TRIGONOMETRÍA

Construcción de un aparato medidor de ángulos

Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Tangente de un ángulo

Marta, que vive en primera línea de playa, observa un hidropedal averiado bajo un ángulo de depresión de 10º. Ella estima que la altura de su apartamento es de 20 m y que la distancia del portal a las olas es de 15 m.

Como desea conocer lo que deben nadar sus ocupantes hasta alcanzar la costa, con la ayuda de un transportador de ángulos dibuja un triángulo semejante y, posteriormente, mide sus catetos. Por ser proporcionales con el triángulo real, Marta consigue averiguar lo que debían nadar sus ocupantes para alcanzar la playa.

Realiza en tu cuaderno la proeza de Marta.

Definición

Consideremos un ángulo agudo cualquiera y tracemos una perpendicular por su semirrecta base obteniendo el triángulo ABC, llamaremos tangente de A a la razón BC/AC.

El Teorema de Thales garantiza que el lugar por el que trazamos la perpendicular es indiferente para el cálculo de la tangente:

En general, sobre un triángulo rectángulo, diremos que la tangente del ángulo es la razón cateto opuesto/cateto contiguo.

 

 

 

 

 

De igual manera diremos que el coseno del ángulo es la razón cateto contiguo/hipotenusa

y que el seno de éste es cateto opuesto/hipotenusa.

También se utilizan las inversas de la tangente, el coseno y el seno, que se llaman respectivamente cotangente, secante y cosecante:

A la tangente, coseno, seno y a sus inversas se las llama razones trigonométricas del ángulo "

Obtención de las razones trigonométricas mediante la calculadora

Anteriormente hemos estimado las razones de los ángulos mediante la medida de segmentos. La imprecisión de la medida provoca que se obtengan valores con poca exactitud. Existen técnicas matemáticas que permiten conocer con suficiente finura el valor de la tangente, el coseno y el seno de un ángulo, pero no se estudian en este curso. No obstante, puedes hacer uso de tu calculadora para obtener una buena estimación utilizando la teclas TAN, COS y SIN.

Pasos para hallar el valor de la tangente del ángulo de 40º:

40 TAN = 0.8390996.

En otros modelos de calculadora se pone TAN en primer lugar y después se introduce 40.

También es posible, conocida la tangente del ángulo, averiguar el ángulo del que se trata. Supongamos que la tangente de un ángulo vale 2.75:

2.75 TAN-1 = 70.016893, se trata de un ángulo 70º aproximadamente. En otras calculadoras se introduce 2.75 después de TAN-1.

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Si Marta hubiera estudiado la tangente y dispuesto de una calculadora, no tendría que haber recurrido al dibujo para calcular la distancia del hidropedal hasta el portal de su casa:

tg(80º)=x/20; x=20. tg(80º)=20 . 5'6712818 =113'42 m aproximadamente.

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APLICACIONES

1) Estimación de la distancia Tierra-Luna

Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km. Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra, contemplamos su disco bajo un ángulo de medio grado.

Si a x, que es la distancia hasta el centro de la Luna, le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separación entre Tierra y Luna de 396579 Km..

(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna. Se ha podido conocer, mediante el envío de rayos láser, que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)

2) Estimación de la distancia Tierra-Sol

Aristarco (s. III a. J.), célebre astrónomo de Alejandría, intentó calcular cuántas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna. Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las líneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un ángulo de 90º. Aristarco midió el ángulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87º.

De esta forma:

Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna. Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente, obtenemos una distancia solar de 7344920 Km.

Volviendo con nuestro astrónomo, faltaba comentar que cometió un pequeño error al medir el ángulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89º 50'. Esta pequeña diferencia en la medida del ángulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separación Tierra-Sol

Con mayor precisión se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km. Como recordarás, a este valor se le llama unidad astronómica (UA). 

