4.1. EL ENFOQUE COMPETENCIAL PARA TRABAJAR EL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO EN LAS DISTINTAS ETAPAS

Ya se ha evidenciado en apartados anteriores cómo tanto la normativa vigente en materia educativa, desde la Unión Europea a la Comunidad Autónoma de Andalucía, como los informes internacionales (ya sean los generados por las evaluaciones como PISA o TIMSS, o de otros organismos), inciden en la necesidad de desarrollar las competencias clave del alumnado a lo largo de su trayectoria escolar.

En esta misma dirección, la UNESCO (2022) subraya que los retos económicos del siglo XXI requieren ciudadanos capacitados para enfrentarse a problemas complejos como el desempleo juvenil, la transición hacia economías digitales y verdes, y las desigualdades de género en las competencias laborales. Para alcanzar este propósito, la competencia matemática desempeña un papel crucial, y dentro de ella, el desarrollo de habilidades STEM (Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas) resulta determinante. Esto es así porque no solo constituye una herramienta esencial para acceder a oportunidades laborales en constante cambio, sino también para contribuir a la sostenibilidad y la innovación, permitiendo al alumnado analizar críticamente los desafíos económicos, adaptarse a nuevos escenarios y tomar decisiones conscientes y fundamentadas para construir un futuro más equitativo y sostenible.

Por tanto, es imprescindible aplicar un enfoque competencial de la educación otorgando un protagonismo decisivo al desarrollo de la competencia matemática del alumnado en las diferentes etapas. Veamos con detalle y de forma concreta cuáles son los aspectos fundamentales de este enfoque que debemos considerar y cómo podemos aplicarlo en las distintas etapas.

4.1.1. Aspectos fundamentales del enfoque competencial

En el apartado 2 de esta guía ya indicamos cómo los desarrollos curriculares que acompañan a la LOMLOE se dirigen al desarrollo competencial del alumnado y definen las competencias clave como «los desempeños que se consideran imprescindibles para que el alumnado pueda progresar con garantías de éxito en su itinerario formativo, y afrontar los principales retos y desafíos globales y locales» (R.D. 95/2022, R.D. 157/2022, R.D. 217/2022 y R.D. 243/2022). Un desempeño se define como el resultado de integrar las tres dimensiones de la competencia (conocimientos, destrezas y actitudes), aplicando esa integración de forma práctica y creativa en la ejecución de una situación de aprendizaje de la vida real.

Desde estas competencias clave nace el perfil de salida para el término de la enseñanza básica o el perfil competencial para el resto de ciclos. El perfil de salida del alumnado al término de la enseñanza básica es la herramienta en la que se concretan los principios y los fines del sistema educativo español referidos a dicho periodo. El perfil identifica y define, en conexión con los retos del siglo XXI, las competencias clave que se espera que los alumnos y alumnas hayan desarrollado al completar esta fase de su itinerario formativo.

Actualmente las competencias clave en el sistema educativo español son las siguientes: Competencia en Comunicación Lingüística (CCL); Competencia Plurilingüe (CP); Competencia Matemática y Competencia en Ciencia, Tecnología e Ingeniería (STEM); Competencia digital (CD); Competencia personal, social y de aprender a aprender (CPSAA); Competencia ciudadana (CC); Competencia emprendedora (CE); y Competencia en conciencia y expresiones culturales (CCEC).

La competencia STEM, entendida como el punto de encuentro entre las competencias matemática, científica, tecnológica e ingenieril, adquiere aquí una dimensión clave: conecta el desarrollo del razonamiento lógico con la resolución de problemas reales, promueve la indagación y el pensamiento crítico, y facilita la transferencia de aprendizajes a contextos auténticos. De este modo, la competencia STEM actúa como nexo entre las competencias clave definidas en el currículo y las prácticas didácticas específicas de las matemáticas, preparando al alumnado para intervenir de forma creativa y rigurosa en situaciones de la vida diaria y en entornos profesionales.

Tal como se ha estado viendo en los capítulos anteriores, el enfoque competencial tiene una triple perspectiva, siendo una necesidad, una respuesta y un imperativo legal. De tal forma, en el currículo andaluz para las etapas de Educación Infantil, Educación Primaria y Educación Secundaria Obligatoria, en los Decretos 100/2023, 101/2023 y 102/2023, de 9 de mayo, por los que se establece la ordenación y el currículo de las etapas de Educación Infantil, Educación Primaria, Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía, se indica, en sus respectivos preámbulos, que "El currículo andaluz de la etapa ha de tomar como eje estratégico y vertebrador del proceso de enseñanza y aprendizaje el desarrollo de las capacidades del alumnado y la integración de las competencias clave en el currículo educativo y en las prácticas docentes".

Trasciende, pues, el desarrollo de la competencia matemática en sí misma, naciendo desde los principios pedagógicos de cada una de las etapas educativas. En la etapa de Educación Infantil podemos encontrarlo enunciado como "e) Se favorecerá una primera aproximación a la lectura y a la escritura, así como experiencias de iniciación temprana en habilidades numéricas básicas, en las tecnologías de la información y la comunicación, en la expresión visual y musical. Se fomentará el desarrollo de todos los lenguajes y modos de percepción específicos de estas edades para desarrollar el conjunto de sus potencialidades". Esta indicación queda refrendada en los descriptores operativos que se desarrollan en la etapa, como veremos a continuación.

En las etapas de Educación Primaria y Secundaria nos encontramos un mismo principio pedagógico que nos refiere que "Se desarrollarán actividades para profundizar en las habilidades y métodos de recopilación, de sistematización y de presentación de la información, para aplicar procesos de análisis, de observación y de experimentación, mejorando habilidades de cálculo y desarrollando la capacidad de resolución de problemas, fortaleciendo así habilidades y destrezas de razonamiento matemático".

Revisados estos principios de los que emana, podemos deducir que el trabajo para la mejora de competencia matemática en nuestro alumnado no es una tarea única del profesorado de las áreas o materias más específicas de los saberes matemáticos, sino que se desarrolla de una forma transversal a través de los descriptores operativos, en todas las áreas y materias, aunque con especial relevancia las que tienen saberes básicos propios que están más relacionados con los sentidos matemáticos.

