Números figurados

Karl Friedrich Gauss, llamado el Príncipe de las Matemáticas, estaba en la escuela cuando su profesor, tal vez con la intención de entretener a los niños mientras trabajaba, propuso a la clase que sumaran todos los números del 1 al 100.

El profesor quedó sorprendido cuando Gauss, que tenía 11 años, dio la respuesta correcta poco después de ser formulada la pregunta. Seguramente, Gauss procedió de la siguiente manera:

S=101x50=5050

Seguramente conocerás los números triangulares y cuadrados que fueron estudiados por los Pitagóricos en el s. VI a.C.

Números Triangulares:

Para los pitagóricos el diez dispuesto en forma triangular (trianón) era una figura sagrada por la que tenían la costumbre de jurar.

Tabla de los números triangulares:

Nº	1	2	3	4	...........	n	.	.
T	1	3	6	10		¿T_n?	.	.

Si observamos la naturaleza de los números triangulares es fácil reconocer las dos propiedades siguientes:

T_n = T_n-1 + n

T_n = 1 + 2 + 3 + .... + n

Basándote en la última propiedad, y procediendo como Gauss, descubre la expresión del enésimo número triangular. Halla también la expresión de los dos que le siguen.

Números cuadrados:

Tabla de los números cuadrados:

Nº	1	2	3	4	...........	n	.	.
C	1	4	9	16	...........	n²	.	.

Halla la expresión de los dos números cuadrados que siguen al enésimo. Haz lo mismo con los dos anteriores.

El esquema geométrico que muestra la figura siguiente manifiesta a relación entre los números triangulares y los cuadrados:

Comprueba la igualdad de forma algebraica

Existen más tipos de números figurados:

Oblongos (Números rectangulares en los que la dimensión de un lado es una unidad mayor que el otro)

Pentagonales

Hexagonales

Estrellados

Cúbicos

Tetraédricos

Técnicas para buscar el patrón

Métodos geométricos

El esquema anterior sugiere que un número pentagonal se expresa como la suma de tres números triangulares de un orden menor y de los puntos de su lado P_n= 3 · P_n-1+ n , de donde

Deduce del siguiente esquema el patrón de la secuencia de números estrellados.

Realiza la misma actividad con los números hexagonales:

Ten presente que uno de los vértices se cuenta dos veces.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética (PA) es una secuencia de números reales de manera que cada término de la sucesión se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija, d, llamada diferencia . Veamos algunos ejemplos:

-8, -3, 2, 7, 12, 17,... es una PA con a₁ = -8 y d = 5.
70, 40, 10, -20, -50,...es una PA con a₁ = 70 y d = -30.
3/2, 4, 13/2, 9, 23/2, 14,... es una PA con a₁ = 3/2 y d = 5/2.

De esta manera se tiene que :

En general tenemos que

En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n primeros términos de una PA:

Esto nos permite averiguar cómodamente el valor de T_n = 1 + 2 + 3 + .... + n. Observamos que el enésimo número triangular se construye sumando los n primeros términos de la sencilla PA: 1, 2, 3, 4, ......, n, de primer término 1, enésimo término n y diferencia 1. Si aplicamos la fórmula anterior se tiene que

Utilicemos lo estudiado para hallar el la expresión del enésimo número pentagonal:

P₁= 1

P_{2 =} 1+4

P₃ = 1+4+7

P₄= 1+4+7+10

P₅ = 1+4+7+10+13

Si consideramos la PA 1, 3, 4, 7,10, 13,... de primer término 1 y diferencia 3, tenemos que P_n se corresponde con la suma de los n primeros términos de la sucesión. En virtud de las fórmulas que hemos visto:

Halla, mediante una técnica similar, el término general de los números hexagonales y estrellados.

Diferencias finitas

Comencemos estudiando las diferencias entre los términos consecutivos de una PA cualquiera, por ejemplo, la 8, 12, 16, 20,...

Veamos la tabla de diferencias de la sucesión de números hexagonales:

Y la de los números cúbicos:

En el caso de la PA las diferencias son constantes. En el de los números hexagonales lo son las diferencias segundas y, en el caso de los números cúbicos, hay que llegar hasta la tercera diferencia. Lo anterior, como se verá, no se debe a la casualidad.

En general, si una secuencia a₁, a₂, a₃, a₄,... Tiene las primeras diferencias fijas podemos concluir que la secuencia es una progresión aritmética de diferencia d y primer término a₁:

Realiza la tabla de diferencias para las secuencias de término general 2 n + 5, 3 n - 1 y -6 n + 9.
¿Cómo son las secuencias de término general a_n = a n + b?

