ÁREAS Y VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
Geometría: 2º de ESO
 
1. INTRODUCCIÓN.

    Para completar esta unidad se van a estudiar las áreas laterales y totales de los troncos de pirámide y de los troncos de cono. Para refrescar la memoria podemos decir que un tronco de pirámide o de cono es un cuerpo que se obtiene al "cortar" la parte superior del cono o pirámide, siendo el plano de corte paralelo a su base. Si ese plano de corte no fuera paralelo a la base, tendríamos pirámides truncadas o conos truncados, pero esas figuras no las estudiaremos, debido a lo laborioso de los cálculos necesarios para obtener sus áreas. En la última escena se aplica la proporcionalidad de segmentos y la semejanza de triángulos para relacionar determinadas medidas de un tronco y las de la pirámide o cono completos. Los troncos se visualizan como si sus caras fueran transparentes.


2. ÁREA LATERAL Y TOTAL DEL TRONCO DE PIRÁMIDE.

   En la siguiente escena se pueden visualizar troncos de pirámides cuyas bases son polígonos regulares. Sus caras son trapecios isósceles. Dichos troncos se dibujan a partir de las apotemas de sus bases y la altura del tronco. Para facilitar el trabajo, además de determinados valores de áreas, la escena facilita el valor de las aristas de las bases. Los troncos se muestran con sus caras laterales "transparentes".  Los parámetros "caras" y "bases" tienen el mismo significado que en escenas vistas hasta ahora. Las longitudes de las apotemas de las bases y de la altura del tronco, se pueden modificar usando las barras de desplazamiento correspondientes, junto a las cuales aparecen sus valores, o bien pulsando sobre las flechas que aparecen junto a cada barra o bien modificando directamente el valor en el cuadrito correspondiente y pulsando, posteriormente, la tecla [enter] [intro].

  Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Actividad 15

1.- Manipula los diferentes parámetros de la escena y observa lo que sucede.

2.- Construye una tabla, en tu cuaderno de trabajo, que recoja los datos mostrados en la escena para troncos de: 3, 4, 6 y 8 caras, de altura 1,5 ; apotema superior 1 y apotema inferior 2. (Recuerda que para que aparezca el valor de las áreas de las bases debes modificar el valor del parámetro correspondiente)

3.- Calcula las apotemas (alturas de las caras) de los troncos de la actividad anterior a partir de su altura y de las apotemas de las bases. Calcula las aristas de las bases. Comprueba tus resultados en la escena.

4.- Con las observaciones hechas en las actividades anteriores y lo visto en páginas precedentes, intenta dar una posible expresión que permita hallar las áreas lateral y total de un tronco de pirámide.

5.- Una pantalla hexagonal de una lamparilla de mesa tiene 15 cm de apotema superior y 20 cm de apotema inferior. Su altura es de 24 cm. ¿Cuánta tela se ha utilizado para confeccionarla?.

6.- Calcula la cantidad de hierro que se necesita para fabricar una pieza tronco-piramidal hueca, de cuatro caras tapada por ambas bases, cuya altura es de 1 m, la arista de la base menor es de 0,5 m y la arista de la base mayor es de 1,4 m.


3. ÁREA LATERAL Y TOTAL DEL TRONCO DE CONO
  La escena siguiente muestra troncos de cono. Es muy similar a la anterior con la salvedad que, ahora, aparecen los radios de las bases y no sus apotemas.
Actividad 16

1.- Manipula los parámetros de la escena y observa los datos y figuras que se visualizan. Compara tus observaciones con las obtenidas en la escena del apartado anterior.

2.- Completa, en tu cuaderno de trabajo, una tabla como la siguiente:

Radio inferior Radio superior Altura Área base superior Área base inferior Área lateral Área total
1,5 1 2        
1 0,5 1,2        
2 1,8 0,6        
3 2 2,5        

3.- La escena nos da la generatriz del tronco. ¿Cómo se puede calcular su longitud, conocidas: la altura y los radios de las bases?. Compara tus resultados con los obtenidos en la actividad 3.

 

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4.- Con los resultados obtenidos y tus propias observaciones y conclusiones, intenta obtener una expresión que nos permita calcular las áreas lateral y total del tronco de cono.


4. RELACIONES ENTRE ALGUNAS MEDIDAS DE LOS TRONCOS Y LAS PIRÁMIDES O CONOS COMPLETOS.

  La escena de este apartado es una fusión de las dos precedentes. El menú figuras permite seleccionar entre visualizar troncos de pirámide y visualizar troncos de cono. Por otra parte aparece un nuevo parámetro P que hace aparecer o desaparecer la "punta" de la pirámide o cono del cuál proviene el tronco representado (además si P=1 se visualiza la punta sólida y si P=2 se visualiza la punta mediante aristas). Así mismo aparece un segundo espacio en el que se muestra media sección transversal del cuerpo visualizado.

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LEYENDA
Altura tronco (H)

Altura "punta" (h)

Apotema o radio base superior

Apotema o radio base inferior

Apotema o generatriz del tronco

Apotema o generatriz de la "punta"

 

Actividad 17

1.- Usa la escena para obtener la altura y la apotema de las "puntas piramidales" que completarían los troncos de la actividad 2.

2.- Igualmente para los troncos de cono de la actividad 8.

3.- ¿Cuáles son las alturas y las apotemas de las pirámides y generatrices de los conos completos de las dos actividades anteriores? (Es decir tronco + "punta").

4.- En la siguiente escena ve introduciendo: altura, apotema o radio de la base inferior y apotema o radio de la base inferior, para cada uno de los troncos piramidales y para cada uno de los troncos cónicos de las actividades anteriores. Observa los resultados mostrados. ¿Qué conclusiones se pueden obtener?.

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