En definitiva, tal como la misma UNESCO (1996) señala de forma insistente, "ya no basta con que cada individuo acumule al comienzo de su vida una reserva de conocimientos a la que podrá recurrir después sin límites. Sobre todo, debe estar en condiciones de aprovechar y utilizar durante la vida cada oportunidad que se le presente de actualizar, profundizar y enriquecer ese primer saber y de adaptarse a un mundo en permanente cambios".

4.1.2. Enfoque competencial matemático. Los descriptores operativos y la estructura curricular

4.1.2.1. La estructura curricular

A lo largo de los apartados anteriores se ha podido ir comprobando cómo el enfoque competencial conlleva una comprensión profunda de la estructura curricular establecida en nuestras órdenes y decretos; de otra forma, la aplicación del enfoque competencial podría quedar en una aplicación descontextualizada de medidas y actuaciones, teniendo, sin embargo, una estructura normativa y de procedimiento sólida que garantiza la aplicación de procesos coordinados por los equipos docentes y sostenidos en el tiempo.

Este paso necesita de la comprensión de la estructura curricular y el papel que tiene cada elemento, pues en caso contrario, podríamos creer que solo es una cuestión de contenidos matemáticos. La siguiente infografía representa el engranaje curricular entre sus diferentes elementos:

4.1.2.2. Los descriptores operativos

La manera en la que se aplican estas competencias clave es a través de los descriptores operativos: "En cuanto a la dimensión aplicada de las competencias clave, se ha definido para cada una de ellas un conjunto de descriptores operativos, partiendo de los diferentes marcos europeos de referencia existentes. Los descriptores operativos de las competencias clave constituyen, junto con los objetivos de la etapa, el marco referencial a partir del cual se concretan las competencias específicas de cada materia o ámbito" (R.D. 95/2022, R.D. 157/2022, R.D. 217/2022 y R.D. 243/2022).

Los descriptores operativos concretan el progreso esperado en la adquisición de cada competencia, secuenciándola a lo largo de todas las etapas. En Andalucía, se hace una propuesta de los descriptores operativos al término de cada ciclo de la Educación Infantil, Educación Primaria y Educación Secundaria. Los descriptores operativos son comunes a todas las áreas que los contemplen siendo estos los que, junto a los saberes básicos propios de cada materia ayudan a concretar las competencias específicas de cada una de las áreas, materias o ámbitos.

El primer paso para abordar la mejora de la competencia matemática de un centro es comprender que cada docente, de cualquier área o materia, puede contribuir a su mejora cuando detecta y centra el foco en las competencias específicas que tengan asociados los descriptores operativos STEM. Esto es especialmente relevante con aquellos que hacen referencia directa al razonamiento matemático, es decir, el 1 y 4. No es, en ningún caso, responsabilidad exclusiva de los docentes que imparten el área o materia de matemáticas, sino de todo el equipo docente que programa y desarrolla cada una de las áreas o materias que aportan aprendizajes a los descriptores de razonamiento matemático STEM asociados.

En los siguientes cuadros podemos ver la evolución del perfil competencial de la competencia STEM a lo largo de todos los ciclos de Infantil, Primaria y Secundaria.

Para conectar teoría y práctica en el enfoque competencial de la matemática, se deben integrar diversas perspectivas coordinadas para dar coherencia al proceso. La dimensión funcional, la transferencia de conocimientos, la vinculación con la vida real y el cambio de roles en el aula se combinan con un modelo pedagógico basado en el aprendizaje realista, el constructivismo y la interacción social. Este enfoque permite transformar la enseñanza de las matemáticas en una experiencia formativa activa, donde el conocimiento se construye de manera orgánica con la práctica educativa.

A) Perspectiva pedagógica

La implantación de un currículo orientado a la adquisición de competencias clave significa un paso adelante y pretende, en principio, formar personas con un mayor grado de eficacia para afrontar los problemas reales que plantea la vida, más allá de los estrictamente académicos.

Adquiere relevancia el modelo de enseñanza, denominado aprendizaje realista (Esteve, Melief, Alsina, 2009, Proyecto Comenius, 2003-2005), que surge de la investigación en educación matemática. En concreto, se fundamenta en la Educación Matemática Realista fundada por el matemático alemán Hans Freudenthal (1905-1990). Por otro lado, se sustenta también en la perspectiva sociocultural del aprendizaje humano (Vygostky, 1978) y el aprendizaje reflexivo (Schön, 1983).

De forma muy reduccionista, los rasgos más significativos del aprendizaje realista son:

• Se trata de un enfoque en el que se utilizan situaciones de la vida cotidiana o problemas contextuales como punto de partida para aprender matemáticas. Progresivamente, estas situaciones son matematizadas a través de modelos, mediadores entre lo abstracto y lo concreto, para formar relaciones más formales y estructuras abstractas (Heuvel y Panhuizen, 2002).
• Se apoya en la interacción en el aula entre el alumnado y entre profesorado y alumnado. Esta interacción permitirá al profesorado construir sus clases teniendo en cuenta las producciones de los estudiantes (Fauzan, Plomp y Slettenhaar, 2002).
• Otra idea clave es que al alumnado se les debería dar la oportunidad de reinventar las matemáticas bajo la guía de un adulto en lugar de intentar transmitirles una matemática pre-construida (De Corte, Greer y Verschaffel, 1996).

Es fundamental considerar la teoría constructivista como piedra angular para favorecer un aprendizaje significativo y experiencial en el aula. Desde esta perspectiva, el aprendizaje significativo se configura como el proceso mediante el cual la nueva información se relaciona de forma no arbitraria y sustantiva con la estructura cognitiva preexistente del alumnado. En otras palabras, cuando el estudiante logra anclar y reorganizar sus conocimientos a partir de nuevas experiencias, transforma la información en un saber personal, funcional y duradero, en línea con los postulados de Ausubel. De igual modo, el aprendizaje experiencial se presenta como la vía natural y poderosa para la construcción del "saber hacer". La experiencia vivida, combinada con la reflexión crítica sobre lo que hacemos en la práctica, permite al alumnado consolidar conceptos y estrategias propias de la actividad matemática. En síntesis, al adoptar estas aproximaciones se favorece la formación de un conocimiento que trasciende lo meramente memorístico y se orienta hacia la construcción activa, el razonamiento y la aplicación efectiva de conceptos, elementos esenciales en la enseñanza de las matemáticas.