Veamos que cuando el término general de una secuencia viene dada por un polinomio de segundo grado en n, a_n= a n ² + b n + c, las segundas diferencias son constantes:

Recíprocamente, si las segundas diferencias son constantes el término general será del tipo

a_n = a n² + b n + c. Se pueden hallar los coeficientes a, b y c de la siguiente forma: la diferencia segunda es el doble del valor de a, para obtener el valor de b hay que restarle 3a al primer valor de D₁. Por último, para obtener el coeficiente c, se restan a y b al primer término de la secuencia.

Comprueba lo anterior con la tabla de diferencias para las secuencias de término general

n²+ 3n + 2 y -n²+ 7

Investiga utilizando diferencias el patrón de la secuencia de los números tetraédricos.
Estudia las diferencias de una sucesión de término general a_n= a n ³ + b n² + c n + d
Halla el término general de las secuencias:

2, 9, 20, 35, 54, 77,....

4, 5, 8, 13, 20, 29,....

Llamamos números poligonales a los que se generan mediante un polígono: triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc. Comprueba que, si en la fórmula ,

cambiamos b por 1 obtenemos la expresión general de los números triangulares; si la cambiamos por 2 obtenemos la de los números cuadrados: si lo hacemos por 3 se obtiene la de los pentagonales, ...

Comprueba que se verifican las siguientes relaciones:

C_n=T_n + T_n-1

P_n=C_n + T_n-1

H_n=P_n + T_n-1

etc.

No siempre nos valen las diferencias:

Cuando el término general de una secuencia no sea un polinomio en n no podremos utilizar la técnica de las diferencias finitas. Veremos algunos casos en que esto ocurre y aprovecharemos para estudiar dos tipos de secuencias que también son muy frecuentes en la literatura matemática: las progresiones geométricas y las sucesiones recurrentes.

Estudiemos ahora el siguiente caso: supongamos infinito el proceso de construcción de cuadrados (el cuadrado grande tiene lado 1). ¿Cuánto mide, cuando llevamos n cuadrados, la longitud de la línea negra?

¿Y si considerásemos a la infinidad de ellos?

Resuelve la cuestión cuando leas el siguiente apartado:

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica (PG) es una secuencia de números reales de manera que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el anterior una cantidad fija, r, llamada razón.

De esta manera se tiene que :

En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n primeros términos de una PG:

Halla el perímetro del copo de nieve de n capas:

En la fórmula de la suma de los n primeros términos de una PG , si -1 < r < 1, se tiene que , es decir, rⁿ se acercará a cero tanto como queramos, tomando n suficientemente grande.

En consecuencia la fórmula de la suma de los infinitos términos de una PG sería . Calcula la longitud de la línea quebrada cuando el proceso de inscribir cuadrados se hace infinito. ¿Cómo será el perímetro del copo en ese mismo caso?

Sucesiones recurrentes

De manera algo imprecisa podemos definir las sucesiones recurrentes como aquellas en las que un término se expresa en función de términos anteriores. Veamos un par de casos que aclaren la idea:

Averiguar el número de caminos distintos que se pueden tomar desde los vértices numerados para llegar hasta 0 (no vale retroceder):

En el esquema se muestra que C _n = C_n-1 + C _n-2 (cada término es la suma de los dos anteriores)

Según esto la secuencia es 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Comprueba que al hacer las diferencias termina apareciendo la propia sucesión, con lo que no se hacen constantes y es imposible determinar, de esta manera, su término general.

Las Torres de Hanoi:

Hay que traspasar los discos a otro poste, de forma que queden en la misma posición. Los discos sólo pueden situarse descansando en alguno de los tres postes, sin que un disco mayor pueda colocarse sobre otro menor.

Hallar la secuencia

Nº. De discos	1	2	.................................	n
Nº. mínimo de movimientos	1	3	.................................

Metodología.

Comenzar por pocos discos.

Observar que antes de terminar el juego con n discos, hay que hacerlo con n -1, siendo

A_n = A_n-1 + 1 + A_n-1= 1 + 2 · A _n-1.

Observar que de A₁= 1; A₂ = 3; A₃= 7; A₄= 15; A₅= 15; etc, se sigue que A_n= 2ⁿ- 1.

