Repaso del número entero
Un poco de historia
Un número natural representa el número de objetos de un conjunto. Para representarlos se utilizan símbolos que han sido muy variados a lo largo de la historia de la humanidad y según las distintas civilizaciones. Fundamentalmente podemos resumir en dos los sistemas de numeración: la aditiva y la de posición.
En la numeración aditiva cada cifra tiene siempre el mismo valor independientemente del lugar que ocupe en el número y para saber el número hay que sumar cada una de las cifras que lo componen.
Ejemplo
En la numeración jeroglífica egipcia, empleada hasta el siglo II a. de C., los símbolos empleados eran:
Así, el número 10.211 se escribía:
Parece muy sencillo ¿verdad? ¿Cómo multiplicarías estos números?
Cuando los números eran muy grandes la escritura se complicaba excesivamente, lo que obligaba a inventarse nuevos símbolos para números cada vez más grandes. Algunos ejemplos son:
La primera es la numeración acrofónica
La segunda es la numeración romana arcaica
La tercera es la numeración romana clásica
La numeración de posición fue ideada por los babilonios 20 siglos antes de nuestra era, aunque la numeración de posición india, de la que procede la nuestra, data del año 586 de nuestra era.
En este sistema, el valor de una cifra depende del lugar que ocupa en el número. Así en el sistema decimal, en el número 35, el valor de la cifra 3 es 30 ya que 35 = 5 + 3 · 10, mientras que en el número 356, el valor de la cifra 3 es 300, ya que, 356 = 6 + 5 · 10 + 3 · 100.
En nuestro sistema de numeración la base es 10, que significa que hay 10 cifras diferentes y los demás números se obtienen combinando éstas ordenadamente. Para hacer fácil este sistema requería la aparición de una nueva cifra (el cero) sin la cual se hacía muy complicado y por este motivo fue desechado en muchas ocasiones.
La base más utilizada ha sido 12 (tiene más divisores que 10 con lo cual se pueden expresar más fracciones suyas como números enteros) y aún nos quedan vestigios de su utilización (hablamos de docenas, y no de decenas, de huevos; en imprenta se habla de cíceros (12 puntos); etc)
La numeración de posición reapareció en el siglo quinto en la India y de allí se extendió al mundo árabe donde Muhammad Al-Kwarizmi lo hizo conocer en una obra traducida después por Abelardo Bath al latín con el nombre de "Algorismus".
Otra base muy conocida hoy día a causa de la aparición de los ordenadores es 2. En ella, sólo hay dos dígitos, el 0 y el 1 (excelente para simbolizar dos únicos estados: no pasa corriente, sí pasa corriente).
¿Cómo operarías con los números escritos en esta base? Inténtalo, te divertirá.
Para empezar esta unidad, vamos a recordar los números naturales y los números enteros mediante algunas actividades.
Actividades
Calcula el saldo bancario medio del señor Benítez en el año 1994.
2 · 6 + 2 - 3 · 2 + 5 = 2 · 8 - 6 + 5 = 15.
2 · 6 + 2 - 3 · 2 + 5 = 2 · 8 - 3 · 7 = 16 - 21 = -5.
2 · 6 + 2 - 3 · 2 + 5 = 12 + 2 - 6 + 5 = 13.
2 · 6 + 2 - 3 · 2 + 5 = 12 + (-1) + 7 = 18.
2 · 6 + 2 - 3 · 2 + 5 = 12 + (-1) · 7 = 5.
52 · 14 - 3 + 3 = 575.
3 + 2 · 5 - 5 · 2 - 4 = 23.
3 · 12 - 4 + 10 = 34.
5 · 9 - 9 = 0.
3 + 2 · 7 = 17.
8 · 12 - 10 = 16.
6 · 3 + 4 · 5 = 210.
12 : 4 · 5 - 2 = 13.
8 +2 · 5 + 4 : 3 = 18.
Completa los cuadrados mágicos multiplicativos de la figura:
LAS FRACCIONES
Seguramente en más de una ocasión habrás oído frases como estas:
9 de cada 10 niños están escolarizados.