B) Perspectiva didáctica

Aunque desde el punto de vista didáctico podemos encontrar diversas teorías que fundamentan el enfoque competencial de las matemáticas, nos basamos en la visión del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000), recogida en el siguiente mapa conceptual:

Dicho enfoque coincide, a grandes rasgos, con los propuestos por Mogens Niss y Pisa 2003 (OCDE, 2004) como se puede apreciar en la tabla anterior propuesta por Ángel Alsina:

Como se puede observar, la adquisición de la competencia matemática comprende la integración

de varios procesos o competencias matemáticas. Se recomienda comenzar a establecer conexiones entre los conocimientos matemáticos desde las primeras edades, ya que cuando el alumnado usa las relaciones existentes entre los saberes básicos (contenidos matemáticos), entre las competencias específicas (procesos matemáticos) y las existentes entre ambos, progresa su conocimiento de la disciplina y crece la habilidad para aplicar conceptos, destrezas y actitudes con más eficacia en diferentes ámbitos de su vida cotidiana (Alsina, 2012).

C) Perspectiva desde las implicaciones en el aula

Ángel Alsina (2014) ofrece una síntesis de ideas clave que pueden servir de orientación para una gestión eficaz de las actividades matemáticas competenciales:

• Según la NCTM (2003) se debe construir nuevo conocimiento matemático por medio de la resolución de problemas, formular e investigar conjeturas matemáticas, comunicar el pensamiento matemático con coherencia y claridad, comprender cómo las ideas matemáticas se interconectan y construyen unas sobre otras para producir un todo coherente, además de seleccionar, aplicar y traducir representaciones matemáticas para resolver problemas.
• Se aprende a resolver problemas haciendo, manipulando, simulando, discutiendo, compartiendo, imaginando, observando, visualizando, etc.
• El trabajo por proyectos o retos favorece el razonamiento y la prueba, junto a otras prácticas como las situaciones de experimentación y juego. También beneficia el razonamiento plantear buenas preguntas, más que dar explicaciones, potenciar la interacción y el contraste, e incentivar la indagación y el aprendizaje autónomo.
• Se debe reconocer y aplicar las matemáticas en contextos no matemáticos.
• Desde el ámbito de la educación matemática, un contexto es una situación más o menos problemática que puede ser objeto de estudio y que genera preguntas o problemas que necesitan las matemáticas para contestarlas o resolverlas (Alsina, 2011). Desde esta perspectiva, en matemáticas un contexto no debería entenderse sólo como el contexto del aula, social o familiar o el contexto histórico, sino que es un término mucho más general que engloba todas aquellas situaciones y actividades que tienen sentido para el alumnado y fomentan su pensamiento matemático crítico (Niss, 1995). El caso es que el término «contexto» en matemáticas no implica algo real necesariamente. Y, cercano, no implica algo de la vida cotidiana, sino que sea significativo. Evidentemente, existe un problema cuando introducimos capas de abstracción innecesarias, tal como indica Pellicer (2022).
• El eje común de todos estos contextos es la resolución de problemas, entendido como el marco para pensar, argumentar, justificar, comunicar, conectar y representar ideas matemáticas.

4.1.4. Ejemplos de implementación del enfoque competencial en el aula

Desde una perspectiva pragmática ser competente en matemáticas significa saber utilizar los conceptos y procedimientos matemáticos en una diversidad de contextos y situaciones, supone abordar y resolver con las herramientas disponibles una diversidad de problemas, (no necesaria ni exclusivamente matemáticos), desarrollando destrezas emocionales y sociales.

Desde esta visión del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas basada en un enfoque competencial es necesario proponer:

Este tipo de tareas:

• Proponen la resolución de problemas en diferentes contextos, usando variedad de estrategias y sistemas de representación.
• Promueven procesos de argumentación matemática que permiten el desarrollo de procesos inductivos, de visualización, comprobación, etc.
• Fomentan los procesos de modelización matemática en contextos de resolución de problemas.
• Incentivan la comunicación matemática.
• Construyen conexiones.
• Vinculan el lenguaje formal matemático con significados referenciales.
• Impulsan la interacción y el trabajo colaborativo en el aula de matemáticas.
• Contemplan elementos emocionales y afectivos en la construcción del conocimiento matemático.

4.2. LA EVALUACIÓN INICIAL Y CONTINUA DE LA COMPETENCIA DEL ALUMNADO: HERRAMIENTAS Y ESTRATEGIAS

El término "evaluación" en el ámbito educativo es un concepto polisémico, cuyo significado puede variar considerablemente. Por ello, se hace necesario establecer una definición precisa para evitar ambigüedades y asegurar una comprensión común. Es fundamental, en primer lugar, abordar la definición desde la normativa vigente, que proporciona el marco legal y administrativo. Posteriormente, se debe profundizar en su significado pedagógico, considerando los enfoques que sustentan su práctica. Esta doble precisión es esencial, ya que, de lo contrario, podríamos estar utilizando el mismo término para referirnos a ideas y procesos sustancialmente distintos.

4.2.1. El concepto de evaluación desde la normativa

El análisis del concepto de evaluación comienza desde la definición establecida en las diversas Órdenes del 30 de mayo, correspondientes a las etapas educativas consideradas en esta guía, extrayendo el enfoque evaluativo de la competencia.

En primer lugar, en el capítulo III de la Orden de 30 de mayo de 2023 por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la etapa de Educación Infantil en la Comunidad Autónoma de Andalucía, se define el concepto de evaluación para dicha etapa. Así, en su artículo 7, describe el carácter y referentes de la evaluación de la siguiente manera: "1. La evaluación del proceso de aprendizaje del alumnado en la etapa de Educación Infantil será global, continua y formativa y tomará como referentes los criterios de evaluación de las diferentes áreas curriculares, a través de los cuales se medirá el grado de consecución de las competencias específicas".

