Campo Gravitatorio

Departamento de Física y Química

Física (2º Bach.)

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Cuestiones de Selectividad

1.

Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

  1. Según la ley de la gravitación la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es directamente proporcional a la masa de éste. Sin embargo, dos cuerpos de diferente masa que se sueltan desde la misma altura llegan al suelo simultáneamente.
  2. El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partícula entre dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos.

Respuesta:

Respuesta:

a) Es verdadero, porque si se encuentran a la misma altura, la intensidad del campo (que sólo depende de la masa que crea el campo y de la distancia a ella) en el lugar que ocupan los dos cuerpos será la misma y también su aceleración.

F = m·a (2ª ley de Newton)
F = m·g (según la definición de intensidad de campo)
En consecuencia, se ha de cumplir que: a = g

b) El trabajo de una fuerza conservativa no depende de la trayectoria seguida, sino de su posición inicial y su posición final, por lo tanto es falso

2.

Un satélite describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:

  1. ¿Qué trabajo realiza la fuerza de atracción hacia la Tierra a lo largo de media órbita?
  2. Si la órbita fuera elíptica, ¿cuál sería el trabajo de esa fuerza a lo largo de una órbita completa?

Respuesta:

3.

Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

  1. El peso de un cuerpo en la superficie de un planeta cuya masa fuera la mitad que la de la Tierra sería la mitad de su peso en la superficie de la Tierra.
  2. El estado de "ingravidez" de los astronautas en el interior de las naves espaciales orbitando alrededor de la Tierra se debe a que la fuerza que ejerce la Tierra sobre ellos es nula.

Respuesta:

b) Todos los satelites se están cayendo a la Tierra

4.

  1. Defina la energía potencial. ¿Para qué tipo de fuerzas puede definirse?¿Por qué?
  2. ¿Un satélite de masa m describe una órbita circular de radio r alrededor de un planeta de masa M. Determine la energía mecánica del satélite explicando el razonamiento seguido.

Respuesta:

5.

  1. La energía potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio producido por otro cuerpo de masa m' depende de la distancia entre ambos. ¿Aumenta o disminuye dicha energía potencial al alejar los dos cuerpos? ¿Por qué?
  2. ¿Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo de masa m al desplazarse desde una posición A hasta otra B? Razone la respuesta.

Respuesta:

6.

  1. Al desplazarse un cuerpo desde una posición A hasta otra B, su energía potencial disminuye. ¿Puede asegurarse que su energía cinética en B es mayor que en A? Razone la respuesta.
  2. La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m, situado a una altura h sobre la superficie terrestre, puede expresarse en las dos formas siguientes:
    • E_p = -G\frac{M(Tierra)\cdot m}(R(tierra)+h)
    • Ep=mgh
Explique el significado de cada una de esas expresiones y por qué corresponden a diferentes valores (y signo).

Respuesta:

7.

  1. El origen elegido habitualmente para la energía potencial gravitatoria lleva a que ésta tome valores negativos. ¿Por qué la energía potencial gravitatoria terrestre, en las proximidades de la superficie de la Tierra, toma valores positivos e iguales a mgh?
  2. Discuta la siguiente afirmación: "Puesto que el valor de g disminuye al aumentar la distancia al centro de la Tierra, la energía potencial mgh disminuye con la altura sobre el suelo".

Respuesta:

8.

Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:

  1. Si se redujera el radio de la órbita lunar en torno a la Tierra, ¿aumentaría su velocidad orbital?
  2. ¿Dónde es mayor la velocidad de escape, en la Tierra o en la Luna?

Respuesta:

a)

La fuerza que actúa sobre un satélite para mantenerlo en órbita, la podemos calcular mediante la ley de Gravitación Universal o con la 2º Ley de Newton, considerando que la aceleración es la aceleración centrípeta (v2/r)

F = G \frac{M m}{r^2}\\F = m a_c;\; F = m \frac{v^2}{r}

Igualando y despejando v, nos queda;

G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}; \;G \frac{M}{r^2} = \frac{v^2}{r}; \;G \frac{M}{r} = v^2

v = \sqr{\frac{G M}{r}}

Según esta ecuación, si disminuye r aumentará v

b)

La velocidad de escape es la que necesita cualquier cuerpo, para desligarse de la atracción gravitatoria a la que se encuentre sometido (la de la Tierra, o cualquier otro objet). En la practica esto significaría que ese cuerpo sería capaz de llegar a una hipotética distancia infinita con velocidad cero.

