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Podemos encontrar el número áureo en distintos seres que pueblan
la naturaleza, entre ellos el hombre. Por ejemplo, las caracolas crecen
en función de relaciones áureas lo mismo que las piñas o las hojas que
se distribuyen en el tallo de una planta. Las falanges de nuestra mano
guardan esta relación, lo mismo que la longitud de la cabeza y su
anchura.
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado
AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el
rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado
EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se
puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de
rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una
espiral logarítmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la
atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también
espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva
es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión
geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética).
J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis,
rogando que fuera grabada en su tumba.
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el
crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y
animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se
mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la
concha del nautilus.
Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De
Divina Proportione del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En
dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las
construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre
perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo
sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del
hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número
áureo.
En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la
relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación
entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este
número.
El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o
zángano nos conduce a la sucesión de Fibonacci, y por lo tanto, al número
áureo.
Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de
otro enjambre), aquella se queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose
a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando origen así a
abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso y machos o zánganos en el
segundo. Si observamos el árbol genealógico (figura 1) de un zángano, podemos
ver como el número de abejas en cada generación es uno de los términos de la
sucesión de Fibonacci.
La serie de FIbonacci se puede encontrar también en botánica. Así, por
ejemplo, ciertas flores tienen un número de pétalos que suelen ser términos
de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos
5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien
89.
La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo
de los tallos de las plantas se denomina Filotaxia. En la mayoría de los casos es
tal que permite a las hojas una captación uniforme de la luz y aire, siguiendo,
normalmente, una trayectoria ascendente y en forma de hélice.
Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas consecutivas
(supongamos que son 'n') hasta encontrar otra hoja con la misma orientación,
este número es, por regla general, un término de la sucesión de Fibonacci.
Además, si mientras contamos dichas hojas vamos girando el tallo (en el sentido
contrario a las agujas del reloj, por ejemplo) el numero de vueltas 'm' que
debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma
orientación resulta ser también un término de la sucesión. Pues bien, se llama
"característica" o "divergencia" del tallo a la fracción m/n, y que, como
muestra en la figura 2, en el olmo es 1/2, en el álamo 2/5, en el sauce
llorón 3/8 y en el almendro 8/13. Si representamos por Fn el término
que ocupa el lugar 'n' en la sucesión de Fibonacci (consideremos, por ejemplo:
F1=1, F2=1, F3=2, F4=3,
F5=5, F6=8, F7=13), en la mayoría de los casos
la característica viene dada por una fracción del tipo
Fn/Fn+2. Así, en el caso del sauce llorón sería
F4/F6.
Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una
característica de 5/8 o bien 8/13, presentando propiedades similares las hojas
de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, el ficus,
etc., ejemplos que se pueden comprobar fácilmente.
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