De igual forma, en la etapa de Primaria, la Orden de 30 de mayo de 2023, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la etapa de Educación Primaria en la Comunidad Autónoma de Andalucía define el concepto de evaluación. En el capítulo III, sección 1.a., el artículo 9 describe el carácter y referentes de la evaluación para la etapa de Primaria como: "1. La evaluación del proceso de aprendizaje del alumnado será continua, global, competencial, formativa, integradora, diferenciada y objetiva según las distintas áreas del currículo y será un instrumento para la mejora tanto de los procesos de enseñanza como de los procesos de aprendizaje. Tomará como referentes los criterios de evaluación de las diferentes áreas curriculares, a través de los cuales se medirá el grado de consecución de las competencias específicas".

Por otra parte, en la Orden de 30 de mayo de 2023, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la etapa de Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía, en el capítulo III, sección 1ª, artículo 10, se define el carácter y referentes de la evaluación para dicha etapa. Se expresa de la siguiente forma: "1. La evaluación del proceso de aprendizaje del alumnado será continua, competencial, formativa, integradora, diferenciada y objetiva según las distintas materias del currículo y será un instrumento para la mejora tanto de los procesos de enseñanza como de los procesos de aprendizaje. Tomará como referentes los criterios de evaluación de las diferentes materias curriculares, a través de los cuales se medirá el grado de consecución de las competencias específicas".

Como se observa en cualquiera de las tres etapas, queda definida una idea importante a tener en cuenta desde este primer momento: se evalúan competencias específicas observando lo que los criterios de evaluación indican de las mismas. Y esto es así porque, en Andalucía, los criterios de evaluación se han graduado a lo largo de las diferentes etapas, ayudando a establecer el desempeño esperado de la competencia específica (que es un elemento de etapa), curso a curso. Queda así manifiesto el carácter competencial de la evaluación, no criterial, tal y como expresan las distintas órdenes para cada etapa.

4.2.2. Evaluar no es calificar

La idea sobre qué significa evaluar en educación es una cuestión tan relevante que ha sido estudiada, desde diferentes perspectivas y con diferentes grados de acercamiento, desde el albor de las Ciencias de la Educación. "Los cambios producidos en la significación de la evaluación, en el tiempo, están relacionados con los cambios producidos en las necesidades sociales y en los planteamientos teóricos y técnicos" (Rul, 1995). Sin ser objeto de esta sección, tan solo referir que la idea sobre qué es evaluar se ha redefinido desde una perspectiva positivista basada en la medida y cuantificación hacia los paradigmas más aceptados hoy día por los autores de referencia mundial, cualitativos y formativos (Blázquez y Sebastiani, 2016; Sanmartí, 2010; López Pastor, 2009; Dylan William, 2024 o Ruiz Martín, 2020, entre otros).

La evaluación puede conceptualizarse como un procedimiento integral y continuo cuyo propósito fundamental es optimizar el aprendizaje. El concepto de evaluación trasciende la calificación, pone el foco en el proceso de enseñanza-aprendizaje desde una perspectiva integradora. El objetivo primordial de la evaluación es la mejora del aprendizaje, y no únicamente su medición, ni mucho menos asignarle una etiqueta numérica. Se recomienda diferenciar estas dos funciones, que nuestro marco normativo contempla al requerir únicamente la calificación al término del proceso, en la evaluación ordinaria, mientras que los demás momentos están destinados de manera prioritaria a la evaluación formativa. El mundo anglosajón, por ejemplo, los separa, llamando grading a la calificación, y esto ayuda al profesorado a no confundir la función social y certificadora de aprendizaje de la calificación (numérica o cualitativa) de su función pedagógica y reguladora de la evaluación, que mejora el aprendizaje y su proceso (Sanmartí, 2017).

El planteamiento actual evaluativo tiene como referencia el paradigma de una evaluación centrada en tareas contextualizadas de la realidad del alumnado, tareas auténticas, más allá de una evaluación sumativa que califique en base a la repetición de contenidos (Bélair, 2000). Las tareas auténticas permiten observar el uso real de habilidades y conocimientos, más allá de su memorización. Este enfoque implica la participación activa del alumnado, es decir, la reflexión sobre su propio aprendizaje y la identificación de áreas de mejora. Para llevarlo a cabo es necesario un proceso continuo de recopilación y análisis de información para tomar decisiones eficaces para la mejora del aprendizaje. De esta forma, el docente es guía para el avance del alumnado de cara a la consecución de sus metas.

Esta idea ha sido abordada en el apartado anterior, donde el marco normativo atribuye a la evaluación diferentes atributos, y, en todas las etapas, destaca el carácter formativo. "El alumnado tiene derecho a ser evaluado conforme a criterios de plena objetividad, a que su dedicación, esfuerzo y rendimiento sean valorados y reconocidos de manera objetiva. Asimismo, el alumnado tiene derecho a conocer los resultados de sus evaluaciones para que la información que se obtenga a través de estas tenga valor formativo y lo comprometa en la mejora de su educación". De hecho, el modelo de situación de aprendizaje que describen los anexos en las distintas etapas educativas dan ese enfoque, para la mejora del aprendizaje.

En consecuencia, la comunicación constituye un elemento esencial para el éxito del proceso evaluativo. Blázquez (2017) señala que la evaluación es un procedimiento colaborativo, fundamentado en la recopilación de evidencias. Se trata de un proceso de reflexión y análisis sobre dichas evidencias, que conduce a la formulación de juicios de valor y a la adopción de decisiones orientadas a la mejora.

Neus Sanmartí (2017) identifica tres momentos claves en el proceso de evaluación, realizando una adaptación a partir de Edwards y Mercer (1988):

1. Recogida de información, de evidencias o herramientas de cualquier tipo, orales, escritas, digitales, interacciones entre iguales, actitud durante la realización del trabajo...
2. Análisis de dicha información y emisión de un juicio de valor.
3. Toma de decisiones de acuerdo al juicio emitido. Dichas decisiones podrán ser de dos tipos. Por una parte, podrán tener un carácter pedagógico o reguladoras del proceso de enseñanza - aprendizaje, en ese caso hablamos de evaluación formativa. Por otro lado, las decisiones podrán tener un carácter social, orientadas a certificar aprendizajes de cara a la sociedad. Esta es la evaluación sumativa o calificación, tiene un carácter finalista.

