Repaso del número entero

Un poco de historia

Un número natural representa el número de objetos de un conjunto. Para representarlos se utilizan símbolos que han sido muy variados a lo largo de la historia de la humanidad y según las distintas civilizaciones. Fundamentalmente podemos resumir en dos los sistemas de numeración: la aditiva y la de posición.

En la numeración aditiva cada cifra tiene siempre el mismo valor independientemente del lugar que ocupe en el número y para saber el número hay que sumar cada una de las cifras que lo componen.

Ejemplo

En la numeración jeroglífica egipcia, empleada hasta el siglo II a. de C., los símbolos empleados eran:

Así, el número 10.211 se escribía:

Parece muy sencillo ¿verdad? ¿Cómo multiplicarías estos números?

Cuando los números eran muy grandes la escritura se complicaba excesivamente, lo que obligaba a inventarse nuevos símbolos para números cada vez más grandes. Algunos ejemplos son:

La primera es la numeración acrofónica

La segunda es la numeración romana arcaica

La tercera es la numeración romana clásica

La numeración de posición fue ideada por los babilonios 20 siglos antes de nuestra era, aunque la numeración de posición india, de la que procede la nuestra, data del año 586 de nuestra era.

En este sistema, el valor de una cifra depende del lugar que ocupa en el número. Así en el sistema decimal, en el número 35, el valor de la cifra 3 es 30 ya que 35 = 5 + 3 · 10, mientras que en el número 356, el valor de la cifra 3 es 300, ya que, 356 = 6 + 5 · 10 + 3 · 100.

En nuestro sistema de numeración la base es 10, que significa que hay 10 cifras diferentes y los demás números se obtienen combinando éstas ordenadamente. Para hacer fácil este sistema requería la aparición de una nueva cifra (el cero) sin la cual se hacía muy complicado y por este motivo fue desechado en muchas ocasiones.

La base más utilizada ha sido 12 (tiene más divisores que 10 con lo cual se pueden expresar más fracciones suyas como números enteros) y aún nos quedan vestigios de su utilización (hablamos de docenas, y no de decenas, de huevos; en imprenta se habla de cíceros (12 puntos); etc)

La numeración de posición reapareció en el siglo quinto en la India y de allí se extendió al mundo árabe donde Muhammad Al-Kwarizmi lo hizo conocer en una obra traducida después por Abelardo Bath al latín con el nombre de "Algorismus".

Otra base muy conocida hoy día a causa de la aparición de los ordenadores es 2. En ella, sólo hay dos dígitos, el 0 y el 1 (excelente para simbolizar dos únicos estados: no pasa corriente, sí pasa corriente).

¿Cómo operarías con los números escritos en esta base? Inténtalo, te divertirá.

Para empezar esta unidad, vamos a recordar los números naturales y los números enteros mediante algunas actividades.

Actividades

  1. El señor Benítez algunos meses gasta más de lo que gana, lo que hace que su saldo a final de mes en su cuenta bancaria sea negativo (esto se llama quedarse "al descubierto"). En 1994 sus saldos a final de mes en el banco han sido los siguientes:
  2. Calcula el saldo bancario medio del señor Benítez en el año 1994.

     

  3. Por un olvido, en las operaciones siguientes no hay ningún paréntesis. Colócalos en el lugar adecuado para que los resultados sean correctos:

    2 · 6 + 2 - 3 · 2 + 5 = 2 · 8 - 6 + 5 = 15.

    2 · 6 + 2 - 3 · 2 + 5 = 2 · 8 - 3 · 7 = 16 - 21 = -5.

    2 · 6 + 2 - 3 · 2 + 5 = 12 + 2 - 6 + 5 = 13.

    2 · 6 + 2 - 3 · 2 + 5 = 12 + (-1) + 7 = 18.

    2 · 6 + 2 - 3 · 2 + 5 = 12 + (-1) · 7 = 5.

    52 · 14 - 3 + 3 = 575.

    3 + 2 · 5 - 5 · 2 - 4 = 23.

     

  4. Entre las igualdades siguientes explica cuáles son ciertas y cuáles falsas. ¿Qué harías en las falsas para que fuesen correctas?

    3 · 12 - 4 + 10 = 34.

    5 · 9 - 9 = 0.

    3 + 2 · 7 = 17.

    8 · 12 - 10 = 16.

    6 · 3 + 4 · 5 = 210.

    12 : 4 · 5 - 2 = 13.

    8 +2 · 5 + 4 : 3 = 18.

