DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE TALES

Los triángulos AA’B y AA’B’ tienen igual área porque comparten una base (AA’) y su altura correspondiente (h).

Como también se cumple:

área de AA’B =

área de AA’B’ =

En consecuencia, , de donde     (1)

De otra parte tenemos que, si expresamos el área de OAA’ tomando como base OA, el área de este triángulo es y, si tomo como base OA’, también será . Igualando las dos últimas expresiones y operando, tendremos que    (2)  

Mirando las igualdades (1) y (2) concluimos que que es lo que afirma el teorema de tales.

CONSECUENCIAS: 

1. Por las propiedades de las proporcionescomo se cumple que OA'+A'B'==OB' y OA+AB=OB,  tendremos que
2. Si trazamos una paralela A' a la recta OB y aplicamos el último resultado tomando como vértice a B' en lugar de O:

  y como CB = A'A, tenemos que