Si solo consideramos la Fuerza de la Gavedad, al ser conservativa, la energía mecánica no cambiará.

En el punto de partida su Em será:

E_m = E_c + E_p= \frac12 m v^2 - G \frac{M m}{r}

Cuando llegue al infinito y su velocidad sea nula, su energía mecánica será 0. Y se cumplirá:

\frac12 m v^2 - G \frac{M m}{r} = 0;\;v^2 = \frac2m G \frac{M m}{r};\;v = \sqr{\frac{2 G M}{r}}

La Luna tiene menor masa y menor radio que la Tierra. Sin más datos no sabenos cómo cambiará el cociente M/r.

9.

  1. Enuncie las leyes de Kepler.
  2. Razone, a partir de la segunda ley de Kepler, cómo cambia la velocidad de un planeta a lo largo de su órbita al variar la distancia al Sol.

Respuesta:

a)

b) Su velocidad irá aumentando cuando dicho cuerpo este cada vez este más proximo al Sol, para que recorra más distancia y se cumpla la igualdad de las áreas.

10.

Si por alguna causa la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa, razone cómo se modificarían:

  1. La intensidad del campo gravitatorio en su superficie.
  2. Su órbita alrededor del Sol.

Respuesta:

a)

g = G \frac{M}{r^2}

Si se reduce el radio a la mitad,

g' = G \frac{M}{({\frac r2})^2} = G \frac{M}{\frac {r^2}4} = 4 G \frac{M}{r^2} = 4 g

la intensidad del campo se hace cuatro veces mayor

b) Al aplicar la ley de Gravitación Universal, consideramos masas puntuales (toda la masa de los cuerpos que interaccionan se encuentra concentrada en un punto), por tanto, el tamaño o la forma de los objetos no afecta a los cálculos. En definitiva, como la masa de la Tierra no se modifica, sólo su radio, su óbita no cambiará.

11.

Dibuje en un esquema las líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masa puntual M. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de fuerza del campo, siendo B el punto más cercano a M.

  1. Si una masa, m, está situada en A y se traslada a B, ¿aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Por qué?
  2. Si una masa, m, está situada en A y se traslada a otro punto C, situado a la misma distancia de M que A, pero en otra línea de fuerza, ¿aumenta o disminuye la energía potencial? Razone su respuesta.

Respuesta:

Campo gravitatorio creado por dos masas

Problemas

1.

Un satélite orbita a 20.000 km de altura sobre la superficie terrestre.

  1. Calcule su velocidad orbital.
  2. Razone cómo se modificarían sus energías cinética y mecánica si su altura se redujera a la mitad.
G = 6,67 · 10-11 N m 2 kg-2; RT = 6370 km ; MT = 6 · 10 24 kg

Respuesta:

Satélites artificiales

a)

La fuerza que actúa sobre un satélite en órbita, la podemos calcular mediante la ley de Gravitación Universal o con la 2º Ley de Newton, considerando que la aceleración es la aceleración centrípeta (v2/r)

F = G \frac{M m}{r^2}\\F = m a_c;\; F = m \frac{v^2}{r}

Igualando y despejando v, nos queda;

G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}; \;G \frac{M}{r^2} = \frac{v^2}{r}; \;G \frac{M}{r} = v^2

v = \sqr{\frac{G M}{r}}; \; v = \sqr{\frac{6,67 \: 10^{-11} \cdot 6 \: 10^{24}}{(6.370 + 20.000)10^{3}}} = 3.895,7 m/s

b)

Al disminuir r (menor altura), según la ecuación anterior, aumentará v y también lo hará la Ec

E_c = \frac12 m v^2 = \frac12 m \frac{G M}{r}

Al disminuir r, disminuirá Ep

E_p = - G\frac{M m}{r}

Al ser la Em = Ec + Ep

E_m = \frac12 m \frac{G M}{r}- G\frac{M m}{r} = - \frac12 G\frac{M m}{r}

De esta ecuación se deduce que si disminuye r,disminuirá la Em

2.

