ALGO DE MATEMÁTICAS

Portada del sitio > MATEMÁTICAS > HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS > HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS

HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS

Martes 26 de febrero de 2008, por Manolo C. Izurdiaga    Enregistrer au format PDF

Todos hemos resuelto alguna vez una ecuación de segundo grado con la conocida fórmula. Pero casi nunca hemos utilizado una fórmula para las ecuaciones de tercer grado, de cuarto, o de grado superior. En este artículo os cuento por qué.

En los primeros cursos de secundaria, los temas de ecuaciones casi siempre tienen los mismos contenidos: ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado y, como mucho, alguna ecuación de grado superior que se resuelve usando la regla de Ruffini. ¿Quién no ha utilizado la conocida fórmula

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},

para resolver la ecuación de segundo grado

ax^2+bx+c=0?

Pero, ¿por qué no utilizamos una fórmula similar para resolver las ecuaciones de tercer grado? ¿Y las de cuarto? ¿O es que no existen tales fórmulas? Veamos como se han abordado estas preguntas a lo largo de la historia.

ALGO DE HISTORIA DE LAS ECUACIONES

Actualmente hay evidencias que los babilonios alrededor del año 1600 a.C. ya conocían un método para resolver ecuaciones de segundo

GIF - 32.3 KB
Tartaglia

grado, aunque no tenían una notación algebraica para expresar la solución. Los griegos, al menos a partir del año 100 a.C., resolvía las ecuaciones de segundo grado con métodos geométricos, métodos que también utilizaban para resolver algunas ecuaciones de tercer grado.

Parece ser que en el Renacimiento, los matemáticos de Bolonia resolvieron por métodos algebraicos la ecuación de tercer grado (se cree que Scipio del Ferro fue el primero en resolverla), pero la solución permaneció en secreto. En 1535, Niccolo Fontana (más conocido como Tartaglia) demostró que era capaz de resolver la ecuación de tercer grado, pero no explicó como. Sólo se dedico a ganar un concurso público con su método sin desvelar los detalles.

La fórmula descubierta por Tartaglia fue publicada por el físico Girolamo Cardano en su famosa obra Ars Magna en 1545. Tartaglia reducía todas las ecuaciones de grado tres a una de la forma

x^3+px=q

y la fórmula que dio para resolverlas era:

x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}

En el Ars Magna también aparecía un método, descubierto por Ludovico, que permitía reducir la resolución de una ecuación de cuarto grado a una de tercer grado, con lo que la fórmula de Tartaglia permite también resolver las ecuaciones de cuarto grado.

¿CUÁNDO EXISTE UNA FÓRMULA PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN POLINÓMICA?

JPG - 14.9 KB
Galois

Como se puede observar, la fórmula de Tartaglia da la solución de la ecuación de tercer grado a partir de los coeficientes y utilizando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces. Este tipo de expresiones se denominan radicales. Desde la aparición de la fórmula los matemáticos intentaron buscar qué ecuaciones podían resolverse por radicales. Muchos grandes matemáticos atacaron el problema, pero fallaron en resolverlo: Euler, Lagrange (alrededor de 1770), Leibiniz, etc.

En 1813, Ruffini intentó demostrar que las ecuaciones de quinto grado no se pueden resolver por radicales, pero tampoco lo consiguió. Finalmente, Abel demostró en 1824 que, efectivamente, no existe una fórmula que permita resolver las ecuaciones de quinto grado.

El problema más general fue resuelto por Évariste Galois en 1832 que aporto un método, conocido como la Teoría de Galois, que permite decidir cuándo una determinada ecuación se puede resolver por radicales.

CONCLUSIÓN

Existen fórmulas que permiten resolver las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no existe una fórmula que permita resolver todas las ecuaciones de quinto grado.

P.-S.


- Información extraída del libro Galois Theory de Ian Stewart.
- En los comentarios tenéis un breve resumen de la vida y obra de los matemáticos que aparecen en este artículo confeccionado por algunos alumnos del IES Carmen de Burgos de Cuarto de ESO.