     

  5. Utilizando las operaciones suma, resta producto y cociente, combina los números de los rectángulos para obtener como resultado el número del círculo:
  6. Un cuadrado mágico multiplicativo es aquel en el que el producto de los elementos de cada línea, columna y diagonales principales vale siempre una misma cantidad (llamada número mágico).

    Completa los cuadrados mágicos multiplicativos de la figura:

     

  7. Completa las tablas siguientes:

    LAS FRACCIONES

    Seguramente en más de una ocasión habrás oído frases como estas:

    9 de cada 10 niños están escolarizados.

    Una pista de tenis mide de largo 23'79 m.

    El 25% del presupuesto del Estado se dedica a pagar las pensiones.

    Falta un cuarto de hora para las tres de la tarde.

    Las siete décimas partes del planeta Tierra son agua.

    En realidad, todas estas formas de expresar cantidades están íntimamente relacionadas entre sí. Empleamos una u otra forma dependiendo del contexto . Así, no es muy normal oír en una tienda pedir un octavo de kilo de jamón cocido (0'125kgr), sin embargo sí oímos tres cuartos de kilo (0'750kgr). Tampoco pedimos una pieza de aluminio de ocho décimos de metro (mejor decimos 0'8m), o una botella de vinagre que contenga el 75% de un litro (3/4 de litro).

    La fracción como parte de un todo

      Este rectángulo está dividido en 5 partes iguales y 2 de ellas están sombreadas.

    Podemos decir que la parte sombreada representa las dos quintas partes del área total.

    Esto lo escribimos como 2/5 o también y lo llamamos fracción.

    El número de partes iguales en que se divide la unidad se llama denominador de la fracción, y el número de partes iguales que se toman se llama numerador de la fracción.

     

     

    Igualmente, si tomamos como unidad de medida el segmento x, entonces el segmento y medirá  5/2.

     

     

    A las fracciones cuyo numerador es mayor que el denominador se les llama impropias.

    Actividades

     

  8. Cada parte coloreada tiene de área una fracción del área total de la figura. Escríbelas:

     

     

     

     

     

     

  9. En este rectángulo se ha dividido la diagonal en cuatro partes iguales. ¿Qué fracción del rectángulo representa cada una de las partes numeradas?

     

  10. Aquí tienes varios segmentos dibujados en papel cuadriculado.

    a.   Compara la longitud de con las longitudes de los otros segmentos. Ejemplo:

    b.   Compara la longitud de cada uno de los segmentos con . Ejemplo:

    La fracción como operador

    Hoy proyectan una película en el Centro para los alumnos de 3º de E.S.O. Como la sala es pequeña, se decide que hoy sólo podrán ir las tres cuartas partes de cada uno de los cinco grupos que hay. En todos los grupos hay 32 alumnos, excepto en el E, que hay 28.

    a.  ¿Cuántos alumnos irán del grupo A?

    Tenemos que hallar las tres cuartas partes de 32, es decir, dividir 32 en 4 partes (hay 8) y de esas 4 partes (cada una formada por 8 alumnos) tomar 3. Por tanto, irán a ver la película, 3 · 8 = 24 alumnos del grupo A.

    Como observamos, para calcular  , se divide 32 por el denominador y el resultado se multiplica por el numerador.

     La fracción 3/4 ha funcionado como un operador:

    b.   ¿cuál es la cabida de la sala de proyecciones?

    c.   ¿Cuántos alumnos no verán la película en esta sesión?

    Actividades


  11. En una "cassette" de 60 minutos de duración he grabado todas las canciones de un disco que me han prestado, ocupando los 3/5 de la cara A y los 4/6 de la B.

    a.   ¿Cuántos minutos ocupó de cada cara?

    b.   ¿Cuál era la duración del disco?

    c.   ¿Cuánto tiempo me queda para grabar?

     

  12. Un padre decide repartir 2.100.000 entre sus tres hijos. Al mayor decide darle las 2/5 partes; al siguiente los 3/7, y al menor el resto.

    a.   ¿Qué cantidad se llevó cada uno?

    b.   ¿Qué fracción del total le correspondió al menor?

     

    La fracción como cociente

    Para confeccionar unos disfraces, cinco amigos se compran 4 metros de determinada tela. ¿Cómo se la repartirán?

    A cada uno le tocaría la quinta parte de 4 metros, es decir:

       (es decir, 80 cm)

    Una fracción representa el cociente de a entre b, que se llama expresión decimal de la fracción.