  1. La Luna se encuentra a una distancia media de 384.000 km de la Tierra y su periodo de traslación alrededor de nuestro planeta es de 27 días y 6 horas. Determine razonadamente la masa de la Tierra.
  2. Si el radio orbital de la Luna fuera 200.000 km, ¿cuál sería su período orbital?
G = 6,67 · 10-11 N m 2 kg-2

Respuesta:

a) La fuerza que actúa sobre un satélite en órbita alrededor de un planeta, la podemos calcular mediante la ley de Gravitación Universal

F=G\frac{Mm}{r^{2}}

o con la 2º Ley de Newton, considerando la aceleración centrípeta (v2/r}

F=ma_{c};\; F=m\frac{v^{2}}{r}

Igualando y despejando M, nos queda;

G\frac{Mm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r};\; G\frac{M}{r^{2}}=\frac{v^{2}}{r};\; G\frac{M}{r}=v^{2}

M=\frac{v^{2}r}{G}

Para poder emplear esta ecuación necesitamos conocer la rapidez con que la Luna gira alrededor de la Tierra:

v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2 \pi 384.000.000}{(27 \cdot 24+6) \cdot 60 \cdot 60}=1024\, m \cdot s^{-1}

La masa de la Luna es:

M=\frac{{1024}^{2}384.000.000}{6,67\cdot10^{-11}}=6,04\cdot10^{24}\, kg

b) La rapidez con que la Luna giraría alrededor de la Tierra sería:

v=\sqrt{\frac{G\, M}{r}}=\sqrt{\frac{6,67\cdot10^{-11}6,04\cdot10^{24}}{200.000.000}}=1419,3\, m\cdot s^{-1}

Y el período de rotación:

T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi200.000.000}{1419,3}=885.392\, s

8.

La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra, su diámetro 10 veces mayor que el terrestre y su distancia media al Sol 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol.

  1. Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg.
  2. Calcule el tiempo que Júpiter tarda en dar una vuelta completa alrededor del Sol, expresado en años terrestres.

g = 10 m s-2 ; radio orbital terrestre = 1,5 · 1011 m.

Respuesta:

a)

g_T= G \frac{M_T}{R_T^2} = 10 N/kg

g_J= G \frac{M_J}{R_J^2} = G \frac{300 M_T}{(10 R_T)^2} = \frac{300}{10^2} \;G\frac{M_T}{{R_T}^2} = 3 g_T = 30 N/kg

El peso en Júpiter será:

F = m g_J= 75 \cdot 30 = 2.250 N

b) El tiempo que Júpiter tarda en dar una vuelta completa alrededor del Sol es su periodo orbital que se calcularía:

T_T = \frac{2\pi r_T}{v} = \frac{2\pi r_T}{\sqr{\frac{G M_S}{r_T}}}

Para Júpiter:

T_J = \frac{2\pi r_J}{\sqr{\frac{G M_S}{r_J}}} = \frac{2\pi 5 r_T}{\sqr{\frac{G M_S}{5 r_T}}} = \frac{5}{\sqr{\frac{1}{5}}}\; \frac{2\pi r_T}{\sqr{\frac{G M_S}{r_T}}} = \frac{5}{\sqr{\frac{1}{5}}}\; T_T

T_J = \frac{5}{\sqr{\frac{1}{5}}} \cdot 1\;a\overline{n}os = 11,18\; a\overline{n}os

9.

La misión Cassini a Saturno-Titán comenzó en 1997 con el lanzamiento de la nave desde Cabo Cañaveral y culminó el pasado 14 de enero de 2005, al posarse con éxito la cápsula Huygens sobre la superficie de Titán, el mayor satélite de Saturno, más grande que nuestra Luna e incluso más que el planeta Mercurio.

