Geometría del triángulo

Si construimos un paralelogramo, u otro polígono de más lados, con tiras de cartón y alfileres, obtenemos estructuras que se deforman presionando.

  

 

 

Realizando la operación con el triángulo, no conseguiremos modificarlo: es la rigidez del triángulo lo que hace que sea utilizado en multitud de estructuras de construcción.  

 

 

 

Parece ser que uno de los motivos que impuso el desarrollo de la Geometría fue la necesidad de medir la tierra. Como sabrás, la palabra Geometría procede del griego: Geo, que significa tierra y metron que significa medida.

En el antiguo Egipto, cuando sucedían las crecidas veraniegas del Nilo, las lindes de los terrenos se borraban y era necesario redefinir la separación entre terrenos. Un instrumento de medida, que utilizaban los agrimensores egipcios, eran unas cuerdas anudadas convenientemente, de tal forma que les fuera fácil la construcción de los ángulos rectos que formaban las parcelas.  

 

(Construcción de un ángulo recto y un triángulo equilátero con una cuerda de 12 nudos)

Clasificación de los triángulos

Por sus lados

Propiedad

La suma de los ángulos de untriángulo vale 180º

 

A + B + C = 180°

 

De lo anterior se deduce que en todo triángulo hay, al menos, dos ángulos agudos. Este hecho nos permite clasificar los triángulos en virtud de sus ángulos.

Por sus ángulos

Entre tus herramientas de dibujo tienes un cartabón, que no es más que un triángulo rectángulo isósceles.

 Con este instrumento puedes calcular algunas distancias inaccesibles como se muestra en el siguiente dibujo.

 

Construcción de triángulos

Conocidos un lado y sus ángulos adyacentes

Construir un triángulo con un lado de 7 cm y ángulos adyacentes de 30° y 50°.

Dibujamos como base un segmento de 7 cm y sobre sus extremos, con la ayuda de un transportador de ángulos, dibujamos los ángulos señalados. Prolongando los lados de los ángulos, obtenemos el tercer vértice.

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido

Construir un triángulo de lados 5 cm y 7 cm, siendo el ángulo comprendido de 40°.

Con el transportador dibujamos un ángulo de 40° y, sobre los lados del ángulo señalamos sendos segmentos de 5 y 7 cm, respectivamente. Uniendo los extremos de lso segmentos por un tercero, obtenemos el triángulo.

Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

Construir un triángulo con dos lados de 7 y 5 cm, y un ángulo de 30° opuesto al lado pequeño.

Sobre un extremo del lado mayor dibujamos un ángulo de 30°. Con un compás de radio 5 cm, trazamos un arco desde el otro extremo que corta en dos puntos el lado del ángulo. Obtenemos de esta manera dos soluciones al problema: los triángulos ABC y ABD de la figura adjunta.

Repite el problema anterior con un lado mayor de 15 cm y comenta el resultado.

Conocidos los tres lados

Construir un triángulo de lados 3, 5 y 6 cm.

Desde los extremos del lado mayor trazamos dos circunferencias de radios 3 y 5 cm. El punto de corte nos da el tercer vértice.

Actividades

Puntos notables de un triángulo

Circunferencia circunscrita a un triángulo

Se llama mediatriz de un segmento al lugar geométrico de los puntos equidistantes de sus extremos.

 

Para dibujar la mediatriz, se trazan, con igual radio, dos arcos desde cada extremo. La recta que une los dos puntos en los que se cortan dichos arcos es la mediatriz del segmento.

 

 

Si dibujamos las mediatrices de los lados de un triangulo cualquiera, observamos que se cortan en un punto C, llamado circuncentro, que está a igual distancia de los tres vértices (¿por qué?). Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

 

Actividades 

 

Circunferencia inscrita en un triángulo

Se llama bisectriz de un ángulo al lugar geométrico de los puntos equidistantes de sus lados. La bisectriz divide al ángulo en dos mitades iguales.

Para dibujar la bisectriz de un ángulo cualquiera conocido, se trazan, con igual radio, dos arcos desde A y B. El punto donde se cortan, junto con el vértice O del ángulo nos determina la bisectriz.

Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto I que está a igual distancia de los tres lados (¿por qué?). Este punto se llama incentro y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Actividad

Dibuja una circunferencia que sea tangente a las tres rectas.

Alturas de un triángulo

Se llaman alturas de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que son perpendiculares a un lado y pasan por el vértice opuesto.

Las tres alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.

Medianas de un triángulo

Se llaman medianas a los segmentos que unen el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado baricentro.

 

El baricentro tiene la siguientes propiedades:

1.- Es el centro de gravedad del triángulo.
Ata una plomada a un alfiler y pincha el triángulo por cada una de sus esquinas. El hilo define tres rectas que son las medianas. 

Si sostenemos desde el baricentro, el triángulo se mantendrá paralelo al suelo (en equilibrio).

2.- La distancia del baricentro a un lado es la mitad de su distancia al vértice opuesto.(En la figura anterior,

Recta de Euler

En cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro están contenidos en una misma recta, llamada recta de Euler.

Arrastra con el ratón los vértices del triángulo y observarás cómo se comportan sus puntos notables:

Actividades

 

 

 

 

 

 

 

Relaciones métricas en el triángulo

Teorema de Pitágoras

En la figura tienes un triángulo rectángulo. Sobre sus lados hemos construido sendos cuadrados y calculado sus áreas. Se observa que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos, es decir,

El teorema de Pitágoras afirma que esta propiedad se cumple en cualquier triángulo rectángulo.

 

 

En todo triángulo rectángulo se verifica que la hipotenusa al cuadrado es igual que la suma de los cuadrados de los catetos

Actividad

 

 

 

Dibuja las líneas AB y BC y recorta por estas las líneas. Si reordenas los trozos anteriores, comprobamos el teorema de Pitágoras.

Veamoslo desde otro punto de vista.

En la figura observamos los cuadrados ABCD y MNPQ, así como cuatro triángulos rectángulos iguales.

Sumando las áreas de los triángulos y del cuadrado MNPQ, se obtiene el área de ABCD: . Si desarrollamos el cuadrado de la suma:

Simplificando:.

El teorema de Pitágoras nos permite calcular un lado de un triángulo rectángulo, conocidos los otros dos.

La matemática americana E. Scott reunió 367 demostraciones diferentes del teorema de Pitágoras.

Actividad

En un triángulo cualquiera, si c es el lado más grande, entonces se verifica:

Actividades

Teorema de la altura

En la figura tienes tres triángulos rectángulos: AHC, BHC y ABC.

Aplicando el teorema de Pitágoras en los dos primeros, tenemos:

y

 

Si aplicamos el mismo teorema en el triángulo mayor y sustituimos c por m+n, tendremos:

Por tanto: , que es lo que afirma el teorema de la altura.

Teorema del cateto

En el triángulo AHC de la figura anterior:, es decir:

Análogamente, razonando sobre el triángulo BHC, se obtiene que.

Actividades finales