Una pista de tenis mide de largo 23'79 m.
El 25% del presupuesto del Estado se dedica a pagar las pensiones.
Falta un cuarto de hora para las tres de la tarde.
Las siete décimas partes del planeta Tierra son agua.
En realidad, todas estas formas de expresar cantidades están íntimamente relacionadas entre sí. Empleamos una u otra forma dependiendo del contexto . Así, no es muy normal oír en una tienda pedir un octavo de kilo de jamón cocido (0'125kgr), sin embargo sí oímos tres cuartos de kilo (0'750kgr). Tampoco pedimos una pieza de aluminio de ocho décimos de metro (mejor decimos 0'8m), o una botella de vinagre que contenga el 75% de un litro (3/4 de litro).
La fracción como parte de un todo
Este rectángulo está dividido en 5 partes iguales y 2 de ellas están sombreadas.
Podemos decir que la parte sombreada representa las dos quintas partes del área total.
Esto lo escribimos como 2/5 o también
y lo llamamos fracción.
El número de partes iguales en que se divide la unidad se llama denominador de la fracción, y el número de partes iguales que se toman se llama numerador de la fracción.
Igualmente, si tomamos como unidad de medida el segmento x, entonces el segmento y medirá 5/2.
A las fracciones cuyo numerador es mayor que el denominador se les llama impropias.
Actividades
a. Compara la longitud de
con las longitudes de los otros segmentos.
Ejemplo: 
b. Compara la longitud de cada uno de los segmentos con
. Ejemplo:
La fracción como operador
Hoy proyectan una película en el Centro para los alumnos de 3º de E.S.O. Como la sala es pequeña, se decide que hoy sólo podrán ir las tres cuartas partes de cada uno de los cinco grupos que hay. En todos los grupos hay 32 alumnos, excepto en el E, que hay 28.
a. ¿Cuántos alumnos irán del grupo A?
Tenemos que hallar las tres cuartas partes de 32, es decir, dividir 32 en 4 partes (hay 8) y de esas 4 partes (cada una formada por 8 alumnos) tomar 3. Por tanto, irán a ver la película, 3 · 8 = 24 alumnos del grupo A.
Como observamos, para
calcular
, se
divide 32 por el denominador y el resultado se multiplica por el numerador.
La fracción 3/4 ha funcionado como un operador:
b. ¿cuál es la cabida de la sala de proyecciones?
c. ¿Cuántos alumnos no verán la película en esta sesión?
Actividades
a. ¿Cuántos minutos ocupó de cada cara?
b. ¿Cuál era la duración del disco?
c. ¿Cuánto tiempo me queda para grabar?
a. ¿Qué cantidad se llevó cada uno?
b. ¿Qué fracción del total le correspondió al menor?
La fracción como cociente
Para confeccionar unos disfraces, cinco amigos se compran 4 metros de determinada tela. ¿Cómo se la repartirán?
A cada uno le tocaría la quinta parte de 4 metros, es decir:
(es decir, 80 cm)
Una fracción
representa el cociente de
a entre b,
que se llama expresión decimal de la fracción.
Actividades
1/2, 1/3, 3/7, 8/5, -11/9
La fracción como razón y proporción
Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razones. Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el Instituto es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas, es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son chicos y 2 son chicas.
Una misma cantidad puede expresarse como fracciones distintas según el total al que hagamos referencia. Así, el número de chicas es los 2/3 del número de chicos. ¿Cuál es el número de chicas respecto del número total de estudiantes? ¿Cuál es el número de chicos respecto del número de chicas?
Actividades
Pollo al ajillo (6 personas):
- 1 pollo tierno de 1.600 gr.
- 8 cucharadas de aceite.
- 4 dientes de ajo.
- sal al gusto.
Si sólo queremos cocinar para 4 personas, ¿cuáles serán las cantidades de cada ingrediente que debes poner? ¿Y si cocináramos para 8 personas?
a. Expresa como fracción la cantidad de cada uno de los componentes.
b. Para cierta cantidad de cóctel se han empleado 325 cm3 de zumo de piña. ¿Qué cantidad era ésta?
c. ¿Qué cantidad de zumo de naranja llevará este último cóctel?
