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Demostración de Euclides del Teorema de Pitágoras

Lunes 4 de junio de 2007, por Rafael (actualizado el 25 de febrero de 2009)   


DEMOSTRACIÓN DE EUCLIDES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

El texto de matemáticas de mayor éxito que se haya escrito nunca es sin duda los Elementos de Euclides. Se trataba de un libro de texto que no era, como se piensa a veces, un compendio de todos los conocimientos geométricos, sino más bien un texto introductorio que cubría toda la matemática elemental.

Los Elementos están divididos en trece libros o capítulos, de los cuales la primera media docena son de geometría plana elemental, los tres siguientes de teoría de números, el libro X de los inconmensurables y los tres últimos, principalmente, de geometría de sólidos. Los Elementos de Euclides no solamente fueron la primera obra matemática griega de importancia que ha llegado hasta nosotros, sino también el libro de texto que ha ejercido una mayor influencia en todos los tiempos.

Fue escrito hacia el 300 a.C., y desde entonces fue copiado y recopiado sin cesar, con la consecuencia de que se deslizaron en él errores y variaciones de una manera inevitable. Sin embargo, ha sido posible obtener una impresión bastante buena del contenido de la versión euclídea por comparación entre más de media docena de copias griegas manuscritas que datan en su mayoría de entre los siglos X y XII. La primera versión impresa de los Elementos apareció en Venecia en 1.482, y fue uno de los primerísimos libros matemáticos que se imprimió; se estima que desde entonces se han publicado más de un millar de ediciones. Probablemente ningún otro libro salvo la Biblia puede jactarse de haber tenido tantas ediciones, y desde luego ninguna otra obra matemática ha tenido una influencia comparable con la de los Elementos de Euclides.

La mayor parte de las proposiciones del Libro I de los Elementos de Euclides son bien conocidas. Entre ellas están los conocidos teoremas sobre las construcciones elementales con regla y compás, sobre las desigualdades relativas a ángulos y lados de un triángulo, sobre las propiedades de las rectas paralelas (con la consecuencia principal de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos) y de los paralelogramos.

El libro concluye en las proposiciones 47 y 48 con las demostraciones del teorema de Pitágoras y su recíproco. La demostración que da Euclides no es la que se da normalmente en los libros de texto actuales, en los cuales se aplican proporciones simples entre los lados de los triángulos semejantes que se forman al trazar la altura correspondiente a la hipotenusa. Se supone que Euclides evitó esta demostración debido a las dificultades que trae consigo en el caso de inconmensurabilidad [1].

Para demostrar el teorema de Pitágoras, Euclides utilizó en cambio una bella demostración en la que se usa una figura que se ha descrito a veces como un molino de viento o como una cola de pavo real o bien como la silla de la novia [2].

La demostración viene a ser la siguiente [3]:

  • El área del triángulo AFB es \frac{\overline{AF} \cdot \overline{A^{'}B}}{2}, y como \overline{A^{'}B}=\overline{FG} resulta que Área_{ AFB}=\frac{\overline{AF} \cdot \overline{FG}}{2}=\frac{Área\hspace{4mm} del\hspace{4mm}cuadrado\hspace{4mm}de\hspace{4mm}lado\hspace{4mm}\overline{AC}}{2}.
  • El área del triángulo ACD es \frac{\overline{AD} \cdot \overline{C^{'}C}}{2}, y como \overline{C^{'}C}=\overline{AL} resulta que Área_{ACD}=\frac{\overline{AD} \cdot \overline{AL}}{2}=\frac{Área\hspace{4mm}del\hspace{4mm}rectangulo \hspace{4mm}de\hspace{4mm}lados\hspace{4mm} \overline{AL}\hspace{4mm}y\hspace{4mm}\overline{AD}}{2}.
  • Y como fácilmente se ve que los triángulos AFB y ACD son iguales

(\overline{AC}=\overline{AF}, \overline{AD}=\overline{AB} y el ángulo determinado por estos lados es el mismo), obtenemos que el área del cuadrado de lado \overline{AC} es igual al área del rectángulo de lados \overline{AL} y \overline{AD}.

  • El área del triángulo ABK es \frac{\overline{BK} \cdot \overline{H^{'}A}}{2}, y como \overline{H^{'}A}=\overline{KH} resulta que Área_{ABK}=\frac{\overline{BK} \cdot \overline{KH}}{2}=\frac{Área\hspace{4mm}del\hspace{4mm}cuadrado \hspace{4mm}de\hspace{4mm}lado\hspace{4mm}\overline{BC}}{2}.
  • El área del triángulo BCE es \frac{\overline{BE} \cdot \overline{B^{'}C}}{2}, y como \overline{B^{'}C}=\overline{BL} resulta que Área_{BCE}=\frac{\overline{BE} \cdot \overline{BL}}{2}=\frac{Área\hspace{4mm}del\hspace{4mm}rectangulo \hspace{4mm}de\hspace{4mm}lados\hspace{4mm}\overline{BL}\hspace{4mm}y\hspace{4mm} \overline{BE}}{2}.
  • Y como fácilmente se ve que los triángulos ABK y BCE son iguales

(\overline{BC}=\overline{BK}, \overline{BE}=\overline{BA} y el ángulo determinado por estos lados es el mismo), obtenemos que el área del cuadrado de lado \overline{BC} es igual al área del rectángulo de lados \overline{BL} y \overline{BE}.