Momentos clave en el proceso de evaluación según Neus Sanmartí (Elaboración propia: Napkin)

En definitiva, evaluar conlleva reconocer el error como necesario, y el tratamiento del mismo como el centro del proceso para realizar pequeños pero continuos ajustes, individualizados, que nos acerquen al aprendizaje previsto.

4.2.3. La alineación de elementos para la evaluación competencial

Una vez examinado el concepto de evaluación en apartados anteriores, a través de los atributos que los diferentes Decretos y Órdenes otorgan a la evaluación de las distintas etapas (global, continua, formativa, integradora...), se establece que toda evaluación debe aspirar a la objetividad, validez y fiabilidad. Ante estas características, tan deseables como reiteradas, resulta pertinente cuestionar: ¿en qué consisten y cómo se implementan de manera práctica?

Como se ha evidenciado en la presente sección de esta guía, el enfoque de la evaluación reside en el aprendizaje competencial, particularmente en su componente curricular de competencia específica. Por lo tanto, una evaluación debe ser, primordialmente, competencial, es decir, que evalúe lo que se especifica en la competencia concreta. Este concepto constituye la base del principio de validez (que evalúe aquello que se pretende evaluar). La normativa vigente se orienta en esta dirección: la labor docente consiste en desarrollar y evaluar competencias. En las distintas Órdenes para las distintas etapas se indica lo siguiente "Para la evaluación del alumnado se utilizarán diferentes instrumentos [...] coherentes con los criterios de evaluación [...]". Esta noción de coherencia nos dirige hacia la estrategia que podemos implementar para alcanzar dicho objetivo a nivel educativo, que es la alineación de elementos evaluativos. La alineación de elementos implica otorgar coherencia a los distintos elementos que el profesorado debe diseñar para evaluar, con el propósito de evaluar competencias, siguiendo las propuestas de Alcántara y Rodríguez (2024).

Para ello se debe partir de una lectura pedagógica de los matices que nos ofrecen los aprendizajes que debemos abordar con nuestro alumnado: las competencias específicas. El docente debe tener cierta destreza en la lectura de las competencias específicas y en su vinculación con los descriptores operativos, entendiendo sus características internas (ámbitos de aplicación, procesos cognitivos, saberes que se asocian, contextos que sugiere el texto explicativo de la competencia...) pues es, ni más ni menos, el centro de todo el sistema: lo que el alumnado debe aprender y dominar. En consonancia con estos aprendizajes se debe diseñar, por un lado, las situaciones de aprendizaje para desarrollar en clase; y por otro, las evidencias o herramientas que se les va a solicitar al alumnado, es decir, las pruebas que demuestran el proceso y resultado del aprendizaje implementado en el aula. Efectivamente, lo que el alumnado realiza para demostrar su aprendizaje (evidencias) debe estar alineado, ser coherente y ajustado con lo que indican los criterios de evaluación y los elementos que se asocian (competencias específicas, descriptores, saberes básicos...). Este paso, decisivo, es el primero para poder evaluar lo que se pretende: competencias clave, trascendiendo los saberes. Se alinean, entonces, el currículo con el trabajo de clase y las evidencias de aprendizaje.

Como se mostrará más adelante, no todas las evidencias aportan el mismo tipo de información, pues cada una de ellas aportará inferencias sobre aprendizajes distintos y explorarán aspectos distintos de las competencias, en sus tres dimensiones.

Resulta fundamental que exista coherencia y una adecuada alineación entre las observaciones derivadas de las evidencias y los referentes curriculares. Por ejemplo, lo que vamos a observar sobre lo que realiza el alumnado para evidenciar el aprendizaje de un criterio de evaluación debe estar incluido y patente en los criterios de evaluación. Eso que observamos de las evidencias se llama indicador de logro (también se puede referir como ítem evaluativo, criterios de desempeño, de éxito o de realización). Estos indicadores de logro son pistas, rasgos o señales del aprendizaje, es definitiva, indicios de características en positivo o conductas de éxito de algo que realiza el alumnado. Por consiguiente, no deben incorporar información ajena a los elementos curriculares, sino que deben mantener una estricta alineación con la normativa, particularmente con los criterios de evaluación. Este concepto ha sido definido como trazabilidad de los aprendizajes, y la técnica educativa que utilizamos para llevarlo a cabo es la alineación de elementos curriculares.

Una vez asegurada la coherencia y la solidez entre lo establecido por la normativa, el trabajo realizado en el aula y las evidencias o herramientas solicitadas al alumnado; y verificado que lo observado en cada evidencia se alinea adecuadamente con el criterio de evaluación, es necesario integrar los indicadores en un instrumento de evaluación. Dicho instrumento permite manejar con más o menos precisión estos indicadores y obtener información manejable por diferentes agentes (siendo aplicable este instrumento en heteroevaluación, coevaluación o autoevaluación, como se detallará más adelante). Los instrumentos de evaluación categorizados que usualmente se utilizan en el sistema educativo son tres: listas de cotejo, escalas de observación y rúbricas.

De la misma forma que se ha descrito previamente, la elección del tipo de instrumento de evaluación debe ser coherente con el criterio de evaluación y el resto de elementos curriculares. Por ejemplo, no sería adecuado situar estos indicadores en una lista de cotejo, que no diferencia grados de una conducta, para ayudarnos a tomar decisiones de cara a una calificación que necesariamente debe distinguir diferentes niveles de desempeño.

La adecuada alineación de estos elementos garantizará la validez evaluativa, lo cual a su vez fomentará la fiabilidad y la objetividad necesarias.

