¿Cómo la expresarías para que así fuera?
¿Qué cifras te parecen realmente significativas?
En otras ocasiones no existe una unidad adecuada que pueda simplificarnos la información de una cifra grande. Por ejemplo, se estima que el Sol radia energía a un ritmo de 40.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 julios por año (el julio es una unidad de trabajo o energía). Para ello será conveniente buscar una notación que simplifique la lectura y el cálculo y que también facilite la comprensión de la magnitud del hecho.
Potencias de exponente positivo
Potencias de base 10
10 · 10 = 102 = 100
10 · 10 · 10 = 103 = 1000
10 · 10 · 10 · 10 = 104 = 10000
10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105 = 100000
El número pequeño (llamado exponente) indica el número de ceros que se escriben a la derecha del 1.
Será lógico definir 101 = 10 e incluso 100 = 1.
A todos estos números les llamaremos potencias de 10.
Actividad
a.
b.
c.
d.
e.
Notación científica. Orden de magnitud. Comparaciones
Notación científica
Si efectúas el producto 23651240 · 42118120, obtienes 996145764468800 como valor real .
En la calculadora se obtiene como resultado:
que quiere indicar: 9.961457645 · 1014 = 996.145.764.500.000, que es un redondeo a la centena de millar de su valor real.
De la misma forma, si efectuamos:
=
=
Esta forma de expresar números se denomina notación científica.
Actividades
42.000 / 750.000 /8.000.000 /500 /
¿Cómo podemos introducir la notación científica en la calculadora?
Para efectuar la operación 
con la calculadora, no disponemos de suficiente espacio para introducir los
datos en la pantalla. La calculadora permite guardar este tipo de números con
la tecla 
.
Así, el número anterior lo guardaremos tecleando sucesivamente
, que en pantalla aparece
En las siguientes actividades tendrás necesidad de usar números en notación científica.
Orden de magnitud
8'4 millones se escribe en notación científica como 
.
La potencia de 10 más próxima a este número es 
(¿por qué no es 
). Diremos que 7 es el orden de magnitud de 8'4 millones.
230 millones se escribe en notación científica 
.
La potencia de 10 más cercana a dicho número es 
.
Diremos que 8 es el orden de magnitud
de 230 millones.
Entonces: Si a'bcd... es menor que 5 el orden de magnitud es n.
Si a'bcd... es mayor que 5 el orden de magnitud es n
Actividades
metros. (Todas las demás
galaxias se encuentran entre estas dos distancias).Aparte de nuestro Sol existen otras muchas estrellas en el Universo. En la
tabla tienes alguna de ellas con su distancia aproximada a la Tierra, expresada
en parsec (1 pársec . 2'26 años
luz). Complétala.
, Radio - Tierra = 6370 Km.)
Curiosidades
L
El número de moléculas que aproximadamente tiene un litro de aire es de 30.000.000.000.000.000.000.000.L
Numerazos. Completa la siguiente tabla:
L Una sardina pone alrededor de 6.000 huevos cada seis meses. Si por cualquier
circunstancia anómala todos estos huevos dieran lugar a adultos que pudieran
seguir reproduciéndose en las mismas condiciones, llegaría un momento en que
rebosarían los mares. La relativa sorpresa está en la prontitud con que este
hecho se produciría: Una sardina adulta ocupa un volumen de 10 cm3.
En el 1º semestre ya tenemos 6.000 sardinas que ocuparán un volumen de 60.000
cm3. En el segundo semestre, ocupan un volumen de (60.000)2
cm3, y así sucesivamente: en el semestre x ocupan un volumen de
(60.000)x cm3. Como el volumen de agua de mar es de 
cm3.,
resulta que en 6 semestres ( 3 años), las sardinas ocupan un mayor volumen que
el agua de mar:
.
L
Vivimos rodeados de campos eléctricos y magnéticos de baja energía creados por las líneas de alta tensión y sus destinatarios, tanto aparatos convencionales como instrumentos electrónicos. Ahí tienes algunos datos.