Documentos adjuntos

Comentar este artículo

16 Mensajes del foro

  • HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS

    27 de febrero de 2008 16:36, por sergio y dani
    Tuvo un papel importante en la politica y diplomacia europea. Gran filosofo y matematico. Descubrio el calculo infinitesimal e invento el sistema binario. Se anticipo a nociones que aparecen mas tarde en biologia,medicina,geologia,teoria de la probabilidad, psicologia, ingenieria y ciencias de la informacion. Escribio sobre politica,leyes, etica, teologia, historia y filologia. Hizo una formula igual a Pi,la ley de la igualdad matematica y la regla del producto para la derivacion de un producto

    Responder este mensaje

    • HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS 29 de febrero de 2008 19:37, por Manolo

      Esta bien. Lo único que las tildes también existen.

      De todo lo que decís, lo más importante es la creación del Cálculo Infinitesimal. Ya tendréis oportunidad de conocerlo, y de hartaros de el, en Bachillerato si tenéis algunas Matemáticas. Al final del curso nosotros veremos algo sobre él.

      Responder este mensaje

  • HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS

    3 de marzo de 2008 19:15

    Évariste Galois

    Évariste Galois (25 de octubre de 1811 - 31 de mayo de 1832) fue un matemático francés nacido en Bourg-la-Reine. Mientras aún era un adolescente, fue capaz de determinar la condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea resuelto por radicales, dando una solución a un problema que había permanecido insoluble durante muchos años. Su trabajo ofreció las bases fundamentales para la teoría que lleva su nombre, una rama principal del álgebra abstracta. Fue el primero en utilizar el término "grupo" en un contexto matemático.

    Francisco Javier Garcia Peña

    Responder este mensaje

    • HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS 3 de marzo de 2008 19:37, por Manolo

      Esta muy bien el resumen. Además has puesto los tres elementos matemáticos más importantes:

      - Caracterizar las ecuaciones que se pueden resolver con una fórmula, como ocurre con las de segundo grado.
      - Esto primero es un caso particular de la conocida Teoría de Galois.
      - Introdujo la definición abstracta de grupo. Un grupo es un conjunto numérico con una operación (por ejemplo, la multiplicación) que cumple la propiedad asociativa, el elemento neutro y el elemento inverso.

      Responder este mensaje

  • Biografía de Ruffini.

    4 de marzo de 2008 13:55, por Pablo y Gema
    Paolo Ruffini (Valentano, 22 de septiembre de 1765- Módena,9 de mayo de 1822) fue un matemático italiano. Estudió Matemáticas, Literatura, Filosofía, Medicina y Biología en la universidad de Módena. Durante 1817-1818 estudió la enfermedad del tifus al declararse una epidemia. Su principal aporte a las matemáticas fue la regla de Ruffini que permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el monomio (x - r).

    Responder este mensaje

  • NICCOLO FONTANA TARTAGLIA (1500-1557)

    4 de marzo de 2008 13:59, por D. Rafa y D. Alberto

    Matemático italiano que llegó a ser uno de los principales del siglo XVI.Explicó esta ciencia sucesivamente en Verona, Vicenza,Brescia y finalmente Venecia. Descubrió el método de resolución de las ecuaciones de 3º grado.

    Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los primeros estudios de aplicación de las matemáticas a la artillería en el cálculo de la trayectorias de los proyectiles.

    Responder este mensaje

  • HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS

    4 de marzo de 2008 13:59, por Laura López Romero
    Niels Henrik Abel fue un matemático noruego.Probó que hoy no hay ninguna fórmula para hallar los ceros de todos los polinomios generales de grados mayores que 5,en términos de sus coeficientes y en el de las funciones elípticas. En 1815 ingresó en la escuela de la catedral de Cristianía,en donde tres años después probaría sus aptitudes para las matématicas con sus brillantes soluciones.

    Responder este mensaje

  • HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS

    4 de marzo de 2008 14:01, por cristina gil

    Paolo Ruffini (Valentano, 22 de septiembre de 1765 – Módena, 9 de mayo de 1822) fue un matemático italiano.

    Estudió Matemáticas, Literatura, Filosofía, Medicina y Biología en la Universidad de Módena. Se graduó en 1788, y fue nombrado rector de la misma universidad en 1814. En 1796, se le nombró representante del Departamento de Páramo en el Congreso de la República Cisalpina.

    Dos años después reanudó sus actividades científicas y al negarse a pronunciar el juramento de fidelidad a la República Cisalpina fue apartado de sus actividades docentes y cargos públicos. Durante 1817 – 1818 estudió la enfermedad del tifus al declararse una epidemia.

