La Geometría es la huella de la inteligencia

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

Esta es una de las partes de la Geometría con la que, tal vez de forma inconsciente, te encuentres más familiarizado.

Los movimientos (traslaciones, giros, simetrías y deslizamientos) se hallan presentes en nuestras actividades más cotidianas: en los juegos, en los objetos, en el Arte y la Naturaleza. También intervienen en la Química y la Cristalografía y, en cierto sentido, en la Música y la Poesía.

TRASLACIONES

●    En la figura tenemos el resultado de hacer avanzar el punto A(1,1) cuatro unidades en la dirección del eje de abcisas y dos en la de del eje de ordenadas:

●    La flecha azul, que llamaremos vector, muestra la trayectoria más corta que lleva B en B':

  1. Señala cuántas unidades hemos avanzado, en la dirección de cada eje, para llevar B en B'.
  2. Diremos que A' se obtiene aplicándole a A una traslación de vector de componentes (4,2). Análogamente, B' se obtiene aplicándole a B una traslación de vector de componentes (2,3).

    Para llevar C en C', hemos tenido que retroceder cinco unidades en la dirección del eje de abcisas, y retroceder (bajar) otros dos en el de ordenadas. Se dirá que C' se obtiene aplicándole a C una traslación de vector (-5,-2).

     

     

     

     

    Al aplicarle al punto P(x,y) la traslación de vector T(a,b) se obtiene un punto P'(X,Y), verificándose que . Diremos que éstas son las ecuaciones de la traslación.

                         

     

    Actividades

  3. Dibuja la imagen del punto A(1,1) mediante las siguientes traslaciones:

     T1 (5,2); T2 (5,-2); T3 (5,0); T4 (0,-2)

  4. Completa el trasladado de todo el indalo sabiendo que P' es el trasladado de P. Calcula el vector de traslación.

  5. De las siguientes situaciones, señala la que obedece a una traslación:

  6. Indica dos traslaciones que dejen invariante la onda.

  7. Una traslación aplica el punto (-10,33) en el (-15,48), ¿en qué punto se aplica el (11,98)?, ¿qué punto se aplica en el (1,22)?. Escribe las ecuaciones de la traslación.

    ¿En qué recta se transforma la recta de ecuación y = 3x + 5?

  8. ¿Se puede trasladar la recta y = 2x - 1 en la y = 3x +5? ¿Cómo han de ser dos rectas para que una pueda trasladarse sobre la otra? Di tres traslaciones diferentes que lleven la recta y = 2x-1 en la y = 2x + 5.
  9. Halla las ecuaciones de las rectas roja, azul y verde:

  10. Dibuja, sin dar valores, las rectas de ecuaciones y-1=0'5x+2, y+3=0'5x +2, y=0'5 (x-1)+2, y=0'5 (x+3)+2 e y+3=0'5(x-4)+2

    Composición de traslaciones

    Volvamos con un triángulo y sometámoslo en primer lugar a una traslación T1 (2,2'5); a continuación apliquémosle una nueva traslación T2(4,-4'5) al triángulo resultante. Comparando el original (a) con el final (c) se observa que (c) se obtiene de (a) mediante otra traslación cuyo vector T3 se deduce en la figura.

    A esta nueva traslación la llamaremos compuesta de T1 y T2 y la escribiremos como T2 º T1.

  11. Sean las traslaciones T1 (-4,6) y T2 (5,-3), traslada la figura mediante la composición T2 ºT1 (para ello, dibuja en primer lugar el vector resultante y aplícaselo a un punto de la misma)

    Vuelve a trasladar la figura mediante T1 º T2, es decir, aplicando en primer lugar T2 y a continuación T1 a la figura resultante.

    ¿Importa el orden de aplicación ?.(Es decir, comprueba si T2 º T1 = T1 º T2)

    Expresa la relación que existe entre las componentes del vector T3 y la de los vectores T1 y T2.

    Definición

    Llamaremos vector opuesto de T(a,b) al vector de componentes (-a,-b), y lo notaremos por -T.

  12. Considera el vector T(2,3). Dibuja una figura cualquiera y aplícale la composición T º (-T). Comenta el resultado.