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Comunidad Educativa

Investigación sobre Matemáticas Elementales

 
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miércoles, 23 de enero de 2019, 11:12 h.

Parte II B.- OPERACIONES



Rafael Pozo

 

En la Parte  I de este trabajo se exponía una pequeña introducción, se hablaba un poco de la muestra elegida, se analizaban los resultados del primer apartado “Sistemas de numeración. Sistema decimal”. (Pequeña investigación sobre Matemáticas elementalesy se daban unas sugerencias didácticas.

En esta segunda parte nos vamos a ocupar de las cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación y división.

La Prueba, en este segundo apartado, consta de 12 preguntas a través de las cuales se pretende saber:

  • Pregunta 1.- Si el alumno conoce los elementos que intervienen en toda operación.

a) Si dados una tabla de resultados, un conjunto y un signo cualesquiera, sabe comprobar si esa operación cumple algunas propiedades.

b) Si es capaz de reconocer el elemento neutro de una operación

  • Pregunta 2.- Si reconoce o no el resultado como elemento de una operación.

                  Ejem.-  Para muchos alumnos la suma es 5 + 3  y no el 8.

  • Pregunta 3.- Si sabe utilizar la equivalencia entre operaciones para calcular un elemento, conociendo el resultado y otro elemento.

          a) Entre suma y resta

          b) Entre producto y división

  • Pregunta 4.- Si resuelve operaciones estando los números expresados en bases distintas a  10.
  • Pregunta 5 y 6.- Si el alumno tiene interiorizado y comprende el mecanismo de sumas con llevadas y restas, cuando una cifra del minuendo es mayor que la del sustraendo.
  • Pregunta 7 y 8.-Si el alumno reconoce el “producto” y la “potencia” como resultados de sus operaciones respectivas.
  • Pregunta 9.- Si el alumno comprende por qué nos adentramos un lugar hacia la izquierda, en cada producto parcial, al hacer una multiplicación           por números de varias cifras.
  • Pregunta 10 y 11.- Si el alumno sabe, realmente, el por qué de algunos pasos que se dan en el algoritmo de la división.
  • Pregunta 12.- Si es capaz de explicar por qué multiplica el largo por el ancho, cuando quiere contar los cuadritos iguales en que está dividido un rectángulo.

PREGUNTAS DE LA PRUEBA

 

a

b

c

a

a

b

c

b

b

c

a

c

c

a

b



 


 

   

 

 

1.-  En esta operación tenemos:
      El conjunto   N  =   { a , b , c }     el signo   ┴    y la tabla de resultados.

a.-  Comprueba si esta operación   ┴   cumple o  no la propiedad conmutativa en N.
b.-  Aplica la propiedad asociativa y mira a ver si
       la cumple.
                          c  ┴  a  ┴  b  =
c.- ¿Tiene  elemento neutro esta operación?  ____   ¿Cuál  es?   ¿Por qué?    

2.-  Escribe todas las sumas y restas distintas que puedas utilizando, sólo, estos números: 3  ; 18   y  15

3.-  Calcula el valor de la letra en cada caso. Utiliza las equivalencias entre operaciones.
       Hazlo paso a paso. (no conveniente por ecuaciones) 

a.-   965  +  m  =  2.097        236  -  a  =  84      b  -  765  =  176
b.-  206  •  n  =  1.442         h  :  36  =  12      207  :  d  =  23

4.-  Estos números están escritos en base 4. Súmalos  en esa misma base. Que se vea lo que haces.  2 0 3  y  1 3 2

5.-  Mira esta suma y contesta:

         2  4.  9  9  3             ¿Por qué si  9  +  7  son  16  ponemos solo un 6?
   +   3  3.  7  0  2_
        5  8.  6  9  5
6.-  Mira esta  resta y contesta:

         7  2  4            ¿Por qué decimos: “ a catorce le quito ocho o de 8 hasta 14? Hazlo de
     -  2  5  8_           tal forma que se vea claro de dónde sale ese 14  que decimos.


7.-  Rodea todos los productos de números naturales. (No utilices el 1) 


             2         12            7         3  •  5          9            11             56

8.-  Rodea  las potencias que  veas.


          2              5  •  5              4              36              15          73             16            12

9.-  Observa esta multiplicación y contesta.  ¿Por qué al multiplicar  por el 2
       movemos el producto parcial un lugar hacia la izquierda?

               2 3 5            
           _x    2 3_               
                7 0 5
             4 7 0                    
              5 4 0 5    

                 
10.-  En esta división  1 2 0 4 3 | 26        ¿Por qué hacemos esto         4 3  | 2 6     para comenzar a hacerla?