Potencias de base un número cualquiera a y exponente positivo
En muchas ocasiones es necesario realizar reiteradas veces el producto de un
número por sí mismo. La calculadora dispone de la tecla 
que nos permite realizar operaciones del tipo 263, es decir 2
multiplicado por sí mismo 63 veces
Actividades
Su inventor, en la India, se lo mostró al rey, que quedó tan entusiasmado que ofreció regalarle lo que quisiera. Éste pidió 1 grano de trigo por la 1ª casilla, 2 por la 2ª, 4 por la 3ª, 8 por la 4ª,... y así sucesivamente.
¿Cuántos granos de trigo habría que poner en la última casilla?.
Si colocáramos alineados los granos correspondientes a la última casilla , ¿que distancia ocuparían sabiendo que un grano de trigo mide aproximadamente 4 mm?
Compara esta distancia con la distancia Tierra-Sol (150 millones de Km.).
Toma una hoja de papel de espesor 1 mm. Córtala en 2 y coloca los dos trozos uno encima del otro; después de nuevo en dos y vuelve a colocar encima. Después de 7 cortes, ¿ cuál es el espesor obtenido?
¿ Podría ser que después de 20 cortes el espesor del papel pudiera superar el metro?
¿Después de cuántos cortes el espesor de papel sobrepasará los 3 metros? ¿ Y los 320 metros?
Signo de una potencia
Esta tabla contiene potencias, es decir, productos donde todos los factores son iguales. Completa:
|
Escritura resumida |
Escritura detallada |
Valor |
|
25 |
2.2.2.2.2 |
|
|
|
3.3.3.3 |
81 |
|
17 |
|
|
|
03 |
|
|
|
(-2)5 |
|
|
|
(-3)4 |
|
|
|
(-10)2 |
|
|
Observa:
Si la base es positiva, el resultado es un número positivo sea cual sea el exponente.
Si la base es negativa, el resultado es un número positivo si el exponente es par y un número negativo si el exponente es impar.
Cálculo con máquina:
Utiliza la tecla
de tu calculadora para completar la siguiente tabla:
|
a |
3 |
2 |
1'41 |
-9 |
10 |
4 |
-1 |
1 |
0 |
|
n |
8 |
7 |
2 |
5 |
6 |
4 |
23 |
17 |
15 |
|
an |
Propiedades de las potencias
En las actividades que siguen, a y b son números cualesquiera, m y n enteros positivos.
Producto de potencias de la misma base
Completa siguiendo el modelo:
Como observarás, se verifica:
| am · an = am + n |
Cociente de potencias de la misma base
Completa siguiendo el modelo
Como observarás, se verifica:
Potencia de un producto
Completa siguiendo el modelo:
Como observarás, se verifica:
| (a · b)m = am · bm |
Potencia de un cociente
Calcula según el modelo:
Como observarás, se verifica:
Potencia de una potencia
Calcula según el modelo:
Como observarás:
Curiosidad. El número más grande que se puede
escribir con tres nueves es 
.
Tiene una longitud de 965 Km., y en su lectura emplearíamos unos 150 años. ¿Y
con tres doses?
Potencia de una suma
¿Es cierto que 
?
Compruébalo. Observa el llamado Triángulo de Tartaglia
¿Sabrías escribir las dos líneas siguientes?
Calculamos las primeras potencias de la suma a + b.
Observa la relación entre los números del triángulo y las potencias de una suma:
Pon los resultados de la forma:
Actividades
,
y .
y
.
Potencias de exponente negativo
Un poco de historia
En más de una ocasión los matemáticos han creado entes que, aunque carentes de significado claro, han sido útiles porque operando con ellos se han resuelto cómodamente multitud de problemas. Unos de estos entes fueron los números negativos sobre los que no pocos matemáticos renegaron:
Michael Stifer (1487-1567) los utilizaba pero los consideraba "numeri absurdi".