    Actividades

     

  13. Escribe la expresión decimal de las fracciones siguientes:

    1/2, 1/3, 3/7, 8/5, -11/9

     

  14. Se ha partido una regla de 30 cm en tres trozos de longitudes 10cm, 18cm y 2cm. ¿Qué fracciones representan?

    La fracción como razón y proporción

    Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razones. Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el Instituto es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas, es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son chicos y 2 son chicas.

    Una misma cantidad puede expresarse como fracciones distintas según el total al que hagamos referencia. Así, el número de chicas es los 2/3 del número de chicos. ¿Cuál es el número de chicas respecto del número total de estudiantes? ¿Cuál es el número de chicos respecto del número de chicas?

    Actividades

     

  15. En un libro de cocina se pueden leer las siguientes cantidades para una receta:

    Pollo al ajillo (6 personas):

    - 1 pollo tierno de 1.600 gr.

    - 8 cucharadas de aceite.

    - 4 dientes de ajo.

    - sal al gusto.

    Si sólo queremos cocinar para 4 personas, ¿cuáles serán las cantidades de cada ingrediente que debes poner? ¿Y si cocináramos para 8 personas?

     

  16. En un cóctel, por cada litro hay 650 cm3 de zumo de naranja, 200 cm3 de zumo de piña y 150 de granadina.

    a.   Expresa como fracción la cantidad de cada uno de los componentes.

    b.   Para cierta cantidad de cóctel se han empleado 325 cm3 de zumo de piña. ¿Qué cantidad era ésta?

    c.   ¿Qué cantidad de zumo de naranja llevará este último cóctel?

    Un caso particular de aplicación de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que éstos no son más que la relación de proporcionalidad que se establece entre un número y 100 (tanto por ciento), un número y mil (tanto por mil) o un número y uno (tanto por uno).

    Actividad

    Juan ha visitado una tienda de informática y le han dado como precio de un ordenador Pentium IV a 2 GHz, 1200 euros más el I.V.A. (16%). ¿Cuánto le costaría en total el ordenador?

    16% significa 16 de cada 100, es decir 16/100.

    Por tanto hallar el 16% de 1200 euros es calcular el valor de

    El precio total será: 1.200 + 192 = 1.392 euros.

    También podemos obtener el importe del I.V.A. multiplicando el tanto por uno por el precio:

    16/100 ·1200 = 0'16 ·120 = 192

    En los comercios suelen obtener el precio final con una sola operación, calculando 1'16 · 1.200 ¿Sabrías explicar por qué?

    Actividades

     

  17. En otra tienda de informática le dan a Juan, como precio del mismo tipo de ordenador, 1.450 euros (I.V.A. incluido), pero le hacen una rebaja del 15% ¿Cuál de las dos ofertas es la mejor? ¿Cómo se podría calcular ahora el precio final del ordenador con una sola operación?

     

  18. En unas rebajas vemos que, después de hacerle un descuento del 15%, el precio final de un reloj digital es 26 euros. ¿Cuál era su precio antes de las rebajas?

    Fracciones equivalentes

    Carlos, Marta y Silvia siempre están discutiendo. Hoy van a repartirse una tarta y mientras que Carlos quiere partirla en 3 trozos, Marta y Silvia (que son menos comilonas) quieren hacerlo en 6 y 9 partes, respectivamente.

    Escribe en la tabla adjunta la parte que le correspondería a cada uno según las distintas divisiones:

    Como en cualquier tipo de división de los propuestos los tres comerían lo mismo, resulta que

    1/3 = 2/6 = 3/9  (como se puede ver también gráficamente).

    Halla la expresión decimal de las tres fracciones anteriores. ¿Qué ocurre?

    Así pues, vemos que hay fracciones que aunque tengan distinto numerador y denominador, tienen la misma expresión decimal, representando la misma cantidad. A estas fracciones se les dice que son equivalentes.

  19. Dos fracciones y son equivalentes, cuando verifican que a · d = b · c.

    Si nos fijamos en los productos cruzados:

    Actividades

     

  20. Escribe tres fracciones equivalentes a 5/7.

     

  21. Escribe una fracción equivalente a 4/9 que tenga por denominador 108.

     

    Simplificación y amplificación de fracciones

    Observa:

    Esta operación recibe el nombre de simplificación de una fracción y se realiza dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero, que sea divisor común de ambos. Cuando ésta ya no se puede simplificar más se le llama irreducible.

    ¿Por qué número podríamos dividir para obtener de una sola vez la fracción irreducible?