Un caso particular de aplicación de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que éstos no son más que la relación de proporcionalidad que se establece entre un número y 100 (tanto por ciento), un número y mil (tanto por mil) o un número y uno (tanto por uno).
Actividad
Juan ha visitado una tienda de informática y le han dado como precio de un ordenador Pentium IV a 2 GHz, 1200 euros más el I.V.A. (16%). ¿Cuánto le costaría en total el ordenador?16% significa 16 de cada
100, es decir 16/100.
Por tanto hallar el 16% de 1200 euros es calcular el valor de
El precio total será: 1.200 + 192 = 1.392 euros.
También podemos obtener el importe del I.V.A. multiplicando el tanto por uno por el precio:
16/100 ·1200 = 0'16 ·120 = 192
En los comercios suelen obtener el precio final con una sola operación, calculando 1'16 · 1.200 ¿Sabrías explicar por qué?
Actividades
Fracciones equivalentes
Carlos, Marta y Silvia siempre están discutiendo. Hoy van a repartirse una tarta y mientras que Carlos quiere partirla en 3 trozos, Marta y Silvia (que son menos comilonas) quieren hacerlo en 6 y 9 partes, respectivamente.
Escribe en la tabla adjunta la parte que le correspondería a cada uno según las distintas divisiones:
Como en cualquier tipo de división de los propuestos los tres comerían lo mismo, resulta que
1/3 = 2/6 = 3/9 (como se puede ver también gráficamente).
Halla la expresión decimal de las tres fracciones anteriores. ¿Qué ocurre?
Así pues, vemos que hay fracciones que aunque tengan distinto numerador y denominador, tienen la misma expresión decimal, representando la misma cantidad. A estas fracciones se les dice que son equivalentes.
Dos fracciones
y
son
equivalentes, cuando verifican que a · d = b · c.
Si nos fijamos en los productos cruzados:
Actividades
Simplificación y amplificación de fracciones
Observa:
Esta operación recibe el nombre de simplificación de una fracción y se realiza dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero, que sea divisor común de ambos. Cuando ésta ya no se puede simplificar más se le llama irreducible.
¿Por qué número podríamos dividir para obtener de una sola vez la fracción irreducible?
Si queremos obtener una fracción equivalente a otra, pero con el numerador y el denominador más grandes, nos bastará con multiplicarlos por un mismo número natural no nulo. A este proceso se le llama amplificación de fracciones.
Actividad
Reducción de fracciones a común denominador
Dadas las fracciones
vamos a amplificarlas hasta obtener dos con el mismo denominador:
Observa que el denominador común ha de ser un múltiplo común a los dos denominadores. Te interesará tomar de entre todos los múltiplos comunes (¿hay muchos?) el más pequeño.
Actividad
a.
b.
c. 
d. 
Operaciones con fracciones
Suma y resta de fracciones
Con el mismo denominador
Juana y Pedro han descubierto el lugar donde su madre había guardado la caja de quesitos. Juana se ha comido 3 porciones y Pedro 2.
La fracción de queso que se ha comido Juana será 3/8 y la de Pedro 2/8.
La fracción de queso consumida entre los dos será 5/8.
Por tanto
a. ¿Qué fracción representa a toda la caja de quesitos?
b. ¿Qué fracción de queso queda?
Actividad
a.
b.
c.
d.
Con distinto denominador
¿Qué fracción de área será la suma de las dos zonas coloreadas?
Observa que si reducimos las fracciones a común denominador, podremos operar como hicimos en el caso anterior.
Dividiéndolos en 10 partes,
Por tanto, la suma será:
Actividades
a.
b.
c.
d.
a. Expresa el área de A, B, C, D, E, F y G como una fracción del área del cuadrado.
b. Halla el área de las siguientes figuras.
c. Utilizando partes del tangram, representa las fracciones
d. ¿Qué fracción representa el dibujo?
e. Inventa otros dibujos e indica la fracción que representan.