4.2.4. Las acciones evaluables de los criterios de evaluación como referentes

Los criterios de evaluación constituyen los elementos curriculares más concretos para referenciar la evaluación y su calificación. En el articulado de las diversas Órdenes, dentro de su capítulo dedicado a la evaluación, se establece que "Los criterios de evaluación deben ser susceptibles de medición, por lo cual se requiere el establecimiento de mecanismos objetivos para la observación de las acciones que describen". Asimismo, se indica que, en todas las etapas educativas, "Se tomarán como referentes los criterios de evaluación de las diferentes materias curriculares, a través de los cuales se determinará el grado de consecución de las competencias específicas". En consecuencia, el criterio de evaluación ocupa un lugar central en el proceso evaluativo, y describe acciones que deben ser objeto de observación en el alumnado.

En ese sentido, la función sumativa de la evaluación dirige la toma de decisión sobre el criterio de evaluación: no se pueden calificar instrumentos o evidencias, siendo tan solo los criterios de evaluación quienes pueden recibir estas calificaciones, numéricas o cualitativas.

Es deseable que el análisis de criterios se realice dentro del seno de las estructuras de coordinación de cada centro para tener enfoques amplios y variados. Y con ello se avance un paso más, extrayendo lo que se han denominado acciones evaluables, es decir, desagregar el criterio en acciones concretas, que atomizan el criterio y suelen dar pistas sobre los diferentes grados de desempeño del mismo (de perfección, de profundidad, de cantidad...).

Las acciones evaluables tienen que ver con la lógica interna de la materia, en este caso, de la matemática, de los saberes básicos y las acciones descritas en los descriptores de los que provienen, no siendo un análisis morfosintáctico. Este procedimiento ayudará a ver como algo tangible y operativo lo que en principio puede parecer abstracto, más de aula que de programación.

Continuando con el criterio del apartado anterior, de 1º de Educación Secundaria que dice: "8.2. Reconocer y emplear el lenguaje matemático presente en la vida cotidiana, expresando y comunicando mensajes con contenido matemático y utilizando la terminología matemática más adecuada de forma clara, precisa, rigurosa y veraz" y seguimos los pasos descritos anteriormente, podemos desagregar el criterio en tres acciones evaluables:

• Reconocer el lenguaje matemático presente en la vida cotidiana, expresando y comunicando mensajes con contenido matemático.
• Emplear el lenguaje matemático presente en la vida cotidiana, expresando y comunicando mensajes con contenido matemático.
• Emplear el lenguaje matemático presente en la vida cotidiana, utilizando la terminología matemática más adecuada de forma clara, precisa, rigurosa y veraz.

De esta manera se puede manejar algunos criterios de evaluación que son más complejos por la amplitud en su formulación, ayudando a planificar las evidencias que vamos a pedir al alumnado para verificarlos, por un lado, y a planificar su enseñanza, por otro.

4.2.5. Las evidencias o herramientas de aprendizaje

Las evidencias o herramientas serán las pruebas del aprendizaje que realiza el alumnado y darán información sobre cómo se está llevando a cabo tanto el proceso como el resultado final del mismo. Es decir, por un lado, tienen una función que debe ser FORMATIVA, dando pistas sobre si el alumnado está asimilando bien los nuevos aprendizajes; facilitará la toma de decisiones para verificar el buen camino o corregirlo (hacer algo para que mejore y se encamine hacia los objetivos).

Por otro lado, estas mismas evidencias van a facilitar el resultado final en forma de CALIFICACIÓN; si se obtienen bien alineadas con lo que indican los criterios de evaluación, estarán ya integradas en las actividades de clase y a la hora de calificar servirán tanto para evaluar (dar información de mejora) como para ayudar a poner una nota al criterio de evaluación (calificar).

Sin embargo, es recomendable proponer evidencias a partir de los elementos curriculares sin tener en cuenta el contexto. No se debería planificar las evidencias o herramientas sin tener una idea sobre cómo se va a trabajar en clase esos aprendizajes, es decir, sin tener planteada la situación de aprendizaje. Para ello se debe "buscar el currículo en la vida de nuestro alumnado", valorando por qué puede ser relevante, útil, significativo y de aplicación real lo que indica dicho currículo. Aquí el contexto diferente (de cada clase, centro, barrio, ciudad...) va a variar el planteamiento de trabajo y, con ello, el tipo de evidencias que vamos a necesitar.

Se distinguen tres tipos de evidencias de aprendizaje habituales en la enseñanza no universitaria, siguiendo una adaptación de Alcántara y Rodríguez (2022) sobre Wiggins (1998) y Cortés (2022), siendo:

• Respuestas a preguntas.
• Productos.
• Desempeños y procesos.

Los diferentes tipos de herramientas o evidencias.

A continuación, se muestran ejemplos para las matemáticas de estos tipos de evidencias:

Las respuestas a preguntas

Las respuestas a preguntas son el tipo de evidencia que más se suele utilizar en nuestro sistema educativo. Podemos encontrarlas en diferentes formatos (orales, escritos, digitales...) y se clasifican en tres categorías: cerradas, semiconstruidas y abiertas. Aportan información acerca de la dimensión de los conocimientos, principalmente, y destrezas, en función de cómo se haya diseñado.

Ejemplos de respuestas a preguntas.

Los productos

Los productos son ejecuciones (realizaciones) que necesitan del despliegue de destrezas y conocimientos, principalmente, y se centran en la presentación de algo físico-virtual y concreto. Cuando se evalúa un producto nos referimos exclusivamente a la producción final, no a las valoraciones acerca del proceso de desarrollo de la misma (esto sería un desempeño, que incluye a su vez los productos intermedios). Habitualmente un producto, al observar su proceso de creación, se convierte en una evidencia de desempeño. Los productos aportan información acerca de conocimientos y destrezas de las competencias que evalúan.

Para el diseño de productos competenciales debe observarse con detenimiento lo especificado en la descripción de la competencia específica, que suele proponer ejemplos adecuados, así como los propios saberes básicos, que suelen sugerirlos.

Por otro lado, para abordar la ansiedad matemática, tal como se ha analizado en relación con la brecha de género, es fundamental establecer entornos donde el alumnado pueda reflexionar acerca de sus emociones al enfrentarse a problemas matemáticos (antes, durante y después de su resolución). Este proceso de reflexión promueve la conciencia sobre la interacción entre pensamientos, sentimientos y acciones, lo que puede facilitar la eliminación de ideas negativas. Al reconocer el impacto perjudicial de estos pensamientos, el alumnado puede entender que un bajo rendimiento no siempre está ligado a una carencia de aptitud.