  22. Si queremos obtener una fracción equivalente a otra, pero con el numerador y el denominador más grandes, nos bastará con multiplicarlos por un mismo número natural no nulo. A este proceso se le llama amplificación de fracciones.

     

    Actividad

     

  23. Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

  24. Escribe tres fracciones equivalentes a 30/42. Halla también su expresión irreducible.
  25.  

  26. Escribe todas las fracciones equivalentes a 30/42 cuyo denominador sea menor que 30.

    Reducción de fracciones a común denominador

    Dadas las fracciones   vamos a amplificarlas hasta obtener dos con el mismo denominador:

     

     

    Observa que el denominador común ha de ser un múltiplo común a los dos denominadores. Te interesará tomar de entre todos los múltiplos comunes (¿hay muchos?) el más pequeño.

    Actividad

     

  27. Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

    a.       b.       c.     d.

    Operaciones con fracciones

    Suma y resta de fracciones

    Con el mismo denominador

    Juana y Pedro han descubierto el lugar donde su madre había guardado la caja de quesitos. Juana se ha comido 3 porciones y Pedro 2.

    La fracción de queso que se ha comido Juana será 3/8 y la de Pedro 2/8.

    La fracción de queso consumida entre los dos será 5/8. Por tanto

    a.   ¿Qué fracción representa a toda la caja de quesitos?

    b.   ¿Qué fracción de queso queda?

    La suma (resta) de dos fracciones que tienen el mismo denominador es otra fracción con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma (resta) de los numeradores.

    Actividad

     

  28. Calcula el valor de las siguientes sumas y restas:

    a.           b.           c.           d.  

    Con distinto denominador

    ¿Qué fracción de área será la suma de las dos zonas coloreadas?

    Observa que si reducimos las fracciones a común denominador, podremos operar como hicimos en el caso anterior.

    Dividiéndolos en 10 partes,

    Por tanto, la suma será:

    Para sumar (restar) dos fracciones de distinto denominador, se reducen primero a común denominador y después se suman (restan) como antes.

    Actividades

     

  29. Efectúa:

    a.       b.       c.       d.  

     

  30. El juego del tangram.

     

     

    a.   Expresa el área de A, B, C, D, E, F y G como una fracción  del  área del cuadrado.

     

     

     

     

  31. b.   Halla el área de las siguientes figuras.

    c.   Utilizando partes del tangram, representa las fracciones 

    d.   ¿Qué fracción representa el dibujo?

    e.   Inventa otros dibujos e indica la fracción que representan.

    Producto de fracciones

    Fíjate en la figura. Queremos calcular el valor de

    El rectángulo sombreado tiene de base 2/3 y de altura 4/5. Su área será, por tanto, .

    Por otra parte, la parte sombreada representa los 8/15 del área del cuadrado, es decir:

    El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.

     

    Actividades

     

  32. Clara ha comprado hoy para su casa 3/4 de kilo de boquerones. En el almuerzo se comen la quinta parte y en la cena el resto. ¿Cuánto han comido en cada comida?

     

  33. Carlos ha comprado la tercera parte de una calabaza que pesa 6 kilos, y le da la mitad a su vecino. ¿Cuánto le dio? ¿Qué parte de la calabaza le regaló?

     

  34. Antonio ha heredado la tres quintas partes de las tierras de su padre y decide darle a su hijo mayor, como regalo de boda, las tres cuartas partes de éstas. ¿Qué parte de las tierras del abuelo le ha regalado?. Si el abuelo tenía 7.000 m2 ¿cuánto le ha correspondido a su nieto?

     

  35. Completa:

    a.       b.      c.      d.  

    Inverso de un número no nulo

    Cuando el producto de dos números es la unidad, se dice que uno es el inverso del otro. Así, como , se dice que 3 es el inverso de 1/3, o también que 1/3 es el inverso de 3.

    Actividad

     

  36. Calcula el inverso de

     

    División de fracciones

    Observa:

    Por tanto, dividir 5 entre 3 es lo mismo que multiplicar 5 por el inverso de 3 (1/3).

        Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la inversa de la segunda, es decir:

    Así,

    Actividades

     

  37. ¿Cuántas copas de 1/8 de litro se pueden llenar con una botella de 3/4 de litro?

     

  38. Calcula gráficamente el valor de

     

  39. Efectúa las siguientes operaciones, simplificando el resultado todo lo posible:

    a.      b.      c.  

