

    Hora

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    Temperatura

    37'1

    37'1

    37'2

    37'4

    37'6

    38'7

    38'1

    38'4

    38'6

    38'3

    Y éste es el gráfico de temperaturas:

    Cuando una persona está enferma, cada pequeño cambio en su temperatura puede ser importante y debería ser convenientemente reflejado por la gráfica.

     En el gráfico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentúa convenientemente la variación de la temperatura. Sería mucho mejor numerar el eje de temperaturas de los 37º C hasta los 39ªC usando una línea quebrada para indicar que la escala no comienza en 0ªC.

    La variable Tiempo es una variable continua: tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas.

  10. La tabla no muestra la temperatura de José a las 9:30. ¿Podrías estimarla a partir de la gráfica? ¿Qué temperatura tenía a las 2 menos cuarto?

    Gráficas engañosas

    Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los últimos 4 años:

    Año 1999 2000 2001 2002
    Ventas (en miles de €) 2000 3000 7000 12000

    Observa estas dos gráficas:

    Representan exactamente la misma situación. Sin embargo, la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente. Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad.

    Mediante fórmulas

    Funciones lineales

    El grifo

    Un grifo vierte 15 litros por minuto. Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales. Si construimos una tabla y dibujamos la gráfica obtendremos:

    Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15, que es la razón de proporcionalidad.

    Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razón a dan lugar a gráficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas, cuya ecuación es y = a · x. Al número a se le llama pendiente.

  11. Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales:

    y = 2x; y = 3x, y = 0'4x, y = -x e y = -3x

    a.   Estudia cómo varía la inclinación de la gráfica según la pendiente.

    b.   ¿Qué cuadrantes del plano ocupa la gráfica si la pendiente es positiva?¿Y si es negativa?

  12. Completa para cada gráfica la siguiente tabla:

    Halla en cada caso la fórmula que las define.

     

  13. De una función lineal se conoce que, la imagen de 3 vale 12.¿Cuál es su fórmula?¿Cuál es la imagen del 5?


  14. La siguiente gráfica indica cómo varía la altura del líquido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua.

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Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros países que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas. Para pasar de grados Fahrenheit a Centígrados se utiliza la fórmula: , siendo F el número de grados fahrenheit y C el resultado en grados centígrados. Volver

Actividades finales