11.-   ¿Por qué para comenzar a hacer esta división se dice 27 entre 3?    3 2   | 3 2

12.-  En este rectángulo hay 18 cuadros pequeños. ¿Cómo los calcularías? Haz los planteamientos que sepas.  No resuelvas. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



OBSERVACIONES A LAS PREGUNTAS

 

 

PRIMA

SECUND

3º Mag

Nº Preg

%

%

%

1.a

 

 

4

0

8

7

1.b

2

0

3

0

6

5

1.c

1

0

4

0

8

7

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A la vista de estos resultados, nulos en Primaria y Secundaria y bajísimos en los maestros en formación, parece que no hay duda de que estos contenidos no se han trabajado.  Seguro que si estas mismas preguntas se hacen con las operaciones convencionales, los resultados hubieran sido más satisfactorios.  Está claro que los alumnos no tienen los conceptos claros de lo que son las operaciones y sus propiedades.

En la respuesta de este alumno de magisterio, calificado en matemáticas de Primaria y Secundaria como sobresaliente, a la pregunta 1.b se constatan dos “vicios” muy comunes y que son:

a)Si en la propiedad asociativa no se ponen paréntesis en los dos miembros, no se sabe aplicar o comprobar.

b) Hay  que ayudarse de operaciones y conjuntos convencionales para poder comprobar la propiedad. Para la comprobación utiliza números       naturales y la suma a pesar de que se le da una operación y la tabla de resultados.

1.b.-  c ┴ a ┴ b  =  (c ┴ a) ┴ b  =  c ┴ (a ┴ b)        

                    (3 + 1) + 2  =  3 + (1 + 2)
                4     + 2  =  3 +     3
            6        =       6

En la pregunta 1.c ocurre lo mismo con el elemento neutro.  Dicen que es el cero y utilizan la suma.

             (Transcripción literal de la respuesta de un alumno)

“SI   ¿Cuál  es?  LA A PORQUE AL SUMAR A + B SALE B Y SI FUESE DISTINTO DE  0  NO DARIA B SINO QUE DARIA OTRO NUMERO DIFERENTE”

Estos dos ejemplos son significativos.

Pregunta 2.-  En esta pregunta también existe una gran unanimidad de respuesta. Todos hacen combinaciones con los tres números para hacer todas las sumas posibles y de dos, para las restas.  A casi nadie se le ocurre tomar un número como suma o como diferencia y los otros dos utilizarlos como sumandos o como minuendo o sustraendo.  De esto se puede deducir que, para la mayoría,  una suma es 3 + 15 y no 18.  Sin embargo cuando a un alumno le preguntas cuales son los elementos de la suma sí te dice: sumandos y el resultado se llama suma o total.  Si le preguntas lo mismo para la resta te contestará: minuendo, sustraendo y el resultado, la diferencia.

Cuando esta unanimidad se da en tres etapas tan diferentes, algo habrá que revisar en la metodología, sobre todo, en la escuela que es donde, se supone, hay que establecer los cimientos y la estructura del futuro edificio.  Y, sobre todo, si queremos que el alumno estudie matemáticas, habrá que trabajar mucho y bien el vocabulario que es la base para una buena comunicación.

Pregunta 3.- En los dos apartados de esta pregunta  se sigue poniendo de manifiesto la falta de base matemática.  Nadie resuelve utilizando las equivalencias entre operaciones, todos resuelven por ecuaciones y, aun así, cometen, de manera generalizada, los errores comunes a un aprendizaje no significativo, a saber:

a.-  Como son operaciones sencillas, prueban para ver el resultado más lógico.
b.-  Utilizar mal la muletilla:  “este que está dividiendo, pasa multiplicando
                       207 : d = 23         d = 4.761        d =  23 • 207

En el ejemplo anterior, primero tendría que haber convertido esa división en un producto (utilizando la “prueba” de la división): 207  =  d • 23 y ahora aplicar la equivalencia entre producto y división:   d  =  207 : 23.

Otra observación importante es que los porcentajes de aciertos en las equivalencias entre producto y división (3.b) bajan considerablemente con respecto a la 3.a (equivalencias entre suma y resta).  Concretamente en Primaria y Secundaria, a la mitad y en magisterio un 19 %.

Las preguntas 5 y 6 están contestadas en unos porcentajes bajísimos, esto no hace más que abundar en el hecho repetido de que los alumnos saben hacer pero no saben el porqué de lo que hacen.