Producto de fracciones
Fíjate en la figura. Queremos calcular el valor de
El rectángulo sombreado tiene de base 2/3 y de altura 4/5. Su área será, por
tanto, .
Por otra parte, la parte sombreada representa los 8/15 del área del cuadrado, es decir:
Actividades
a.
b.
c.
d.
Inverso de un número no nulo
Cuando el producto de dos números es la unidad, se dice que uno es el inverso
del otro. Así, como
, se dice que 3 es el inverso de 1/3, o
también que 1/3 es el inverso de 3.
Actividad
División de fracciones
Observa:
Por tanto, dividir 5 entre 3 es lo mismo que multiplicar 5 por el inverso de 3 (1/3).
Así, 
Actividades
a.
b.
c.
Comparación de fracciones positivas
Fracciones de igual numerador
Las zonas coloreadas representan, respectivamente las fracciones 2/3 y 2/4. ¿Cuál es la mayor?
Gráficamente se observa que
Si te fijas en los productos cruzados, se verifica que
2 · 4 > 2 · 3
Prueba con otras fracciones que tengan igual numerador.
Actividad
| Coches | A | B | C | D |
| Distancia recorrida en Km | 608 | 595 | 772 | 693 |
| Consumo en litros/100 Km | 5400/608 |
El consumo viene dado por el cociente
a. Completa la tabla
b. Coloca los coches en orden creciente según el consumo.
Podemos afirmar que:
Las zonas sombreadas de la figura adjunta, representan, respectivamente, las fracciones 3/8 y 5/8.
¿Cuál de las dos es la mayor?
Gráficamente, se observa que
Si te fijas en los productos cruzados: 5 · 8 > 3 · 8
Actividad
a. Completa la tabla.
b. ¿En qué ciudad se practica más el deporte?
c. Escribe las ciudades en orden creciente de la proporción de deportistas.
Podemos afirmar que:
Fracciones con distinto numerador y denominador
Las zonas sombreadas en la figura adjunta representan, respectivamente, a las fracciones 2/3 y 3/4. ¿Cuál de las dos es la mayor?
Ahora es más difícil verlo con seguridad, pero si dividimos los dos
rectángulos en 12 partes (¿por qué lo hacemos así?), observamos que
Si te fijas nuevamente en los productos cruzados: 3 · 3 > 4 · 2
Actividad
a. Completa la tabla siguiente:
b. Escribe los coches en orden creciente según su "nervio".
c. ¿Qué tipo de coche crees que es el D?
Podemos afirmar que:
En fracciones con numeradores y denominadores grandes (como los de la actividad anterior, es mejor comparar sus expresiones decimales.
d. Rellena la fila del "Nervio" de la tabla anterior con las expresiones decimales correspondientes y compáralas de nuevo.
De todas formas, esta alternativa tampoco nos resuelve todos los problemas, como puedes observar en la siguiente actividad.
Actividad
?El conjunto Q de los números racionales
Si en el conjunto de todas las fracciones agrupamos todas aquellas que son equivalentes entre sí, lo tendremos clasificado en distintos subconjuntos. Cada uno de éstos es un número racional.
Así, en el número racional
estarían
todas las fracciones equivalentes a 1/2, es decir, 2/4, 3/6, 4/8, etc que
representan a la misma cantidad o número racional.
Actividades
Se llama desarrollo al
cociente
.
Cuanto más grande sea este cociente, mayor será la distancia recorrida en cada pedalada (¿Por qué?)
a. ¿Cuántos
desarrollos distintos tiene su bicicleta?
b. Entre los desarrollos
elige el mejor para:
i. subir una montaña.
ii. hacer un descenso.
iii. llanear.
c. Escribe en orden creciente los desarrollos posibles con el plato de 52 dientes.
d. Escribe en orden decreciente los tres desarrollos posibles con el piñón de 15 dientes.
e. Compara los desarrollos
.
