Movimiento Armónico Simple

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Cuestiones

1.-

Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario.
Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje OX y en el instante inicial pasa por la posición de equilibrio. Escriba la ecuación del movimiento y razone cuándo es máxima la aceleración.

Respuesta

El efecto que produce la fuerza gravitatoria sobre un muelle vertical es desplazar la posición de equilibrio hacia abajo desde la posición sin deformar del muelle. Pero el objeto oscila alrededor de esa posición de equilibrio igual que en el caso de un muelle horizontal y podemos olvidarnos de la influencia de la gravedad.

La ecuaciones de un M.A.S. es: $x=A\;sen\;(\omega t+\theta_{0})$

La primera derivada respecto a al tiempo nos da la velocidad: $v=A\omega\;cos\;(\omega t+ \theta_{0})$

Y la segunda derivada la aceleración: $a= - A\omega^2\;sen\;(\omega t+\theta_{0})$

Si nos fijamos en las ecuaciones de a y x, podemos ver que el valor de x está incluido en a. Y nos queda:

$a = -\omega^2 x$

Esta ecuación nos explica que la aceleración es propord¡cional a x y de sentido contrario (el signo negativo)

La ecuacione de un M.A.S. es: $x=A\;sen\;(\omega t+\theta_{0})$

Si para t = 0; x = 0, en la ecuación del movimiento $sen\;(\omega \, 0 + \theta_{0}) = 0$ . Con lo que $\theta_{0} = 0$ , y la ecuación quedaría:

$x=A\;sen\;(\omega t)$

Segun la ecuación $a = -\omega^2 x$ . El módulo de la aceleración será máximo cuando x = -A ó x = A.

Problemas

2.-
Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de un resorte de constante elástica k = 72 N m^-1. Al desplazar el bloque verticalmente hacia abajo de su posición de equilibrio comienza a oscilar, pasando por el punto de equilibrio con una velocidad de 6 m s^-1.

Razone los cambios energéticos que se producen en el proceso.
Determine la amplitud y la frecuencia de oscilación.

Respuesta

Si suponemos que no actúan fuerzas disipativas, la energía mecánica va a permanecer constante. Al desplazar hacia abajo el bloque realizaremos un trabajo que se invertirá en aumentar la energía potencial elástica del conjunto bloque-muelle. Al soltarlo comenzará a ascender y esa energía potencial elástica se transformará en cinética, cuando alcance el punto de equilibrio (y=0) toda la energía potencial se habrá transformado en cinética (la velocidad toma su valor máximo). El bloque continuará ascendiendo y comprimiendo el resorte, la energía cinética se tranformará en potencia elástica hasta que se detenga en el punto de máxima elongación, y toda la energía cinética se habrá transformado en potencial.

Animación que muestra cómo varían la elongación, velocidad, aceleración, fuerza y energía durante la oscilación de un muelle (se supone ausencia de rozamiento).

Según la ley de Hooke el módulo de la fuerza que ejerce un muelle es $F = kx$ .

Sabemos que el módulo de la aceleración de un MAS $a = \omega^2 x$ y con la segunda ley de Newton nos quedaría $F = m a$ ; $F = m w^2 x$ .

Las dos fórmulas determian el módilo de la fuerza elástica y sus valorese serán iguales $m \omega^2 x = kx$ . Igualando y despejando llegamos a la expresión que nos va a permitir determinar la frecuencia angular:

$\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{72/0,5} = 12 rad \; s^{-1}$

Y la frecuencia será:

$f= \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{ 12 }= \frac{1}{6}\pi \; s^{-1}$

La ecuación correspondiente la velocidad de un MAS es: $v=A\omega\;cos\;(\omega t+\theta_{0})$

Cuando el bloque pasa por el punto de equilibrio la velocidad es máxima y para ello; $cos\;(\omega t+\theta_{0}) = 1$ y en consecuencia:

$v_{max} = A\omega\; ; \; A = v_{max}/\omega = 6 / 12 = 0,5 m$

Más problemas

Sobre una superfície horizontal se dispone un cuerpo de 0,5 kg, unido a uno de los extremos de un muelle que está fijo por el otro. Cuando se tira del cuerpo hasta alargar el muelle 10 cm y se suelta, comienza a oscilar conun período de 2 s.

Hacer un análisis energético del problema y calcular los valores de las energías cinética y potencial en los puntos extremos de la oscilación y en el punto de equilibrio.
Representar la posición del cuerpo en función del tiempo. ¿Cómo cambiaría dicha representación si la masa del cuerpo fuera de 2 kg?

Si suponemos que no actúan fuerzas disipativas, la energía mecánica va a permanecer constante. Al tirar del cuerpo realizaremos un trabajo que se invertirá en aumentar la energía potencial elástica del conjunto cuerpo-muelle. Al soltarlo comenzará a desplazarse y esa energía potencial elástica se transformará en cinética, cuando alcance el punto de equilibrio (x=0) toda la energía potencial se habrá transformado en cinética (la velocidad toma su valor máximo). El bloque continuará en movimiento y comprimirá el resorte, la energía cinética se tranformará en potencia elástica hasta que se detenga en el punto de máxima elongación, y toda la energía cinética se habrá transformado en potencial. Desde ahí volverá a la situacón inicial, transformandose de nuevo la energía potencial en cinética y esta, tras pasar por el punto de equilibrio, en potencial.

El valor de la energía cinética máxima lo calcularemos con el máximo valor que alcanza la velocidad y eso ocurre en el punto central donde la energía potencial será nula:

Ec_max = 1/2 m v²= 1/2 m (A $\omega$ )² = 1/2 m (A $2 \pi$ / T)² = 2 m (A $\pi$ /T)²

Ec_max = 2 · 0,5 ( 0,1 · $\pi$ /2)² = 0,025 J

En los extremos la energía cinética será nula y la potencial tomará el máximo valor, que coincide con el de la energía cinética en el punto central:

Ep_max = 0,025 J

Gráfico interactivo de los cambios de energía en un MAS

Representación gráfica de la elongación frente al tiempo

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