Lo común en los tres grupos y lo grave es que las respuestas erróneas son muy parecidas, lo que hace pensar que la manera de trabajar estos conceptos cambia poco desde Primaria hasta las aulas de la Universidad.  Es muy común decir que: “ en ninguna columna de una suma se puede poner un valor superior a 9 por lo que, cuando esto ocurre, ponemos la cifra de la derecha en esa columna y la de la izquierda se suma con las cifras de la siguiente columna”.

Si se enseñara a resolver las operaciones de manera compleja, quedarían respondidas  todas estas preguntas y la comprensión sería total, dando como consecuencia un aprendizaje significativo en el alumno.

En la resta, pregunta 6, ocurre lo mismo que en la suma, las explicaciones son parecidas: “como 4 es más pequeño que 8, le quitas una al 2 y se la sumas al 4 y ya dice 14. Luego, la que has quitado, se la sumas al 5 de abajo”.

Preguntas 7 y 8.-   Los porcentajes tan bajos de respuestas afirmativas de los tres grupos, parecen indicar que la metodología utilizada, como poco, hay que revisarla.  Estos resultados deben  ser una llamada  a la reflexión profunda, individual y colectiva, entre los profesionales, maestros y preparadores de maestros, sobre la pregunta ¿cómo estamos enseñando?

En los tres grupos sólo el 5 % en Primaria, el 18 % en Secundaria y el 55 % de maestros en formación, reconocen el producto como resultado de una multiplicación.  En la pregunta 8 ocurre lo mismo con el concepto de potencia.  Son los mismos porcentajes, aproximadamente, de alumnos que reconocen la potencia como el resultado de un producto de factores iguales. El resto, lo dicen con la boca pero luego sólo  señalan como potencias  5  •  5  y  73 .  Para estos alumnos  16  no es una potencia porque no está escrita en cualquiera de las formas anteriores.

Pregunta 9.-  Los bajísimos porcentajes de las respuestas correctas, de manera machacona, siguen diciéndonos que la forma como aprenden los alumnos no es la adecuada y, por lo tanto, tendremos que pensar en revisar la parte que nos toca como docentes.  La mayoría de alumnos no dan una explicación, matemáticamente adecuada, sobre el particular.  Abundan las respuestas como:

  • El resultado hay que ponerlo debajo del número que se multiplica.
  • Porque el 2 son las decenas.
  • Porque estamos multiplicando las decenas y debemos dejar sin utilizar el lugar de las unidades.

Con todo, lo más preocupante es la homogeneidad en las respuestas erróneas de grupos tan distintos tanto de alumnos como de profesorado.  A ver si va a ser cierto el dicho  “enseñamos como nos enseñaron”.

Preguntas 10 y 11.- Referidas a  los dos primeros pasos del algoritmo de la división, ponen de manifiesto lo mismo que las preguntas anteriores, el alumno dice o hace pero no sabe el por qué de lo que hace.  Ningún alumno de ningún grupo de la muestra sabe por qué se cortan cifras en el dividendo para comenzar a hacer una división, salvo tres maestros en formación.   La respuesta mayoritaria es que tenemos que coger un número mayor en el dividendo que en el divisor.  Hay más diversidad pero sobre el mismo tema:

  • Hay que coger un número mayor que el 26
  •   Se van cogiendo números hasta que se pueda dividir
  •   No podemos dividir 12 entre 26, por lo que el dividendo siempre tiene que ser mayor que el divisor.

Las respuestas a estas preguntas están en trabajar las operaciones colocando las cantidades en forma compleja y haciendo la operación unidad por unidad y  el resultado, escribirlo correctamente dependiendo de la base en la que se trabaje.

Pregunta 12.- La respuesta casi unánime a esta pregunta es:  “se multiplican los cuadros que hay de  largo por los que hay de alto”. y ahora vendría la pregunta  y  ¿por qué?   qué explicación matemática le damos.

Lo más lógico y matemático sería:

a.-  Utilizando las filas

6 cuadros de la 1ª fila + 6 de la 2ª  + 6 de la 3ª fila = total cuadros

            6  +  6  +  6  =  6  cuadros en una fila • 3 filas que hay
b.-  Utilizando las columnas

3 □ de la 1ª columna + 3 de la 2ª  + 3 (3ª)  + 3 ( 4ª) + 3 (5ª) + 3 (6ª) = Total cuadros

3  +  3  +  3  +  3  +  3  +  3  =  3  cuadros en columna • 6 columnas que hay

Como resulta que el primer cuadro de una fila es un cuadro de la columna pues, tantas filas, tantos cuadros en la columna y al contrario para las columnas.

Esta sería la explicación del por qué la superficie del rectángulo es  b • h.
     