(Hacerlo con y sin calculadora).
f. Carlos ha hecho la etapa cuyo perfil se indica en la figura. Completa la tabla indicando los desarrollos que ha podido elegir en cada tramo.
g. Representa sobre una recta graduada todos los desarrollos de la bicicleta, utilizando un color diferente para cada plato.
Representación gráfica de las fracciones
El numerador es menor que el denominador
Vamos a representar la fracción 2/5.
Como esta fracción está comprendida entre 0 y 1, trazamos una semirrecta auxiliar con origen en 0 y, en ella, pintamos con un compás cinco partes iguales. Unimos la última de ellas con 1 y por las otras cuatro divisiones trazamos paralelas que cortarán al segmento en cinco puntos. Por el teorema de Thales, las cinco partes obtenidas son iguales. Por tanto, el segundo punto representará a la fracción 2/5.
Si la fracción es negativa se hace todo este proceso entre 0 y -1, o bien se hace como antes y después con un compás llevamos el punto obtenido hacia la izquierda del cero.
Actividad
El numerador es mayor que el denominador
Vamos a representar la fracción 7/5.
Método 1
Por el mismo procedimiento anterior, dividimos el segmento entre 0 y 1 en cinco partes iguales. Con el compás tomamos dos divisiones más, iguales a las anteriores, a continuación del 1. Tendremos entonces 7 segmentos de 1/5 de longitud, es decir, 7/5.
Método 2
Como 7/5 = 1 + 2/5 (¿Por qué?), dividimos el segmento entre 1 y 2 en cinco partes iguales, por el procedimiento anterior. La segunda división representará en la recta a 1 + 2/5, es decir, a 7/5.
Actividad
Densidad del conjunto de los números racionales
Escribe una fracción comprendida entre
·
Una respuesta sencilla sería 3/7·
¿Podrías escribir otras dos más?
Observa que si multiplicamos numerador y denominador de las dos fracciones
por 2, obtenemos dos fracciones respectivamente equivalentes a las anteriores:
·
Por tanto, otras dos fracciones comprendidas entre ambas serán
·
¿Cuántas más crees que se podrían escribir?
Esta propiedad que tienen los números racionales de que, dadas dos fracciones cualesquiera, siempre se puedan encontrar infinitas fracciones comprendidas entra ambas, se manifiesta diciendo que es un conjunto denso.
¿Qué podríamos hacer si las fracciones tuviesen distinto denominador?
Actividad
Escribe tres fracciones comprendidas entre:
a)
b)
Sistemas de numeración
Juan
se dedicaba a cuidar las ovejas de sus vecinos de aldea. Sólo sabía contar hasta
el diez, así que, para hacer el recuento diario por si alguna se había
extraviado, ponía en una bolsa una piedrecita por cada oveja. Un día, su amigo
Carlos le dijo: "Para que no tengas demasiadas piedrecitas, sustituye cada diez
por una piedra más grande". Juan vació la bolsa y salieron todas estas:
Si las agrupas como te he dicho, ahora tienes:
(3 más grandes y 4 pequeñas) = 34
Para acordarte de que cada piedra más grande equivale a 10 ovejas, éste número lo podemos escribir 34(10.
Juan le preguntó: "¿Y no puedo agruparlas de 9 en 9 ó de 8 en 8? ¡Claro!, contestó Carlos, pero ahora el número de ovejas que tienes se escribiría así:
= 37(9.
= 42(8.
Observa que: 34(10 = 4 + 3 · 10.
37(9 = 7 + 3 · 9 = 34
42(8 = 2 + 4 · 8 = 34
Veamos qué número obtendríamos si las agrupáramos de 5 en 5:
Pero cinco de las más grandes las sustituimos también por una piedra más grande (con lo cual, ésta última piedra equivale a 5 · 5 = 52 = 25 piedrecitas). Es decir, tendríamos:
= 114(5.
Observa que 114(5 = 4 + 1 · 5 + 1 · 52 = 34
Calcula el número que obtendrías si las agruparas de 7 en 7, de 6 en 6, de 4 en 4, d 3 en 3 y de 2 en 2.
