HOMOTECIAS Y SEMEJANZA

En los dos capítulos que siguen vamos a profundizar en la proporcionalidad de segmentos, de la que ya conoces el teorema de Thales. La potencia de este concepto la aporta el hecho de que los antiguos griegos pudieron estimar las distancias y dimensiones de la Tierra, Sol y Luna con la simple ayuda de un aparato medidor de ángulos. También realizaron los primeros trabajos topográficos complejos, como se verá posteriormente.

Dos resultados previos, basados en la proporcionalidad de magnitudes:

1) Estimación del radio terrestre.

Cuenta la leyenda que Eratóstenes (s. III a.C.) supo a través de un manuscrito que en la ciudad de Assuan, en determinado día y a una hora concreta, los rayos del Sol incidían en el fondo de un pozo.

Eratóstenes residía en Alejandría; en aquel tiempo era conocido que ambas ciudades estaban sobre el mismo meridiano, separadas por 800 Km. En el mismo día y a la misma hora clavó una estaca y midió el ángulo que formaba con los rayos solares, siendo éste de 7'2º.

Las prolongaciones de la estaca y el pozo se unen en el centro de la Tierra, formando también un ángulo de 7'2º.

Si estos grados abarcan un arco de 800 Km, 360º abarcarán el perímetro terrestre:

Dividiendo por , obtenemos un valor aproximado del radio de 6369 Km.

2) Comparación de los radios lunar y terrestre por el método de Aristarco.

Se produce un eclipse de Luna cuando no le llegan los rayos del Sol porque la Tierra se interpone entre ambos. Desde antiguo los astrónomos eran capaces de predecir eclipses y, en uno de ellos, Aristarco (contemporáneo de Eratóstenes) midió el tiempo que transcurría entre las posiciones siguientes:

De 1 a 2, en donde la Luna recorre una distancia igual a su diámetro, tardó 1h 3'.

De 1 a 3, en donde recorre una distancia parecida al diámetro terrestre, tardó 2h 22'.

Cuando la velocidad es constante, la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo empleado:

En realidad el cociente es algo mayor, pero consiguió tener cierta noción de las dimensiones lunares.

HOMOTECIAS

Actividad.

Realiza un dibujo similar al que muestra la figura 1.

A continuación fotocópialo, ampliándolo un 125%, sobre una transparencia. Si superpones la fotocopia con el dibujo original conseguirás el efecto que se muestra en la figura 2.

 

 

 

 

Une mediante rectas los puntos ampliados con los originales y verás que concurren todas en el mismo sitio.

Mide las dimensiones de los segmentos de la M ampliada y de la original, divide ambas longitudes, ¿qué observas?, ¿qué resultado obtendrías si la ampliación fuese del 200%?

Comprueba si, al realizar la ampliación, ha variado la amplitud del ángulo que forma la M.

En la fotocopiadora de mi centro sólo se puede ampliar hasta el 141%, ¿cómo he de actuar para conseguir aumentar la figura hasta el doble?, ¿por qué se fijó el límite de ampliación en 141? ¿que relación tiene con el hecho de que 1'41 es un redondeo de raíz de dos?

Diremos que la figura ampliada se ha obtenido aplicándole a la original una homotecia de razón 1'25 y centro O, siendo O el vértice inferior izquierdo.

Sea k un número positivo, cuando aplicamos una homotecia de centro O y razón k a un punto cualquiera P, obtenemos otro punto P' de la semirrecta que definen O y P, de manera que

Al punto P' lo denominaremos homólogo de P.

Ten en cuenta que si k<1, el punto P' queda situado entre O y P.

 

La homotecia de centro O y razón k la notaremos como

También se pueden considerar homotecias en la que la razón sea negativa, en la  figura tienes el efecto de aplicar una homotecia de centro O y razón -2 al Triángulo ABC:

Cuando la razón es negativa, el centro de la homotecia queda situado entre el punto y su imagen.

Resumiendo:

1) El centro de homotecia es el punto en el que concurren las rectas que determinan los puntos de una figura y sus correspondientes homólogos.

2) La razón de homotecia se calcula hallando el cociente entre OA y OA’ , siendo A un punto cualquiera. El signo de ésta dependerá de la posición de O respecto de A y A'.

3) Una homotecia transforma un segmento AB en otro paralelo A'B', k veces el primero. En consecuencia, la razón también se halla dividiendo la longitud de dos segmentos homólogos.

Halla la razón de la homotecia y calcula las dimensiones de los triángulos.

 

Relación entre las áreas de figuras homotéticas

Los triángulos de la figura son homotéticos de razón k, se tiene que:

la razón entre áreas es el cuadrado de la razón de homotecia.

La propiedad anterior se mantiene para cualquier figura.

Aplicaciones de las homotecias.

1) A la Astronomía.

Los estudiantes de Astronomía utilizan un aparato, llamado tubo negro, con el que se realizan diferentes experimentos. Para construirlo se puede utilizar un tubo de PVC de 180 por 15 centímetros al que se coloca en uno de sus extremos un círculo de aluminio con un agujero central de 1mm de diámetro. El otro extremo se cierra con papel cebolla.

 

Veamos, sabiendo que la distancia desde la Tierra hasta el Sol es de 149'1 millones de Km, cómo estimar el diámetro solar:

Se coloca el tubo sobre un trípode y se orienta al Sol. En la figura observamos los dos triángulos isósceles relacionados mediante una homotecia, de razón negativa, que tiene el centro en el vértice común O. Si medimos con un calibrador el diámetro del disco proyectado sobre el papel, podremos establecer el diámetro solar mediante la proporción:

Hemos realizado las operaciones expresando las medidas en metros. El diámetro verdadero es de 1391000 Km, lo que indica la asombrosa precisión del aparato.