Para ello, el uso de un diario matemático se erige como un producto destacado, permitiendo reflexionar sobre sus dificultades, procesos y emociones. El diario debe tener como objetivo central permitir al alumnado reflexionar sobre sus emociones y los pensamientos asociados con situaciones de ansiedad en matemáticas. Establezcamos algunas pautas para su buen diseño:

• Debe permitir la reflexión sobre las dificultades, procesos y emociones.
• Puede ser útil pedir al alumnado que describa con una palabra su estado emocional (ej. curiosidad, ansiedad, entusiasmo) después de leer un enunciado o al final de la clase, especialmente con alumnado de menor edad o menos autónomos.
• Ayudarles a identificar los pensamientos negativos o "malos" asociados a la ansiedad matemática (ej. anticipar falta de éxito, que la tarea es demasiado difícil, burla de compañeros, preocupación por desaprobación de la familia...).
• Guiarlos para encontrar "pensamientos útiles" y positivos relacionados con la situación (ej. "Estoy preocupado por el examen de matemáticas, pero estudié mucho esta vez y, si mantengo la calma, puedo hacerlo bien"). Se podría pedir que escriban estos pensamientos positivos para cada pensamiento negativo.
• Normalizar el error como parte del aprendizaje. El diario puede ser un espacio para reflexionar sobre los errores sin miedo al juicio, lo cual es crucial en la cultura del aula de matemáticas.
• Ayudar al alumnado a comprender que cometer errores es natural y puede ayudar a la comprensión futura.

Los desempeños o procesos

Los desempeños y procesos son ejecuciones (realizaciones) complejas, habitualmente con interacción social y suelen incluir productos intermedios y finales. Un proceso y un desempeño no son exactamente lo mismo, pero por simplificación los consideramos semejantes.

Es habitual que este tipo de evidencia se suele prolongar en el tiempo, delimitada por un inicio, un desarrollo y un fin. Los desempeños permiten al profesorado obtener mucha más información de todo el proceso que lleva a esa ejecución final que solamente la observación del resultado final. Los desempeños son procesos largos, donde el camino es tan importante como el resultado final.

Tienen un propósito abierto, con múltiples posibles respuestas, donde la creatividad y las habilidades colaborativas y cooperativas son destacables.

ASPECTOS RELATIVOS AL MOMENTO: INICIAL Y CONTINUA

4.2.6. La evaluación inicial de la competencia matemática

El objetivo prioritario de la evaluación inicial es detectar y asignar al alumnado, a cada uno de ellos, así como a la globalidad del grupo-clase, un punto de entrada en la secuencia de aprendizaje, adecuándolo a sus necesidades (Blázquez, 2017).

La evaluación inicial tiene un fundamento teórico potente que la respalda, no sólo conceptual (teoría constructivista, el aprendizaje significativo, el aprendizaje social, la zona de desarrollo próximo...) sino también basado en reciente evidencia científica (Ruiz, 2020). Su sentido pedagógico giraría en torno a varias ideas que vamos a repasar brevemente antes de comenzar a ejemplificar su aplicación a la competencia matemática.

La primera cuestión es que su utilidad diagnóstica no sólo debe centrarse en los conocimientos o ideas previas que el alumnado no dispone (los vacíos, desconocimientos...) sino, además, en los aprendizajes y capacidades que ya tiene adquiridos. Estos aprendizajes constituyen la base de las concepciones previas que tienen una importancia trascendental en lo que se va a enseñar al alumnado pues condicionará el nuevo aprendizaje. Ignorarlo sería, como dice Meirieu (1992) "Hacer como si estuviésemos trabajando en terreno vírgenes, como si no se aprendiera nada fuera de la escuela [...]". La idea de un buen diseño de evaluación inicial no solo sería comprobar, sino también activar los conocimientos previos, movilizarlos y hacerlos patentes y explícitos, poniéndolos en disposición de conectar los nuevos aprendizajes.

Para activar los conocimientos previos, que constituirán los prerrequisitos (aprendizajes previos en su dimensión de conocimientos, destrezas o actitudes), habrá que, en primer lugar, definirlos; y esta definición conlleva analizar las competencias específicas, el nivel competencial del criterio de evaluación del curso anterior y los saberes básicos necesarios para adobar los nuevos aprendizajes.

Otra cuestión a abordar en la evaluación inicial son las concepciones erróneas, que pueden dificultar un correcto marco de comunicación y de avance en el desarrollo de la competencia matemática. Detectar estas ideas equivocadas, y retomarlas para solventarlas, puede ser el mejor tiempo empleado para asegurar un mejor avance posterior.

En definitiva, la evaluación inicial juega una dimensión que habitualmente no se le ha atribuido, pues no solo es verificar los aprendizajes que se van a enseñar, sino, sobre todo, evocar los que son necesarios para poder avanzar; en este momento, tomar decisiones para adaptar el resto de la situación de aprendizaje planteada, así como reforzar las competencias, criterios de evaluación y saberes básicos que no están suficientemente desarrollados.

4.2.7. Características de la evaluación inicial en cada etapa educativa

Una vez revisado el marco conceptual para entender el sentido pedagógico de una evaluación inicial, es recomendable repasar las características de ésta en las distintas etapas, siguiendo las pautas que aportan las diferentes Órdenes de 30 de mayo de 2023, por la que se desarrollan los currículos correspondientes a las etapas de Educación Infantil, Primaria y Educación Secundaria en la Comunidad Autónoma de Andalucía.

En la etapa de Educación Infantil, en su artículo 9 que trata la evaluación inicial, destaca, entre otros aspectos, la valoración de la competencia específica y del desarrollo madurativo, con una observación directa que tendrá como referente los descriptores operativos y los objetivos de etapa. Es por ello por lo que los descriptores operativos STEM 1 Y 4 cobran una relevancia muy importante en infantil, sin menoscabo de los criterios de evaluación de las competencias específicas de las áreas que tengan descriptores operativos STEM asociados, como cuestión más concreta.