CONCLUSIONES

De las observaciones y estudio de las respuestas a las preguntas de este apartado, se pueden sacar las siguientes conclusiones:

Preg. 1.-  Los alumnos de la muestra no tienen interiorizados los conceptos de operación y propiedades de las mismas.  El conocimiento que, sobre las propiedades asociativa y elemento neutro, tienen los maestros en formación, es muy rutinario y concreto.

Preg. 2.-  Los alumnos de la muestra no reconocen el resultado de una operación como  un elemento de la misma y sólo lo hacen si la operación está indicada. Así, el 8 no se reconoce como producto hasta que no esté expresado en la forma   2 x 4.  Lo mismo ocurre con la suma, diferencia, etc.

Preg. 3.-  Tampoco tienen interiorizadas las equivalencias entre operaciones directas y sus contrarias.  La mayoría de estudiantes de Primaria y Secundaria, al hacer una operación, prueban para encontrar el resultado más lógico, y los maestros en formación, resuelven por ecuaciones y la mayoría no comprueban resultados.

Preg. 4.-  Los contenidos a los que alude  esta pregunta no se han trabajado ni en Primaria ni en Secundaria y, en magisterio, de manera rutinaria porque siguen hablando de decenas cuando trabajan en base distinta a la decimal.

Preg. 5 y 6.-  Al analizar  las respuestas de estas preguntas se saca la conclusión de que el estudiante hace pero no sabe lo que hace.

Preg. 7 y 8.-  Los estudiantes de la muestra no reconocen el producto y la potencia como resultados de sus respectivas operaciones.  Sólo lo hacen el 50% de los maestros en formación.

El resto de conclusiones son:

a.-   Los estudiantes, excepto el 35 % de maestros en formación, no sabe por qué nos adentramos un lugar hacia la izquierda, en cada producto parcial, cuando multiplicamos números de varias cifras.

b.-  Ningún estudiante de los grupos que forman la muestra saben el porqué  de  algunos pasos en el algoritmo de la división:

  • Por qué se cortan cifras en el dividendo para comenzar la división.
  • Por qué, cuando el dividendo parcial tiene más cifras que el divisor, se dividen las cifras que correspondan siempre por la primera del divisor

c.-  Tampoco saben, el por qué, para contar los cuadritos iguales en los que  está dividido un rectángulo, se multiplica el largo por el ancho.  Hacen, pero no saben el por qué de lo que  hacen.

 

SUGERENCIAS DIDÁTICAS

 

a

b

c

a

a

b

c

b

b

c

a

c

c

a

b


 

 

 

 

 

 

 

 

Las operaciones deben trabajarse de manera general, no comenzar con las convencionales.  Se debe quedar claro que toda operación tiene unos elementos, un código y una tabla de resultados.  Los elementos son los de un conjunto que se decida. El código, es decir, los signos y las reglas que vamos a usar cuando operemos esos elementos y la tabla de resultados.  Así mismo, se trabajarán las propiedades y, una vez que el alumno comprenda y opere con esas operaciones inventadas, sólo entonces, se comenzarán a trabajar las operaciones convencionales.

Ejemplo.-  Vamos a trabajar con la operación representada por este signo   ┴, definida en el conjunto H =  { a, b, c }    y con la siguiente tabla de resultados.

Sobre esta estructura (H, ┴),  se deben hacer diferentes ejercicios de solución de operaciones indicadas, de aplicar propiedades, cual es el elemento neutro, etc. y después, trabajar todo esto con las estructuras: (N, +); (N, -) ; (N, •) y  (N, :).

Después habría que trabajar lo que son operaciones directas y contrarias y en su momento opuestas e inversas y, a continuación, las equivalencias.  Sería conveniente que, durante una temporada, los problemas se plantearan con operaciones directas para que se viera el por qué, algunos problemas se resuelven haciendo operaciones de restar o dividir.

Ejemplo.-  Mi padre y mi madre me dan caramelos. Mi madre me da 8 caramelos y   en total junto 12 caramelos. ¿Cuántos me ha dado mi padre?

Me da mi madre  +  me da mi padre  =  Total caramelos

8  +   a  =  12

 a  =  12  -  8  (equivalencias entre suma y resta)

 a  =  4

Se le debe hacer hincapié al alumno que las operaciones tienen unas partes que se operan y, de ese operar, sale un resultado y que ese resultado tiene un nombre.

La suma no es 3  +  4  sino 7.  3  +  4 . Decimos que es una suma porque, de manera indicada, representa al 7 que es la verdadera suma (resultado de sumar). 

Otra cuestión importante, para explicar muchos porqués de los algoritmos de las operaciones, sería trabajar las operaciones escribiendo las cantidades de forma compleja.  Y hacer operaciones con números en bases distintas a la decimal.

 

 


          


    

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