    Principales aportes a las matemáticas

    * Estableció las bases de la teoría de las transformaciones de ecuaciones. * Descubrió y formuló la regla del calculo aproximado de las raíces de las ecuaciones. (1814) * Regla de Ruffini que permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el monomio (x - r).

    Responder este mensaje

  • HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS

    4 de marzo de 2008 14:02, por Patricia María González Mayo

    EULER

    Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre en San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente fue uno de los más grandes matemáticos, comparable a Newton o Arquímedes.

    Fue el primero en utilizar la notación f(x). También introdujo el símbolo del sumatorio y definió la función exponencial para números complejos.

    Responder este mensaje

  • HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS

    4 de marzo de 2008 14:02, por juani barranco
    Joseph Louis de Lagrange nació el 25 de enero de 1736 en Turín. Fue un matemático,físico y astrónomo italiano que despues vivió en Prusia y Francia. Lagrange trabajó para Federico || de Prusia ,en Berlin durante veinte años. Demostró el teorema del valor medio ,desarrollo la mecanica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía. Murió el 10 de abril de 1813.

    Responder este mensaje

  • Leonhard Euler nació el 15 de Abril de 1707 en Suiza.

    Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Fué uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes. Su carrera profesional se circunscribió a la Academia de CIencias de Berlín y San Petersburgo.

    Pasó sus últimos años ciego, pero siguió trabajando. Posiblemente es el matemático más prolífico de la historia. Murió el 18 de Septiembre de 1783 en San Petersburgo.

    Responder este mensaje

  • HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS

    4 de marzo de 2008 14:23, por Fabiola López Castelo

    Girolamo Cardano

    Fue un célebre matemático italiano,médico, astrólogo y jugador de juegos de azar. Nació en Pavía, hijo ilegítimo de un abogado con talento para las matemáticas amigo de Leonardo Da Vinci. Estudió medicina y llego ala cúspide de su profesión por ser el primero en descubrir la fiebre Tifoidea,pero es más conocido por sus trabajos de álgebra(la publicación de las soluciones de las ecuaciones de 3º y4º grado),también fue quien constituyo el primer tratado en serio de la probabilidad.

    Responder este mensaje

  • Lagrange.

    10 de marzo de 2008 13:38, por Ester e Isa
    Joseph-Luis de Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813) fue un matemático, físico y astrónomo italiano. Su principal aportación a las matemáticas fue el teorema del valor intermedio, algunos matemáticos lo consideran el teorema más importante de calculo. El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos, mas bien, se usa normalmente para probar otros teoremas.

    Responder este mensaje

  • HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS

    25 de noviembre de 2008 19:21, por Carmen Castaño Ruiz
    Niccolò Fontana (1500 - 13 de diciembre 1557), matemático italiano apodado Tartaglia (el tartamudo) desde que de niño recibió una herida en la toma de su ciudad natal, Brescia, por Gastón de Foix. Huérfano y sin medios materiales para proveerse una instrucción, llegó a ser uno de los principales matemáticos del siglo XVI. Descubridor de un método para resolver ecuaciones de tercer grado. Tartaglia desarrolla la fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado. Por lo que, consigue resolver todas las cuestiones que le plantea su contrincante, sin que éste logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia.

    Responder este mensaje

  • HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS

    1ro de diciembre de 2008 17:45, por Laura Medina Milán
    Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista y político alemán, de origen sorbio,reconocido como el ’’último genio universal’’.Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de matemáticas.Ocupa un lugar importante en la histora de las matemáticas.Descubrió el cálculo infinitesimal,independientemente de Newton.

    Ver en línea : Wikipedia

    Responder este mensaje

  • HISTORIA DE LAS ECUACIONES POLINÓMICAS

    5 de mayo de 2012 11:59, por PlanetaPi
    La verdad está muy bien. En cualquier caso lo veo un poco dificil de aplicar a secundaria, … mis alumnos apenas se saben la fórmula de resolución de ecuaciones de 2º grado, … mucho menos para ecuaciones incompletas … Pobre Galois, que hubiese ocurrido si no le hubiesen dado matarile! Permitirme publicar esta joya en mi blog. Un saludo.

    Ver en línea : PlanetaPi

    Responder este mensaje


Creative Commons License | Seguir la vida del sitio RSS 2.0 | Mapa del sitio | Espacio privado | SPIP | esqueleto | Habillage : Rouge sang