MOSAICOS

Los mosaicos, al igual que los frisos, se pueden generar a partir de un motivo mínimo mediante la combinación de diferentes movimientos. No vamos a a realizar ese estudio porque es complicado para este curso (hay 17 tipos diferentes de mosaicos), pero sí veremos algunas formas de dibujarlos. 

Comenzaremos, en particular, considerando un motivo mínimo inscrito en un cuadrado.

Dibujo de mosaicos a partir de dibujos inscritos en un cuadrado

En los ejemplos siguientes hemos pretendido que las regiones del dibujo estén acotadas.

Generación de mosaicos mediante traslaciones:

Para que queden regiones acotadas, si el dibujo toca en un lugar de un lado, también ha de tocar en el mismo lugar del lado opuesto. Debe de tocar la figura en los cuatro lados.

(ver animación)

Generación por simetrías

Para generar mosaicos con regiones acotadas, mediante simetrías, sólo es necesario que la figura toque los cuatro lados del cuadrado. Una vez realizadas las dos primeras simetrías, da igual continuar por simetrías o por traslaciones.

(ver animación)

Generación por giros:

Realizamos un dibujo inscrito en el cuadrado.

Los puntos de corte con los lados deben ser simétricos respecto del alguno de los ejes diagonales del cuadrado.

Entonces el mosaico que se genera mediante giros determinará regiones cerradas:

Se gira, con ángulos de 90º, 180º y 270º, y centro en O. A continuación se traslada o se vuelve a girar el cuadrado resultante:

(ver animación)

(ver animación)

Veamos ahora cómo un mismo motivo determina diferentes mosaicos:

 (ver animación)

Observaciones:

• Si el motivo tiene dos simetrías oblicuas, entonces el mosaico generado mediante giros coincide con el generado mediante simetrías:

(ver animación)

Actividades

1. ¿Cómo habrá de ser el motivo para que:

• el mosaico por traslaciones coincida con el de giros
• el mosaico por traslaciones coincida con el de simetrías
• los tres mosaicos sean iguales?

(ver solución)

2. Inventa, sobre un mismo motivo mínimo inscrito en un triángulo equilátero, diferentes mosaicos.

Dibujo de mosaicos mediante técnicas de Escher

El famoso artista holandés M. C. Escher dibujó sorprendentes figuras que encajaban entre sí formando bellos mosaicos. Llega a parecer realmente arte de magia cómo lagartos, caballeros o pájaros solapan a la perfección cubriendo armoniosamente el plano. A continuación vamos a estudiar en parte estos métodos que,  modificando los lados de algunos polígonos y aplicando movimientos, nos permiten obtener variados mosaicos.

A) Por traslaciones.

Sobre un paralelogramo o un hexágono, se modifica (o "recorta") un lado y se traslada la modificación (o se añade lo recortado) hacia el lado opuesto: 

El siguiente ejemplo es debido a Escher:



B) Mediante giros de 180º con el centro en el punto medio de un lado de un cuadrilátero, triángulo o hexágono.



OBSERVACIÓN: No es necesario hacer el mismo recorte en todos los lados. Pulsa sobre la figura y lo comprobarás:



3. Inventa otro ejemplo sobre un cuadrado.

C) Mediante giros  de 60º, 90º o 120º desde un vértice en algunos polígonos. Los vértices desde los que se gira no pueden ser contiguos.



Si pulsas sobre Bilma verás otro ejemplo animado:



Este bonito ejemplo se debe a Escher:





D) También se pueden utilizar técnicas mixtas.

Utilizamos primero la técnica C al modificar un lado del triángulo y girar 60º desde un vértice. En el otro lado que queda sin modificar utilizamos la técnica B:



Hay otras técnicas. Abajo mostramos una más complicada que las anteriores,  empleando deslizamientos,  de la que vemos un par de ejemplos con la única intención de que los admiréis. Están basados en dibujos de Escher:





Observaciones sobre las técnicas estudiadas

 

• Un mismo mosaico puede ser generado mediante técnicas diferentes. Aquí tenemos tres formas distintas de obtener el famoso "avión", presente como la pajarita y el hueso en los azulejos de la Alhambra. En el primer caso se obtiene directamente mediante técnicas de Escher, y en los otros casos al dibujar el mosaico que se realiza girando la trama 1 o por simetrías en la trama 2 (compruébalo fácilmente dibujando las tramas sobre un papel cuadriculado).





• En muchos casos, aunque no siempre, si la figura que tesela el plano se construyó a partir de un paralelogramo, observarás que cada cuatro figuras confluyen en un punto (o que cada motivo es adyacente a otros4), si se realizó a partir de un hexágono confluyen tres en un punto (o que cada motivo es adyacente a otros 6) y, si se hizo a partir de un triángulo confluyen seis (o que cada motivo es adyacente a otros 3).
• Los movimientos que intervienen en la construcción de la figura influyen en la colocación de las piezas en el mosaico: si en la formación de la figura intervinieron giros, en el mosaico habrá piezas adyacentes que encajen mediante giros. Si intervinieron traslaciones, habrá piezas adyacentes que encajen mediante una traslación.

El siguiente ejemplo te aclarará lo anterior:

Ejemplo paloma

• Lo importante de este asunto es que la forma en que se ha construido la figura deja sus huellas en el mosaico: los movimientos que hacen encajar una figura en sus adyacentes dan pistas acerca de su generación:

Ejemplo sheriff vigilando:

Miremos con atención el siguiente mosaico:



Observamos que un vaquero toca con otros cuatro (se construyó sobre un cuadrilátero). Los movimientos que hacen encajar una figura con sus cuatro adyacentes son traslaciones y giros de 180º; éstas son pistas suficientes para saber con qué técnica se generó el sheriff (ver solución animada)

• Una misma figura también se puede generar por técnicas diferentes de escher, lo que determinará que de lugar a diferentes mosaicos:



Con las siguientes actividades profundizarás en lo estudiado.

Actividades

4. Explica mediante qué técnicas se construyó la niña:



(ver solución)

NOTA: Lamento no citar, por desconocerlo, al autor del mosaico niña.

5. Haz lo mismo con los siguientes mosaicos:



(ver solución)



(ver solución)



(ver solución)

6. Demuestra que cualquier cuadrilátero tesela el plano. (ver solución)
7. Demuestra que cualquier hexágono con simetría central tesela el plano. (ver solución)
8. Estudia a partir de qué polígono, y mediante qué transformaciones, se genera el psicodélico motivo de nuestro mosaico:

(ver solución)

9. Estudia cómo se generaron los siguientes mosaicos:

   

   (Escher)

   

   (Escher)