ACTIVIDADES FINALES

NOTA: La mayoría de los problemas de la sección carecen de dibujos que aclaren el texto. En realidad, si te esfuerzas mínimamente en comprender tu idioma y en utilizar tu imaginación, comprobarás que no son necesarios.

        Ángulos poliedros

1. ¿Se puede construir un triedro con caras que midan 80º, 35º y 40º cada una? ¿Y si miden 110º, 200º y 60º? Justificar la respuesta.



2. Dos caras de un triedro miden 89º y 131º. ¿Entre qué valores puede oscilar la tercera?



3. Averiguar si es posible construir un ángulo poliedro convexo con las siguientes caras: una es un ángulo de un triángulo equilátero, dos son ángulos de un cuadrado, y la cuarta es de un hexágono regular.
   
   Poliedros regulares



4. La arista de un dodecaedro regular mide 10 cm. ¿Cuánto vale la suma de todas sus aristas?



5. La diagonal de un ortoedro regular mide 3 m, calcula la longitud de su arista.
   
   Prismas



6. Una fuente tiene una altura de 1 m y su base es un hexágono regular de 2 m de lado. Calcular su volumen.



7. Con una lámina de latón de 2 m² se desea construir un cubo. ¿Qué longitud tendrá su arista?. ¿Cuál será su volumen?



8. Las dimensiones de un ortoedro son tres números consecutivos que suman 42. Calcula su superficie.



9. Calcular las dimensiones de un ortoedro, sabiendo que sus aristas son directamente proporcionales a 2, 3 y 7 y que su área total es de 3'28 m² .



10. En un paralepípedo recto cuyas bases son dos rombos, el área total es de 140. La suma de las diagonales del rombo vale 16, y la razón entre las áreas lateral y total es 4/7. Hallar las diagonales del rombo y del paralepípedo.



11. Alberto decide pintar las paredes exteriores de su casa. Para ellos, utiliza pintura de rendimiento 10 litros por cada 4 m².


a.   ¿Cuánta pintura necesitará?
b.   Si la pintura viene en latas de 10 litros ¿cuántas debe comprar?



12. Carlos ha construido una estantería de libros y ahora quiere barnizarla.

    
    a.   Calcula el área total a barnizar en m².
    b.   Si una lata de barniz cubre 2 m² ¿cuántas las serán necesarias?

     

13. La altura de un prisma recto mide 10 cm; su base es un rectángulo, en el que uno de sus lados es el doble del otro. Si el área total es de 136 cm², calcular la longitud de una de las diagonales del prisma.

     

14. Hallar el volumen de un paralelepípedo recto de base cuadrada, sabiendo que la suma de todas sus aristas es 3'6 m y que la altura tiene 30 cm más que la longitud del lado de la base. Si está hecho de aluminio, cuya densidad es de 2'5, ¿cuánto pesa?

     

15. Un ortoedro tiene un volumen de 315 cm³ , y de las tres aristas que concurren en un vértice, una mide 7 cm, y entre las otras suman 14 cm. Hallar el área total del ortoedro.
    
    Pirámides

     

16. Determinar la altura de un tetraedro regular cuya área vale 300 m².

     

17. Hallar las aristas (lateral y de la base) de una pirámide hexagonal regular, sabiendo que la suma de sus doce aristas es de 54 m y que la altura de la pirámide vale 4 m.

     

18. Una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base, a la distancia indicada en la figura. ¿Qué relación hay entre las áreas de la sección y la base de la pirámide? ¿Y entre los volúmenes de la pirámide inicial y la que queda después del corte?

    

     

19. La base de una pirámide regular es un hexágono regular de 10 cm de lado. Calcular su altura , sabiendo que su superficie lateral es el doble de la de la base.



20. Hallar el volumen de una pirámide regular de base cuadrada, sabiendo que el lado de la base mide 1m y que el área lateral es el triple del área de la base.



