SIMETRÍAS AXIALES (REFLEXIONES)

Si colocamos, sobre la línea S, un espejo perpendicular a la página que mire hacia el dibujo, obtendremos un triángulo isósceles:

Diremos que el triángulo isósceles tiene en la recta S un eje de simetría.

 

Sobre el cuadrado se han señalado 4 rectas. Si colocas el espejo sobre cada una de ellas, y miras, verás de nuevo el cuadrado: a, b, c y d son ejes de simetría del cuadrado.

 

Actividades

  1. ¿Cuántos ejes de simetría tiene el triángulo rectángulo?¿Y el pentágono regular? ¿Y el hexágono? ¿Y el círculo?.
  2. Dibuja el resultado que observarías al colocar el espejo sobre la diagonal de un rectángulo.
  3. Busca en la naturaleza, el arte o la publicidad, figuras con distintos ejes de simetría.
  4. Dibuja el lugar donde el espejo reflejaría el punto:
  5. Indica donde se colocó el espejo (P’ sería la imagen reflejada de P):
  6. La actividad anterior nos dará pie para definir la noción de simetría axial: 

    Dos puntos P y P' son simétricos respecto del eje S, si éste es la mediatriz del segmento que forman P y P'. Si un punto está sobre el eje, entonces coincide con su simétrico.

    Construcción del simétrico, de un punto P respecto del eje S, con regla y compás

    Elige dos puntos, A y B, sobre el eje; traza, con centros en A y B, dos arcos de circunferencia que pasen por P. La intersección de dichos arcos determina el simétrico P'.

     

     

     

     

     

  7. Completa la simétrica de la figura, sabiendo que A' es el simétrico de A. Dibuja previamente el eje de la misma.

  8. Contesta qué casos de los siguientes obedecen a una simetría. Dibuja, si procede, el eje de la misma.

  9. Dibuja los simétricos de los siguientes rectángulos:

    ¿En qué casos no te valdría el espejo para anticipar el resultado?

  10. ¿Qué puntos permanecen fijos en una simetría?
  11. ¿Que características ha de tener una figura para que sea invariante mediante la simetría de eje S?

     

     

    Las simetrías, al contrario que traslaciones y giros, no conservan la orientación. Diremos por ello que la simetría es un movimiento inverso.

     

     

     

     

    Cuadro-Resumen

    Traslación

    Giro

    Simetría

    Se define mediante...

    Un vector

    Un centro y un ángulo

    Un eje

    ¿Conservan la forma y tamaño?

    Se determinan con la imagen de...

    Un punto

    Dos puntos no alineados con el centro

    Un punto ajeno al eje

    ¿Varía la inclinación?

    No

    A veces

    ¿Conservan la orientación?

    No (la invierte)

     

  12. Indica, en cada caso, si hay algún movimiento que haga encajar la figura de la izquierda sobre la de la derecha

  13. La gráfica de la figura es simétrica respecto del eje de abscisas. Halla la relación entre f(x) y f(-x)

     

     

     

     

     

  14. Las siguientes figuras se han obtenido colocando un espejo sobre la figura A. ¿En donde se colocó el espejo en cada caso? (Estas cosas son de Rafael Pérez Gómez).

    Composición de simetrías

    A) De ejes paralelos

    Aplícale a las figuras, en cada caso, la simetría S1 y vuelve a aplicar al resultado obtenido la simetría S2.

    Al movimiento resultante lo llamaremos composición de S1 con S2 y lo notaremos como

    S2 º S1.

    Comparando la original con la resultante comprobarás que la primera se aplica en la última mediante una traslación.

    (Pulsa aquí para practicar la composición. NOTA: mueve el triángulo amarillo, sus vértices y los ejes)

  15. Dibuja el vector asociado a la composición anterior y responde a las siguientes preguntas:

    ¿Cuál es el sentido del vector de traslación?

    ¿Se obtiene el mismo resultado invirtiendo el orden de aplicación de las simetrías?

    ¿Cuál es resultado de la composición S1 º S1?

    ¿Qué movimiento resulta de componer un número par de simetrías de ejes paralelos?

    ¿Y un número impar?

  16. En la figura tienes dibujado un eje S1 y un vector . Si nos dicen que S2 º S1 es , ¿sabrías dibujar el eje de S2? ¿Y si fuera S1 º S2 igual a ?

  17. Dada cualquier simetría S, ¿Qué ocurre si realizamos la composición, S º S, de ella consigo misma?

    B) De ejes no paralelos

    Realizamos con el banderín la composición S2 º S1:

    Comprobamos que la figura original se aplica en la resultante mediante un giro cuyo centro es la intersección de los ejes

    (Pincha aquí para practicar la composición. También puedes mover el triángulo amarillo, sus vértices y los ejes)

  18. Responde a las siguientes preguntas:

    ¿Existe relación entre el ángulo que forman los ejes y el ángulo de giro?

    ¿Qué hecho determina el sentido de giro?

    ¿Obtienes el mismo resultado si inviertes el orden de aplicación de las simetrías?

  19. Dibuja dos ejes S1 y S2, de manera que O120 = S1 º S2
  20. La figura (a) se aplica en la (b) mediante S2 º S1. De S1 sólo sabemos que corta a S2 en el punto O. Dibuja, con la ayuda de un transportador de ángulos, la posición del eje S1.

     

     

     

     

     

     

     

  21. Dibuja, con la ayuda de un transportador, un eje  S2 , de forma que el giro O70 sea igual a S1 º S2. Dibuja otro eje S3 de manera que O70 sea igual a S3 º S1.

    APLICACIONES DE LAS SIMETRÍAS

    Problemas de distancias

    Solución:

    1) Construimos el simétrico de R respecto de la línea del canal

    2) La línea que une R' y A corta al canal en el punto C.

    3) El camino más corto es el que va de R hasta C y de C hasta A

     

    1. 1) Buscamos una piedra grande o un arbusto junto a la orilla opuesta (representado por B) y nos colocamos frente a él en la posición A.
    2. 2) Trazamos una línea recta hasta alguna posición M de nuestro lado.
    3. 3) Con la ayuda de un aparato que mida ángulos, trazamos desde M y desde A sendas líneas que formen con AM los mismos ángulos que las MB y AB. El punto en el que se corten (B') estará a igual distancia de A que el punto B (B' es el simétrico de B respecto del eje AM)

     

Composición de giros con distinto centro (La demostración es opcional)

a) Los ángulos no son opuestos ni suman 360º

Realicemos la composición de los giros O2120 º O140 .

1. Dibujamos el eje r que pasa por los dos centros.

2. Dibujamos el eje q, de manera que O140 = Sr º Sq

3. Dibujamos el eje t, de manera que O2120 = St º Sr 

Tenemos entonces que O2120 º O140 = St º Sr º Sr º Sq = St º Sq =  O160

Este procedimiento nos permite asegurar que la composición de dos giros con distinto centro es otro giro con ángulo igual a la suma de los ángulos de ambos giros. El mismo procedimiento indica el cálculo del nuevo centro.  

b) Los ángulos son opuestos o suman 360º

Realicemos la composición de los giros O2240 º O1120 .

Si realizamos un proceso similar al del caso a), obtenemos que los ejes t y q son paralelos. 

Por lo tanto O2240 º O1120 =  St º Sq es una traslación.

El resultado de componer dos giros cuyos ángulos sumen 360º (o sean opuestos) es un traslación.