Francis Maseres (1731-1824), profesor de Cambrigde, decía:
".... sirven solamente, en lo que a mí se me alcanza, para embrollar la doctrina de las ecuaciones, y para volver oscuras y misteriosas cosas que son, por su propia naturaleza llanas y simples... Habría sido de desear que las raíces negativas no hubieran sido admitidas nunca en el álgebra a que fueran descartadas..."
Más tarde, en 1831, De Morgan, famoso matemático inglés, afirmaba que la expresión negativa -b indica alguna inconsistencia o absurdo cuando aparece como solución de un problema.
Potencias de base 10 con exponente negativo. Operaciones
Como vimos al comienzo del tema, las potencias de 10 eran particularmente útiles para operar con números grandes. El exponente indicaba el número de ceros que había que escribir a la derecha del uno.
1.000.000 = 106
100.000 = 105
10.000 = 104
1.000 = 103
100 = 102
10 = 101
Si continuamos la secuencia de forma natural podríamos escribir
(Ningún
cero)
(Un
cero significativo a la izquierda del 1)
(Dos ceros significativos a la izquierda del 1)
(Tres ceros significativos a la izquierda del 1)
Por lo tanto:
|
Para multiplicar un número por 10-1, 10-2, 10-3, etc., se desplaza la coma decimal 1, 2, 3, etc., lugares hacia la izquierda. |
Así, 9874'32193 · 10-5 = 0'0987432193
3'25 · 10-4 = 0'000325
4 · 10-3 = 0'004
Notación científica y números pequeños
En el mundo microscópico, en farmacología, en la electricidad, etc., abundan cantidades expresadas mediante números muy pequeños. Así, se sabe que la longitud de la Entamoeba histolytica (la más patógena de las amebas que vive en el intestino humano y que produce la disentería amebiana) tiene una longitud estimada entre 12 y 40 micras (una micra es 10-6 m); Los valores normales de plomo en sangre son de 0'50 µg/dl (microgramos por decilitro), los de vitamina B12 en el varón están comprendidos entre 200 y 800 pg/ml (picogramos por mililitro), los de testosterona en varones entre 400 y 1.200 ng/dl (nanogramos por decilitro); En el prospecto de un polivitamínico, se nos indica que, entre otros componentes, contiene 300 µg de Zinc, 2 µg de vitamina B12, 2 mg de vitamina B1, 10 µg de Potasio, etc.
La notación científica nos permite escribir estas
cantidades y operar con ellas de una manera simple y
reducida. 800 picogramos, en notación científica, se escribe 8 · 10-10 g.
0'0000726 en notación científica se escribe 
.
Actividades
,
, ,
, .
0'0065, 0'000013, 0'00007, 0'043, 0'006, 0'0037, 0'00000000093, 0'083, 0'00000981.
Curiosidades
:El radio del universo observable es, aproximadamente, de 1'89 · 1026
m. Como el radio del electrón clásico es, aproximadamente, de 2'6 · 10-15
m, para llegar de un extremo al otro del universo habría que alinear,
aproximadamente, 72.690.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
electrones.
L
La masa más pequeña posible es la del electrón en reposo (9·10-28 g). La masa de la Tierra es 5'98·1024 kg. Si pusiéramos en una balanza la Tierra, ¿cuántos electrones tendríamos que poner para que quedara en equilibrio?L
El corazón de un horno microondas no es otra cosa que un tubo de vacío (llamado magnetrón),
semejante al de un televisor. Un haz de electrones en ese tubo
oscila cerca de dos trillones y medio de veces por segundo para producir
microondas de una longitud de onda que es la cincomilésima parte de 2'5 cm.