En definitiva, hemos demostrado que la suma de las áreas de los cuadrados de lados los catetos del triángulo rectángulo ABC, es igual al área del cuadrado de lado la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo. O sea, que la suma de los cuadrados de los catetos del triángulo rectángulo ABC es igual al cuadrado de la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo: \overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{CB}^2.

Se supone que esta demostración es original de Euclides y se han hecho muchas conjeturas acerca de la forma que ofrecerían las demostraciones anteriores [4].

A partir de la época de Euclides se han propuesto una infinidad de demostraciones alternativas.

Es de notar, a cuenta de los méritos de Euclides, el que el teorema de Pitágoras vaya seguido inmediatamente por una demostración del recíproco: si en un triángulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados sobre los otros dos lados, entonces el ángulo que forman estos otros dos lados es un ángulo recto. Es frecuente en algunos libros de texto modernos que los ejercicios que siguen al teorema de Pitágoras requieran no el teorema propiamente dicho, sino el recíproco no demostrado aún. Puede haber muchos defectos menores en los Elementos, pero el libro tiene todas las virtudes lógicas mayores.

  • Demostración del Teorema de Pitágoras utilizando la proporcionalidad entre los lados de los triángulos semejantes que se forman al trazar la altura correspondiente a la hipotenusa:

Los triángulos BAC y BHA son semejantes pues tienen un ángulo agudo igual, B. Entonces sus lados homólogos son proporcionales y se cumple que \frac{\overline{BA}}{\overline{BH}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}} \Rightarrow \overline{BA}^2=\overline{BC} \cdot \overline{BH} (es el Teorema del Cateto).

Los triángulos BAC y AHC son semejantes pues tienen un ángulo agudo igual, C. Entonces sus lados homólogos son proporcionales y se cumple que \frac{\overline{AC}}{\overline{HC}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}} \Rightarrow \overline{AC}^2=\overline{BC} \cdot \overline{HC} (es el Teorema del Cateto referido al otro cateto).

Sumando las dos igualdades anteriores y operando tenemos el Teorema de Pitágoras: \overline{BA}^2+\overline{AC}^2=\overline{BC} \cdot \overline{BH}+ \overline{HC} \cdot \overline{BC}=\overline{BC} \cdot (\overline{BH}+\overline{HC})=\overline{BC} \cdot \overline{BC}=\overline{BC}^2.

  • Veamos ahora una demostración gráfica del Teorema de Pitágoras:

Los dos cuadrados grandes son iguales ya que tienen el mismo lado b + c, y cada uno tiene en su interior cuatro triángulos rectángulos iguales, de lados a (hipotenusa), b y c. Los dos cuadrados sombreados que aparecen en la figura de la izquierda tienen una superficie de b² y c², respectivamente. El cuadrado sombreado que se representa en la figura de la derecha tiene por área a². Las áreas sombreadas que aparecen en las figuras 1 y 2 son iguales, ya que corresponden al área del cuadrado grande menos el área de los cuatro triángulos. Por tanto, tenemos el teorema de Pitágoras: a^2=b^2+c^2.

  • Visión intuitiva, según Schopenhauer, del Teorema de Pitágoras:

Notas

[1] Esta demostración del Teorema de Pitágoras que expone Euclides no goza de popularidad, los libros de historia general de la matemática se refieren a ella, por lo general, como tan solo un anticipo a propuestas más generales de la geometría euclidiana, y como algo de belleza y genialidad. En esta tradición, que viene desde los comentarios de Proclo, la demostración es un intento genial de Euclides por evitar el uso de la teoría de proporciones, lo que lleva a interpretarla como una antesala a la proposición más general del Teorema y que será presentada en el Libro VI Proposición 31. Se refiere Proclo a que Euclides, y su manera de probar el problema, “…se hará evidente allá en el sexto libro”. Esta posición, no permite disfrutar en plenitud la inteligencia de esta específica demostración euclidiana puesto que, según Proclo y la línea interpretativa que se sugiere, aquella queda relegada a una suerte de prueba “particular” y “parcial” que se ve minimizada ante la soberbia “universalidad” que hará más adelante. Según esta tradición Euclides esquiva la similitud de figuras rectilíneas, la teoría de proporciones y, entre otras cosas, la inconmesurabilidad. Si bien el mismo Proclo, nos comenta que dicha demostración es genuina de Euclides y que su alegría fue tal que lo llevó a sacrificar un buey, en su comentario procede a discurrir sobre los tripletes pitagóricos dejando en mera admiración la propuesta de Euclides.

[2] [ La Silla de la Novia

[3] Esta interpretación de la demostración euclidiana está asociada con una "solución por áreas", como sugiere Morris Kline en “El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días” (Alianza Editorial. 1992. P 96) Otros autores asocian la demostración euclidiana con una equivalencia de triángulos según lo expuesto en la Proposición 37 del Libro I. Así este diagrama animado muestra la demostración de Euclides como una dinámica de modificaciones sucesivas de triángulos equivalentes: Demostración de Euclides

[4] El teorema de Pitágoras era conocido por las primeras civilizaciones de la humanidad (Mesopotamia, Egipto, India, China,…), al menos desde un punto de vista práctico. Algunos se inclinan por atribuir el descubrimiento de este teorema a los egipcios; otros, sostienen que un diagrama en la Aritmética Clásica china representa la más antigua demostración conocida del teorema de Pitágoras… admirada por su elegancia, y más tarde expuesta en el Vijaganita (Cálculo de Raíces) del matemático hindú Bhaskara.

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