Del hecho de que A_n = 1 + 2 · A _n-1se deduce que las diferencia primera será:

D = A_n+1- A_n = 1 + 2 A_n- A_n = 1 + A_n que no se hace constante. Puedes estudiar lo que ocurre con las demás diferencias y comprobarás que ocurre lo mismo.

Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones recurrentes y, en el caso de las torres de Hanoi, hemos hallado una expresión para su término general: A_n = 2ⁿ- 1.

APÉNDICES

Trayecto desde las sucesiones recurrentes a las progresiones geométricas mediante una actividad recreativa debida a Lewis Carroll: El cuadrado evanescente

Se ha dicho que la Geometría es el arte de razonar bien sobre figuras falsas. (CHASLES, en otro sentido, claro)

En esta paradoja aparente intervienen los números 5, 8 y 13. Si probamos a plantearla con cuadrados de otras dimensiones, comprobaremos que también funciona con los números 8, 13 y 21. Lo anterior huele a los términos de la sucesión de Fibonacci, vista anteriormente, en los que cada uno es la suma de los dos anteriores.

Precisamente, si construimos la paradoja con los números 2, 3 y 5 veremos mejor la trampa que encierra (la diagonal del rectángulo no es una línea, sino un delgado cuadrilátero cuya área vale una unidad).

Sean a, b, c tres términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, se tiene que a + b = c y b² = a · c +1, o b² = a · c -1

Consideremos una sucesión de términos no necesariamente enteros, en la que cada término se obtenga mediante la suma de los dos anteriores. La pregunta es: ¿se podrán dar las condiciones a + b = c y b² = a · c?. Es decir, ¿se podrá cortar el cuadrado de tal forma que al disponer las piezas del rectángulo tenga el área igual al cuadrado?.

Si despejamos c en ambas igualdades e igualamos, tenemos la ecuación b² - ab - a² = 0.Cuya solución positiva es

¡Aparece el número áureo!

La única sucesión de Fibonacci en la que cada término es el producto de sus términos adyacentes es la sucesión 1,N , 1+N, 1+2N, 2+3N,..... o, equivalentemente, la PG de razón 1,N,N ²,N ³,N ⁴,...

Término general de algunas sucesiones recurrentes:

Veamos que, en determinados casos particulares, se puede averiguar el término general de una sucesión recurrente.

Ecuación característica de una sucesión recurrente

Si una relación de recurrencia es del tipo:

siendo los c_i números reales, Se denomina ecuación característica de la relación a la expresión:

Está claro que la sucesión verifica la relación de recurrencia sii b es raíz de la ecuación característica. En general, si la ecuación tiene raíces no nulas y distintas, entonces cualquier sucesión del tipo:

, donde las c_i son arbitrarias, verifica la relación de recurrencia. Si se dan k condiciones iniciales , entonces se puede obtener una solución particular, pues estas condiciones determinan un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas c_i:

Y al ser las raíces distintas y no nulas, el determinante de la matriz de los coeficientes, que es el producto de por un determinante de Vandermonde, es diferente de cero y obtenemos una solución particular para A_n

Veamos, como ejemplo, cómo obtener el término general de la sucesión anterior:

Una sucesión de Fibonacci viene definida en los términos , la ecuación característica asociada es.

Si concretamos en nuestro ejemplo del número de caminos, las condiciones iniciales son d₁ = 1, d₂ = 2. Tenemos así el sistema

cuyas soluciones son: . Así pues, el término general de la sucesión viene dado por la regla:, que se llama fórmula de Binet (1786-1856) porque que la obtuvo. Igual hicieron, de manera independiente, Moivre y D. Bernouilli. Dado que , tenemos que

Por lo tanto para n suficientemente grande.

Encuentra el término general de la secuencia 1,2, 5, 14, 41, ... en la que cada término se obtiene multiplicando por cuatro el término anterior y restándole el triple del que está detrás de éste.

Algunas actividades recreativas relacionadas con el tema:

D. Juan el albañil es especialista en enlosar patios de forma cuadrada. Su diseño favorito consiste en utilizar losas rojas para el interior y blancas para los bordes.

He aquí algunos patios construidos por él:

Si atendemos al número L de baldosas que tiene el patio en cada lado, podemos hacer la siguiente tabla, en la que B indica el número de baldosas blancas empleadas.

L	3	4	5	6	.................	n
B	8	12	16	20	.................	?

Un señor le pregunta a Juan la fórmula para un patio con n baldosas de lado. ¿Sabrías ayudarle a averiguar las baldosas blancas y rojas que se necesitarían?