Cuando alguien introduce en el campo de acción del magnetrón cualquier
alimento, esa radiación en forma de violentas vibraciones imperceptibles a la
vista, es absorbida por las moléculas de agua: la energía de la radiación es
convertida en energía molecular; el movimiento calienta la comida y no el
plato, que, por no tener agua, no se calienta sino después de absorber el calor
que irradia la propia comida. La aplicación más importante y menos conocida de
las microondas está en los teléfonos celulares y en las emisiones de
televisión vía satélite.(ABC de la Ciencia)
Escribe en notación científica la longitud de onda, expresada en metros.
Potencias de base a ≠ 0 y exponente negativo
Generalizando el resultado anterior 
,
se define:
Actividad resuelta
a.
;
b.
d.
Se puede observar que las propiedades de las potencias siguen siendo válidas cuando el exponente es negativo.
Actividades
.
,
y 
,
,
y .
. ¿Es cierto
que 
?Potencias de 10 y sistema métrico decimal
Desde sus orígenes todos los pueblos han inventado unidades de medida. Los rebaños o los días pueden contarse, pero para expresar una cantidad de aceite, de harina o de tierra cultivada o la distancia entre el lugar de caza y la aldea, es necesario adoptar unidades de medida. Dependiendo del lugar, de la época y de la naturaleza del objeto a medir las unidades variaban .
Hasta inicios del siglo XIX se podía decir perfectamente que cada pueblo o aldea utilizaba sus propias unidades.
Gracias a su simplicidad, el conjunto de unidades denominado sistema métrico decimal que fue instituido en Francia en 1795, se expandió por toda Europa. En 1875, la convención del metro firmada por 18 países expresó la adhesión de éstos al sistema métrico, aunque se mantenía el uso de las unidades tradicionales de cada país (esto hoy ocurre fundamentalmente en países anglosajones). La I Conferencia general de pesas y medidas (1889) adoptó los nuevos patrones del metro y del Kilogramo. En 1960, la XI Conferencia general de pesas y medidas cambió el nombre al sistema métrico dándole el nombre de Sistema Internacional de unidades, sistema SI. En la actualidad el SI cuenta con 7 unidades fundamentales que son metro, kilogramo, segundo, amperio, kelvin, candela y mol. Es también la conferencia de pesas y medidas la que adopta los nombres de estas unidades y sus símbolos respectivos, así como los prefijos que sirven para formar los nombres de sus múltiplos o submúltiplos decimales.
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DECIMALES
|
Nombre |
Abreviatura |
|
|
Nombre |
Abreviatura |
|
|
|
era |
E |
1018 |
unidades |
deci |
d |
10-1 |
unidades |
|
peta |
P |
1015 |
unidades |
centi |
c |
10-2 |
unidades |
|
tera |
T |
1012 |
unidades |
mili |
m |
10-3 |
unidades |
|
giga |
G |
109 |
unidades |
micro |
|
10-6 |
unidades |
|
mega |
M |
106 |
unidades |
nano |
n |
10-9 |
unidades |
|
kilo |
k |
103 |
unidades |
pico |
p |
10-12 |
unidades |
|
hecto |
h |
102 |
unidades |
femto |
f |
10-15 |
unidades |
|
deca |
da |
101 |
unidades |
ato |
a |
10-18 |
unidades |
Por ejemplo:
Múltiplos del metro
1 Decámetro =1 dam = 10 m = 101 m
1 Hectómetro =1 hm = 100 m = 102 m
1 Kilómetro = 1 km = 1000 m = 103 m
1 Megámetro = 1 Mm = 1.000.000 m = 106 m
1 Gigámetro = 1 Gm = 1.000.000.000 m = 109 m
1 Terámetro = 1 Tm = 1000.000.000.000 m = 1012 m
Submúltiplos del gramo:
1 decigramo = 0.1 g = 10-1 g
1 centigramo = 1cg = 0'01 g = 10-2 g
1 miligramo = 1 mg = 0'001 g = 10-3 g
1 microgramo = 1mug = 10-6 g
1 nanogramo = 1 ng = 0.000.000.001 g = 10-9 g
1 picogramo = 0.000.000.000.001 g = 10-12 g