21. En un libro de 1970 encontramos el siguiente problema: ¿Qué altura alcanzará una pirámide cuadrangular de 12 m de lado en la base, construida con todo el oro extraído hasta ahora, admitiendo que se eleve a 70.000 millones de pesetas? La densidad del oro es de 19'26 y su valor de 34'44 pesetas el gramo.



22. Una bombilla dista 5 m de una pared. Un cartón cuadrado de 15 cm de lado se coloca entre los dos, de forma paralela a la pared y a 3 m de ésta. Hallar el área de la sombra. ¿Y si está a x metros de la pared?



23. Calcular el volumen de una pirámide regular cuya arista lateral vale 25 cm y cuya base es un cuadrado de 25 cm2 de área.



24. Calcular el volumen del tetraedro que resulta al cortar el cubo de 1dm de arista.
    
    



25. ¿Qué profundidad tiene una zanja, con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular cuya abertura mide 1'15 m de lado y el fondo 0'7 m y el volumen de tierra extraído 4'55 m³?



26. ¿A que altura se ha de cortar por un plano paralelo a la base una pirámide regular de base cuadrada de lado 3 m y altura 3 m para obtener dos piezas de igual volumen?



27. Un tetraedro regular de 1 m de arista tiene 3 m³ de volumen, ¿cuál es el volumen de los tetraedros de arista 2 m y 3 m respectivamente?



28. Un tronco de pirámide regular de 4m de altura tiene las bases cuadradas con lados de 3m y 5m.
    ¿Qué longitud corresponde a las aristas laterales de la pirámide total? ¿Y a la altura de los cuatro trapecios?
    
    Cilindros y conos



29. La circunferencia base de un cilindro mide 9 m y su altura 10 m. Calcular su superficie.



30. Un rectángulo de 9 m de base y 5 de altura gira 360º alrededor de una recta paralela a la altura, que está situada a 15 m de distancia. Calcula la superficie y el volumen del cuerpo que resulta.
    
    



31. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro es un rectángulo de 10 cm de altura y diagonal de cm. ¿Cuál es su volumen?



32. Se introduce una piedra en un vaso cilíndrico de 5 cm de diámetro. Si al quedar por debajo del agua el nivel de ésta sube 2 cm, ¿qué volumen ocupa la piedra?



33. Hallar el radio de un cilindro de 10 m de altura para que tenga una capacidad de 8000 Hl.



34. Con una lámina de latón de 30 cm de ancho por 50 de alto se desea construir el lateral de un envase cilíndrico. ¿Cuál será su capacidad si se enrolla a lo ancho?, ¿y si lo hacemos a lo alto?



35. Antiguamente se empleaba en el comercio al por menor medidas de capacidad, en forma cilíndrica, hechas de estaño y de manera que que la altura era el doble del diámetro. ¿Qué dimensiones debía tener la que contuviera un litro?



36. Para la leche y el aceite se utilizaban cilindros de hojalata con altura igual al diámetro. Responde en este caso la pregunta anterior.



37. La generatriz de un cono es mide lo mismo que el perímetro de su base. Si su área lateral es de 100 m², hallar la altura del cono.



38. Halla la amplitud del sector circular del desarrollo de un cono cuya altura mide 3 m y el radio de la base mide 1 m.



39. Un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 gira 360º alrededor de su hipotenusa. Halla el área y el volumen de la superficie engendrada.



40. Los radios de las bases de un cono truncado miden 10 m y 5 m. Si su altura vale 20 m, hallar el área total y el volumen.



41. De un cuadrado de hojalata que tiene 40 cm de lado, se le quita en la esquina un sector de 90º y 40 cm de radio. ¿Qué volumen tendrá el cono construido con el sector?, ¿podrá sacarse el círculo base del cono con lo que queda de hojalata?



42. Para construir un recipiente se adjuntan dos cilindros a un tronco de cono. El primero de ellos tiene altura de 10 cm y radio de 5 cm; el segundo tiene 25 de alto y 10 de radio. Si la altura del recipiente es de 40 cm, calcula su capacidad y los cm² de hojalata necesarios para su construcción.