El Jefe de D. Juan admira la idea de poner losas rojas en el centro y blancas en los bordes. Su especialidad son los patios rectangulares en los que un lado es la mitad del otro pero tiene el problema de que se lía contando. ¿Sabrías ayudarle a calcular las baldosas blancas y rojas, en función del número de baldosas del ancho del patio?

El siguiente problema aparece en el papiro de Rind (2000 a J): Entre cinco personas se reparten cien medidas de trigo; la segunda recibe más que la primera tanto como la tercera más que la segunda, la cuarta más que la tercera y la quinta más que la cuarta. Además, las dos primeras recibieron siete veces menos que las tres restantes. ¿Cuánto correspondió a cada una?
Para 31 gallinas se ha preparado una cantidad de reservas de comida a base de un decalitro semanal para cada una. Esto se hacía en el caso de que el número de gallinas permaneciera invariable. Pero, debido a que cada semana disminuía en una el número de aves, la comida preparada duró el doble de lo proyectado. ¿Qué cantidad de comida prepararon como reserva y para cuánto tiempo fue calculada?
Los soldados de una guarnición costera van a construir un fuerte en una isla. Si hubiese trabajado toda la guarnición hubiesen tardado 24 días. La isla se comunica con la costa mediante un barco que realiza un viaje diario de ida y vuelta.

El trabajo fue comenzado por el primer grupo de soldados que llegó a la isla, al día siguiente se le unió el segundo grupo, al tercer día el tercero, etc. Sabiendo que todos los grupos eran iguales y que el primero trabajó once veces más que el último, ¿cuántos días trabajó cada grupo?

Veamos otro clásico problema: Un hortelano vendió al primero de sus compradores la mitad de las manzanas de su jardín más media manzana; al segundo la mitad de las restantes más media, al tercero la mitad de las que quedaban más otra media manzana, etc. El séptimo comprador, al adquirir la mitad de las manzanas sobrantes más media manzana, agotó la mercancía. ¿Cuántas manzanas tenía el jardín?

Determina la expresión de A_n :

Demuestra que si multiplicas por ocho un número triangular, y sumas uno, obtienes un número cuadrado. Intenta demostrarlo mediante un esquema geométrico. (NOTA: la demostración algebraica requiere expresar 4n² + 4n +1 como cuadrado perfecto)
Realiza las sumas:

1+3+5+.....+(2n+1)

3+4+5+.....+(n+2)

5+8+11+....+(3n+2)

Un bodeguero desea almacenar en cinco formaciones triangulares los 140 toneles que dispone. ¿Con cuántos toneles se formará la base? ¿Y si fuesen 345 toneles, podría realizar su deseo?
Una escuadrilla aérea tiene unos cincuenta aviones aproximadamente y su formación en vuelo es un triángulo equilátero.

Algunos aviones caen después de un combate, de manera que cuando los aviones restantes regresan lo hacen formando cuatro triángulos equiláteros de igual lado.

Dinos cuántos aviones tenía la escuadrilla, sabiendo que con los aviones derribados se podía haber formado otra formación igual en triángulo equilátero.

¿Cuántos trozos, no necesariamente iguales, se pueden obtener como máximo al realizar n cortes sobre una tarta?

Intenta obtener el máximo con 5 y 6 cortes y comprueba si lo has conseguido, sabiendo que las diferencias segundas de dicha secuencia se hacen constantes.

Se necesitaron 20 cubos para construir esta torre de 4 capas. Expresa el número de cubos necesario para realizar una de n capas.

Halla A_n (número máximo de regiones obtenidas por intersección de n círculos)

A veces las apariencias engañan. Si observamos el número máximo de regiones que se pueden obtener al unir n puntos de una circunferencia, la observación de los 5 primeros términos parece indicar que la secuencia sigue la fórmula A_n= 2^n-1. Claramente se ve que el término sexto no cumple ya esa regla. Determina la expresión general de la sucesión, sabiendo que sus primeros términos son 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256,... y que sus cuartas diferencias son constantes.

Curiosidades con números cuadrados:

16 = 4²

1156 = 34²

111556 = 334²

1115556 = 3334²

11115556 = 33334²

1111155556 = 333334²

1² = 1

11²= 121

111²= 12321

1111²= 1234321

11111²= 123454321

9²= 81

99²= 9801

999²= 998001

9999²= 99980001

99999²= 9999800001