2) Al cálculo de distancias.

a) Deseamos calcular la profundidad del pozo, para ello disponemos del aparato de la figura y nos disponemos en la forma que nuestro protagonista. 

Los triángulos ABC y AB’C’ son homotéticos, en consecuencia es igual la razón entre lados homólogos:

Como los lados AB, BC y B’C’ son fáciles de medir, podemos despejar la longitud AB’. Sólo hay que restarle la altura del aparato para conocer la profundidad del pozo.

b) Sobre un depósito cónico que contiene líquido se toman los siguientes datos:

Hallar la profundidad del depósito.

 

 

 

Podemos esquematizar la situación anterior de la siguiente manera:

Si aplico el teorema de Pitágoras en ABC, obtengo que h=3.

Como ABC y ADE son homotéticos, sus lados homólogos son proporcionales: x / h =10 / 4; cambiando h por 3 y despejando, x = 30/4 = 8'5.

 

 

 

3) A la Ingeniería.

Del siglo VI a. C. era el tirano Polícrates, éste ordenó a Eupalinos la construcción de un túnel, que se conserva en parte actualmente, para llevar agua atravesando el monte Castro. La longitud del túnel era de 1 Km, debiéndose perforar desde las dos laderas del monte. El error que se cometió en el centro, donde las dos mitades debían encontrarse, fue de 10 m en horizontal y 3 m en vertical.

Deseamos construir un túnel que una los puntos T y L. Para ello se bordea el monte como indica la figura .Es posible tomar las medidas de los segmentos dibujados en trazo continuo, a partir de éstas es fácil obtener las del triángulo imaginario TAL:

LA=EN-TU

TA=UN-EL

Conocidas éstas construiremos fácilmente el triángulo TOS, de manera que sea homotético al TAL:

Dibujamos los lados TO y SO paralelos y proporcionales a TA y LA respectivamente. Sólo habrá que prolongar la línea ST para salir por el lugar señalado con una L.

Si deseamos conocer previamente las dimensiones del túnel, bastará con aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo TAL.

 

Calcula la longitud de galería que ha de cavarse para llegar al pozo, sabiendo que AB=120 cm, BC=135 cm y que la cuerda AE mide 40 m.

(Este método viene descrito en un tratado de tecnología minera que data del siglo XVI)

SEMEJANZA

En la figura tienes el resultado de aplicarle al triángulo ABC las siguientes transformaciones:

Le aplicamos la homotecia, y al resultado A’B’C’ lo sometemos a:

1) una traslación.

2) una simetría.

3) un giro.

Obtenemos, de manera respectiva, los triángulos

A1 B1 C1, A2 B2 C2 y A3 B3 C3.

Observamos que en cualquiera de los casos, los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos no han variado. La razón de proporcionalidad es la de la homotecia.

¿En algún caso cambia la orientación de la figura

Diremos que cualquiera de los triángulos resultantes es semejante al ABC.

La semejanza es la transformación del plano que resulta de componer un movimiento y una homotecia. Llamaremos razón de semejanza a la razón de la homotecia correspondiente.

Propiedad.

La semejanza de triángulos equivale a cualquiera de las siguientes propiedades:

a) Tienen sus ángulos iguales.

b) Tienen los lados correspondientes proporcionales.

c) Tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.

En particular, de a) se deduce que:

a1) si dos triángulos tienen sus lados paralelos o perpendiculares, serán semejantes,

a2) si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual, serán semejantes.

Figuras semejantes.

Podemos generalizar el concepto de semejanza a una figura cualquiera: F y F' son semejantes si una de ellas se aplica en la otra mediante una homotecia y un movimiento.

De manera intuitiva, diremos que dos figuras son semejantes cuando tienen "igual forma", aunque puedan tener distinto tamaño:

Aplicaciones.

1) Al cálculo de distancias.

El problema de la agrimensura está ligado a los conceptos de homotecia y semejanza. Se atribuyen a Thales de Mileto (s. IV a.C.) las primeras hazañas en el oficio de agrimensor: se cuenta que calculó la altura de una pirámide comparando su sombra con la que determinaba una estaca y que calculó la distancia a que se encontraba un barco de la costa.

Fernando se coloca con una estaca para comparar su sombra con la del edificio del instituto. A continuación, su amiga Teresa comprueba que la distancia desde el final de la sombra hasta la base de la estaca es de 2'45m, y hasta la base del edificio de 13'1m. Como sabemos que la longitud de la estaca es de 3m, podremos calcular la altura del edificio:

Como los triángulos ABC y A’B’C tienen sus lados paralelos son semejantes y, por lo tanto, tendrán sus lados homólogos proporcionales:

Mide unos 16 m.

2) Semejanza y escalas.

Los planos muestran dibujos que son representaciones semejantes de la realidad que se estudia. La razón de semejanza es lo que se conoce como escala del dibujo.

El plano de la figura es semejante a la distribución real de una vivienda. Sabiendo que la terraza tiene una anchura de 2 m:

a) Calcula los m2 que tiene cada habitación.

b) Tenemos, para el salón, un mueble de 50 cm de fondo y 3 m de longitud, Dos tresillos de 0'8 m de fondo por 2 m de largo, una mesa baja de 60 x 120, dos sillones de orejas de que ocupan 0'8 m2, una mesa circular de 120 cm de diámetro y dos sillas de brazos que ocupan un poco menos que los sillones de orejas. Distribuye los muebles en el salón utilizando la misma escala, y decide si hemos de buscar otro apartamento con un salón más amplio.