     

  40. Completa la tabla siguiente:

     

  41. Un carpintero me dice que con 4/20 de un tablero de madera tengo suficiente para construirme una estantería de libros. Me he comprado los 4/5 del tablero. ¿Para cuántas estanterías tendré?

    Comparación de fracciones positivas

    Fracciones de igual numerador

    Las zonas coloreadas representan, respectivamente las fracciones 2/3 y 2/4. ¿Cuál es la mayor?

    Gráficamente se observa que

    Si te fijas en los productos cruzados, se verifica que

    2 · 4 > 2 · 3

    Prueba con otras fracciones que tengan igual numerador.

    Actividad

     

  42. Con el fin de estudiar el consumo en varias marcas de coches, se ha puesto a cada uno 54 litros de gasolina en su depósito. Las distancias recorridas por cada uno, vienen reflejadas en la tabla siguiente:
    Coches A B C D
    Distancia recorrida en Km 608 595 772 693
    Consumo en litros/100 Km 5400/608      

    El consumo viene dado por el cociente

    a.   Completa la tabla

    b.   Coloca los coches en orden creciente según el consumo.

    Podemos afirmar que:

    Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

    Fracciones de igual denominador

    Las zonas sombreadas de la figura adjunta, representan, respectivamente, las fracciones 3/8 y 5/8.

    ¿Cuál de las dos es la mayor?

    Gráficamente, se observa que

    Si te fijas en los productos cruzados: 5 · 8 > 3 · 8

    Actividad

     

  43. Se ha tomado una muestra de 3.000 habitantes de 4 grandes ciudades y se les ha preguntado si practican algún deporte. Los resultados han sido los siguientes:

    a.   Completa la tabla.

    b.   ¿En qué ciudad se practica más el deporte?

    c.   Escribe las ciudades en orden creciente de la proporción de deportistas.

    Podemos afirmar que:

    Si dos fracciones tienen igual denominador será mayor la que tiene mayor numerador.

     

    Fracciones con distinto numerador y denominador

    Las zonas sombreadas en la figura adjunta representan, respectivamente, a las fracciones 2/3 y 3/4. ¿Cuál de las dos es la mayor?

    Ahora es más difícil verlo con seguridad, pero si dividimos los dos rectángulos en 12 partes (¿por qué lo hacemos así?), observamos que

    Si te fijas nuevamente en los productos cruzados:  3 · 3 > 4 · 2

    Actividad

     

  44. El "nervio de un coche" es el cociente entre su potencia (expresada en C.V.) y su masa (expresada en Kgr).

    a.   Completa la tabla siguiente:

    b.   Escribe los coches en orden creciente según su "nervio".

    c.   ¿Qué tipo de coche crees que es el D?

    Podemos afirmar que:

    Para comparar dos fracciones con distintos numeradores y denominadores, se reducen primero a común denominador, siendo mayor la que tenga mayor numerador.

    En fracciones con numeradores y denominadores grandes (como los de la actividad anterior, es mejor comparar sus expresiones decimales.

    d.   Rellena la fila del "Nervio" de la tabla anterior con las expresiones decimales correspondientes y compáralas de nuevo.

    De todas formas, esta alternativa tampoco nos resuelve todos los problemas, como puedes observar en la siguiente actividad.

    Actividad

     

  45. ¿Qué pasa si intentas comparar con la calculadora las fracciones ?

    El conjunto Q de los números racionales

    Si en el conjunto de todas las fracciones agrupamos todas aquellas que son equivalentes entre sí, lo tendremos clasificado en distintos subconjuntos. Cada uno de éstos es un número racional.

    Así, en el número racional estarían todas las fracciones equivalentes a 1/2, es decir, 2/4, 3/6, 4/8, etc que representan a la misma cantidad o número racional.

    Actividades

     

  46. Ordena de mayor a menor las fracciones
  47. Carmen tiene una bicicleta con 3 platos de 34, 42 y 52 dientes, y 5 piñones de 13, 15, 19, 23 y 32 dientes respectivamente.

    Se llama desarrollo al cociente .

    Cuanto más grande sea este cociente, mayor será la distancia recorrida en cada pedalada (¿Por qué?)

    a.   ¿Cuántos desarrollos distintos tiene su bicicleta?

    b.   Entre los desarrollos elige el mejor para:

       i.   subir una montaña.

       ii.   hacer un descenso.

           iii.  llanear.

    c.   Escribe en orden creciente los desarrollos posibles con el plato de 52 dientes.

    d.   Escribe en orden decreciente los tres desarrollos posibles con el piñón de 15 dientes.

    e.   Compara los desarrollos . (Hacerlo con y sin calculadora).

    f.   Carlos ha hecho la etapa cuyo perfil se indica en la figura. Completa la tabla indicando los desarrollos que ha podido elegir en cada tramo.

    g.   Representa sobre una recta graduada todos los desarrollos de la bicicleta, utilizando un color diferente para cada plato.