3) Mediciones

Se desea construir un puente sobre un río, que mide 10 m de ancho, de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinación de 20E. ¿Cuál debe ser la longitud de la baranda?, ¿a qué distancia del cauce se situará el comienzo de la rampa?

 

 

 

la baranda es de unos 21 m y 70 cm.

La escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce.

4) Cálculo de alturas

Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de elevación desde los puntos A y B. Con los datos de la figura tenemos que:

 

 

 

Si despejamos h en las dos igualdades e igualamos tenemos:

(10+x)·0'839=1'96·x; 8'39+0'839·x=1'96·x; 8'39=1'121·x; x=7'484 m, aproximadamente.

h=7'484·1'96=14'668. La torre mide unos 14 metros y medio de alto.

PROPIEDADES

Consideremos el triángulo rectángulo de la figura:

1) En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que los catetos, si consideramos la definición del seno y el coseno es evidente que:

0  < cos " <1  y 0 < sen " < 1, para cualquier ángulo agudo ".

2)

3) Propiedad fundamental:

Es frecuente en trigonometría que aparezcan los términos (sen ")2 y (cos ")2, para

abreviar su escritura suelen notarse como sen2 " y cos2 "..

De esta manera el teorema fundamental aparece como

4) Demostremos que

:

5) Diremos que " y $ son complementarios si "+$=90E. Esto ocurre con los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

Podemos observar en la figura anterior que el cateto contiguo a " coincide con el opuesto a $ y que la hipotenusa es común a ambos ángulos, por lo tanto cos " = b/c = sen $. De igual manera tenemos que

¿Qué relación existe entre las tangentes de " y $?

Actividad resuelta

De un ángulo agudo " sabemos que su seno vale 0'8. Hallar el coseno y la tangente:. Sustituyendo:

; . Tomando raíces,

Aunque es conveniente que conozcas muy bien el procedimiento anterior, también es posible resolver el problema con la ayuda de la calculadora:

0'8= 53.130120, nos devuelve el valor aproximado del ángulo cuyo seno vale 0'8.

A continuación sólo queda hallar su coseno y su tangente con la propia máquina.

CÁLCULO EXACTO DE LAS RAZONES DE LOS ÁNGULOS DE 45º 30º y 60º

La calculadora aporta un valor aproximado de las razones de un ángulo con un error muy pequeño. No obstante, cuando operamos con valores aproximados, los errores aumentan después de cada operación y conviene por ello conocer su valor exacto.

Cálculo de las razones trigonométricas del ángulo de 45º.-

Como el triángulo es isósceles, los dos catetos son iguales.

Cálculo de las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º.-

Si construimos el triángulo auxiliar señalado en trazo discontinuo, obtenemos un triángulo equilátero de lado c.

 

Por ser 60º complementario de 30º:

Se puede obtener el valor preciso de muchos más ángulos mediante el empleo de fórmulas trigonométricas que no estudiarás este curso.

LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD

Se llama circunferencia unidad (S1) a la que tiene su centro en el origen de coordenadas y cuyo radio es la unidad. 

En la figura observamos que el ángulo " determina un punto P(x,y) sobre la circunferencia.

sen ".= cateto opuesto / hipotenusa = y / 1 = y

cos ".= cateto contiguo / hipotenusa = x / 1 = x

tg ".= cateto opuesto / cateto contiguo = y / x.

Determinación geométrica de la tangente

La tangente coincide con la longitud del segmento t determinado por el ángulo sobre la semirrecta del dibujo. ¿Qué ocurre cuando el ángulo se acerca a 90º? Compruébalo con la calculadora.

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

 

Para los ángulos agudos se verifica que el coseno y el seno se determinan mediante el punto que definen sobre S1, esto nos va a permitir definir sobre un ángulo cualquiera, no necesariamente agudo, el coseno como la primera coordenada (abscisa) del punto asociado y el seno como la segunda coordenada (ordenada) del mismo.

Ejemplo: estimación de las razones trigonométricas del ángulo de 120º.