  1. Admitiendo que Titán se mueve alrededor de Saturno describiendo una órbita circular de 1,2·10$^{9}$ m de radio, calcule su velocidad y periodo orbital.
  2. ¿Cuál es la relación entre el peso de un objeto en la superficie de Titán y en la superficie de la Tierra?
G = 6,67 · 10$-11 N m2 kg-2 ; M (Saturno) = 5,7 1026; M(Titán) = 1,3·1023kg ; RTitan= 2600 km ; g = 10 m s-2

a) La fuerza que actúa sobre un satélite en órbita, la podemos calcular mediante la ley de Gravitación Universal

F=G\frac{Mm}{r^{2}}

o con la 2º Ley de Newton, considerando que la aceleración es la aceleración centrípeta (\emph{v$^{2}$/r})

F=ma_{c};\; F=m\frac{v^{2}}{r}

Igualando y despejando \emph{v}, nos queda;

G\frac{Mm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r};\; G\frac{M}{r^{2}}=\frac{v^{2}}{r};\; G\frac{M}{r}=v^{2}

v=\sqrt{\frac{GM}{r}}

Sustituyendo los valores obtenemos:

v=\sqrt{\frac{G\, M}{r}}=\sqrt{\frac{6,67\cdot10^{-11}5,7\cdot10^{26}}{1,2\cdot10^{9}}}=5628,7\,\, m\cdot s^{-1}

Y el período de rotación:

T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi1,2\cdot10^{9}}{5628,7}=1,34\cdot10^{6}\, s

b) La relación entre el peso de un objeto en la superficie de Titán y en la superficie de la Tierra será:

\frac{F_{peso\, Titan}}{F_{peso\, Tierra}}=\frac{G\frac{Mm}{r^{2}}}{mg}=\frac{G\frac{M}{r^{2}}}{g}=\frac{6,67\cdot10^{-11}\frac{1,3·10^{23}}{2.600.000^{2}}}{10}=0,128

9.

Dos masas, de 5 y 10 kg, están situadas en los puntos (0, 3) y (4, 0) m, respectivamente.

  1. Calcule el campo gravitatorio en el punto (4, 3) m y represéntelo gráficamente
  2. Determine el trabajo necesario para trasladar una masa de 2 kg desde el punto (4, 3) hasta el punto (0, 0) m. Explique si el valor del trabajo obtenido depende del camino seguido.
G = 6,67 · 10-11 N m 2 kg-2

Respuesta:

Campo gravitatorio creado por dos masas

Campo gravitatorio. Líneas de fuerza, intensidad y potencial

10.

Explicando las leyes físicas que utiliza, calcule:

  1. A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio terrestre es de 2 m s-2.
  2. Con qué velocidad debe lanzarse verticalmente un cuerpo para que se eleve hasta una altura de 500 km sobre la superficie de la Tierra.
G = 6,67·10-11 N m2kg-2; RT= 6370 km; g = 10 m s-2

Respuesta:

Energía potencial gravitatoria

11.

  1. Razone cuáles son la masa y el peso en la Luna de una persona de 70 kg.
  2. Calcule la altura que recorre en 3 s una partícula que se abandona, sin velocidad inicial, en un punto próximo a la superficie de la Luna y explique las variaciones de energía cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento.
G = 6,67·10-11 N m2kg-2; ML= 7,35·1022kg; RL = 1,7·106m

Respuesta:

12.

  1. Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 1000 kg, situado en el punto medio entre la Tierra y la Luna y calcule el valor de la fuerza resultante. La distancia desde el centro de la Tierra hasta el de la Luna es 3,84·108m.
  2. ¿A qué distancia del centro de la Tierra se encuentra el punto, entre la Tierra y la Luna, en el que el campo gravitatorio es nulo?
G = 6,67·10-11 N m2kg-2; MT= 5,98·1024kg ; ML= 7,35·1022kg

Respuesta:

Más problemas

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