     

    Representación gráfica de las fracciones

    El numerador es menor que el denominador

    Vamos a representar la fracción 2/5.

    Como esta fracción está comprendida entre 0 y 1, trazamos una semirrecta auxiliar con origen en 0 y, en ella, pintamos con un compás cinco partes iguales. Unimos la última de ellas con 1 y por las otras cuatro divisiones trazamos paralelas que cortarán al segmento en cinco puntos. Por el teorema de Thales, las cinco partes obtenidas son iguales. Por tanto, el segundo punto representará a la fracción 2/5.

    Si la fracción es negativa se hace todo este proceso entre 0 y -1, o bien se hace como antes y después con un compás llevamos el punto obtenido hacia la izquierda del cero.

    Actividad

     

  48. Representa las fracciones 3/4, 7/10  y  - 2/7

    El numerador es mayor que el denominador

    Vamos a representar la fracción 7/5.

    Método 1

    Por el mismo procedimiento anterior, dividimos el segmento entre 0 y 1 en cinco partes iguales. Con el compás tomamos dos divisiones más, iguales a las anteriores, a continuación del 1. Tendremos entonces 7 segmentos de 1/5 de longitud, es decir, 7/5.

    Método 2

     

    Como 7/5 = 1 +  2/5 (¿Por qué?), dividimos el segmento entre 1 y 2 en cinco partes iguales, por el procedimiento anterior. La segunda división representará en la recta a 1 + 2/5, es decir, a 7/5.

     


  49.  

    Actividad

     

  50. Representa por los dos métodos anteriores las fracciones: 8/3, 13/4 y  - 11/7.

     

    Densidad del conjunto de los números racionales

    Escribe una fracción comprendida entre ·

    Una respuesta sencilla sería 3/7·

    ¿Podrías escribir otras dos más?

    Observa que si multiplicamos numerador y denominador de las dos fracciones por 2, obtenemos dos fracciones respectivamente equivalentes a las anteriores: · Por tanto, otras dos fracciones comprendidas entre ambas serán ·

    ¿Cuántas más crees que se podrían escribir?

    Esta propiedad que tienen los números racionales de que, dadas dos fracciones cualesquiera, siempre se puedan encontrar infinitas fracciones comprendidas entra ambas, se manifiesta diciendo que es un conjunto denso.

    ¿Qué podríamos hacer si las fracciones tuviesen distinto denominador?

    Actividad

    Escribe tres fracciones comprendidas entre:

    a)                      b)

    Sistemas de numeración

    Juan se dedicaba a cuidar las ovejas de sus vecinos de aldea. Sólo sabía contar hasta el diez, así que, para hacer el recuento diario por si alguna se había extraviado, ponía en una bolsa una piedrecita por cada oveja. Un día, su amigo Carlos le dijo: "Para que no tengas demasiadas piedrecitas, sustituye cada diez por una piedra más grande". Juan vació la bolsa y salieron todas estas:

    Si las agrupas como te he dicho, ahora tienes:

    (3 más grandes y 4 pequeñas) = 34

    Para acordarte de que cada piedra más grande equivale a 10 ovejas, éste número lo podemos escribir 34(10.

    Juan le preguntó: "¿Y no puedo agruparlas de 9 en 9 ó de 8 en 8? ¡Claro!, contestó Carlos, pero ahora el número de ovejas que tienes se escribiría así:

    = 37(9.

    = 42(8.

    Observa que: 34(10 = 4 + 3 · 10.

                         37(9 = 7 + 3 · 9 = 34

                         42(8 = 2 + 4 · 8 = 34

    Veamos qué número obtendríamos si las agrupáramos de 5 en 5:

    Pero cinco de las más grandes las sustituimos también por una piedra más grande (con lo cual, ésta última piedra equivale a 5 · 5 = 52 = 25 piedrecitas). Es decir, tendríamos:

    = 114(5.

    Observa que 114(5 = 4 + 1 · 5 + 1 · 52 = 34

    Calcula el número que obtendrías si las agruparas de 7 en 7, de 6 en 6, de 4 en 4, d 3 en 3 y de 2 en 2.

    Actividades finales