Su seno está alrededor de 0'87 y su coseno de -0'5.La calculadora confirma el valor del coseno y da un valor del seno igual a 0'86602...

Tg 120º = sen 120º / cos 120º = -1'732...

Signo de las razones en función de los cuadrantes: es el signo de las coordenadas del punto determinado por el ángulo.

dos ángulos cuyo seno sea -0'7.

dos ángulos cuyo coseno sea 0'5.

dos ángulos cuya tangente valga 3.

Comentarios a las propiedades

1) El seno y el coseno de un ángulo cualquiera no pueden ser mayores que 1 ni menores que -1.

2) Si en la propiedad fundamental despejamos el seno, tenemos que

dependiendo el signo del cuadrante al que pertenezca el ángulo. Igual ocurrirá con

.

La misma precaución se tomará cuando trabajemos con la igualdad .

Lo anterior sigue permitiendo calcular las razones trigonométricas de un ángulo, sabida una de ellas y el cuadrante que ocupa.

Reducción al primer cuadrante

Veamos como es suficiente conocer las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante para determinar las del resto de ángulos.

Ángulos del 2º cuadrante

En la figura puedes observar que si al ángulo " le añadimos el $ completamos un sector de 180º:

"+$=180º, o dicho de otra manera, $=180º-". Cuando dos ángulos suman un llano se dirá que son suplementarios.

Del dibujo es posible deducir que se verifican las siguientes relaciones:

 cos " = - cos (180º- ")    sen " = sen (180º- ")

De acuerdo con lo anterior, se deduce que tg " = - tg (180º- ").

Ángulos del tercer cuadrante

Si a un ángulo " del tercer cuadrante le restamos un llano, obtenemos otro ángulo $ del primer cuadrante: $="-180º.

Del dibujo se desprenden las siguientes relaciones:

cos " = - cos ("  - 180º)       sen " = - sen ("  - 180º)

De acuerdo con esto, se tendrá que tg " = - tg (" -180º).

Ángulos positivos y negativos

Hasta ahora sólo hemos considerado ángulos "sin orientar" . Cuando interese reseñar el sentido de un giro se dotará de signo al ángulo correspondiente.

 

Se consideran positivos los ángulos cuyo sentido de giro sea contrario al de las manecillas del reloj.

Trabajando con la calculadora

 

 

 

Si deseamos conocer el valor aproximado del ángulo cuyo seno vale -0'6, procedemos de la forma que ya conoces: -0.6 SIN-1 = -36'8698º : la calculadora responderá que se trata de un ángulo de -37º, aproximadamente.

Para hallar un ángulos positivo con igual seno se resta 37º a 360º y obtenemos el ángulo de 323º. A continuación, sólo hay que determinar el otro ángulo positivo con igual seno que el anterior.

Otras actividades:

sen " = sen 35º      cos " = cos (-115º)

cos " = cos 20º      tg " =tg 36º

sen " = sen 310º    tg " = - tg 25º

cos " = cos 145º.  sen " = sen (-25º)

Medida de un ángulo en radianes

Todo ángulo inscrito en una circunferencia, determina un arco sobre ésta.

Es posible demostrar que se verifica que, es decir, que el cociente entre el arco determinado y el radio de la circunferencia es siempre el mismo. Diremos que este valor es la medida del ángulo en radianes.

En particular, el ángulo que mide 1 radián es aquel que tiene el arco con la misma longitud que el radio. Posteriormente calcularemos su valor en grados.

Un ángulo de 360º determina un arco igual al perímetro de la circunferencia, si sustituimos en la expresión anterior tendremos que su medida es radianes.

Consideremos un ángulo cualquiera que mida g grados:

Lo anterior nos relaciona la medida de un ángulo en radianes (r) y en grados (g).

En particular, si sustituimos r por 1 y despejamos g, veremos que1 radián equivale a 57'3º aproximadamente.

 

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