En todo caso, debido al marcado carácter globalizado de la etapa y a la edad del alumnado, será un planteamiento general y muy contextualizado el que aportará información sobre la competencia matemática, con indicadores de logro muy observables y alineados con los descriptores operativos.

En la etapa de Educación Primaria y Educación Secundaria se empieza a encontrar algunos aspectos que no estaban presentes en la anterior etapa, adaptándose a las características psicoevolutivas del alumnado. Por ello se destaca que la evaluación inicial ha de ser competencial, no siendo en ningún caso, exclusivamente, una prueba objetiva. Su carácter es prioritariamente orientador, señalando que "será el punto de referencia para la toma de decisiones relativas a la elaboración de las programaciones didácticas y al desarrollo del currículo que se adecuará a las características y al grado de desarrollo de las competencias específicas del alumnado". La competencia específica es la referencia y el elemento a evaluar, sirviendo como guía aproximada para ello la observación del nivel de desempeño del curso anterior, por medio de los criterios de evaluación del nivel previo.

En el área o materia de Matemáticas, las competencias específicas serán la referencia para diseñar las evidencias de evaluación iniciales, competenciales. Es una buena idea considerar una evaluación inicial más profunda y detallada de las competencias específicas que en la evaluación anual de diagnóstico (pruebas censales) se hayan detectado con niveles más bajos. Sobre estas competencias específicas se escogería sus criterios de evaluación e indicadores de logro más detallados, para poder observar con más fiabilidad estos aprendizajes en el alumnado. Sin embargo, se debe tener en consideración las propias limitaciones de estas pruebas, restringidas por el tipo de evidencia que son (respuestas a preguntas), por lo que la dimensión de las competencias clave relacionada con las destrezas queda restringida, y las actitudes, no valorada.

Por un lado, la información de las pruebas de diagnóstico junto con este resultado de la evaluación inicial, en los dos primeros ciclos de Primaria o para primero de Educación Secundaria, ayudará a analizar, valorar y reorientar la práctica docente, sus programaciones (carácter preventivo). Por otro lado, tiene especial relevancia esta evaluación inicial en las medidas de atención a la diversidad y a las diferencias individuales para el alumnado de tercer ciclo o tercero y cuarto de la ESO (carácter correctivo). Estas pautas, dadas por el Decreto 101 y 102/2023 de 9 de mayo, ayudan a sacar provecho de la evaluación inicial, con carácter orientador.

Además de las consideraciones anteriores, un referente interesante a valorar en la evaluación inicial son los informes finales de área/materia, que aportarán información precisa, así como posibles dificultades particulares encontradas en el alumnado.

En cualquier caso, sería una propuesta acorde a la evidencia científica y a los estudios más recientes sobre el fracaso escolar en la competencia matemática incluir las competencias específicas socioafectivas en esta evaluación inicial, reflejando indicadores de logro que nos marcarán referencias sobre la ansiedad matemática, las emociones, actitudes y creencias que el alumnado pueda tener con respecto a su desempeño matemático.

Todo ello conduce a la idea de que la evaluación inicial no puede responder solo a una evidencia de tipo "respuestas a preguntas", sino que requiere, además, de algún desempeño; este desempeño, recordemos, es la ejecución compleja y práctica, habitualmente con interacción social entre alumnado, que suele incluir productos intermedios. Es habitual que sean procesos de cierta duración y que tienen un propósito abierto, con múltiples posibles respuestas.

Con respecto al resto de áreas/materias del currículo de la Educación Primaria, Secundaria y Bachillerato, una propuesta a considerar para que la evaluación inicial profundice en la evaluación de la competencia matemática es priorizar las competencias específicas que tengan vinculación con los descriptores STEM 1 y STEM 4, y pudiendo de esta forma realizar un diagnóstico inicial, pronóstico y diagnóstico, que ayude a situar el nivel inicial a trabajar en un centro que desarrolle un plan para la mejora del razonamiento matemático. Podemos ver la relación entre las competencias específicas de las distintas áreas y los descriptores operativos 1, y 4 de la STEM en las diferentes etapas en las siguientes tablas:

4.2.8. Ejemplos de evaluación inicial para la competencia matemática

Reconociendo que el conocimiento matemático, en cualquier nivel educativo (desde Educación Infantil, pasando por Educación Primaria, hasta Educación Secundaria), no se adquiere por repetición, sino que la competencia matemática se desarrolla al resolver situaciones problemáticas, esto obliga a replantear la evaluación de los conocimientos matemáticos de manera distinta a la tradicional. Es esencial considerar que el conocimiento lógico-matemático es transversal y se evidencia en actividades diversas. Asimismo, dado que todo conocimiento debe contextualizarse para facilitar la comprensión del problema, es crucial tener en cuenta que en los niveles educativos iniciales, los conocimientos están inherentemente contextualizados, lo cual debe reflejarse en la evaluación.

La consideración relativa al ritmo de aprendizaje reviste una importancia capital en estas etapas educativas, siendo difícil concebir un desarrollo del aprendizaje de carácter lineal, en atención a los múltiples factores que concurren y condicionan dicho proceso, tales como las experiencias familiares y sociales del alumnado. En consecuencia, el alumnado de la misma edad evidencia progresos a ritmos notablemente dispares, lo cual exige no sólo la elaboración de progresiones de aprendizaje individualizadas, sino también una evaluación de carácter altamente personalizado y eminentemente formativo. La aplicación de pruebas estandarizadas a la totalidad del alumnado de un aula resulta de escasa utilidad, siendo frecuente que la observación continua y sistemática por parte del docente proporcione información valiosa acerca de las competencias que posee la mayoría del alumnado. La evaluación inicial deberá aportar datos individualizados que permitan diseñar y programar actividades e itinerarios diferenciados.

La evaluación inicial en las etapas de Educación Infantil, Educación Primaria y Educación Secundaria Obligatoria puede tener aspectos coincidentes debido a la estructura curricular similar. Ya hemos mencionado que las competencias específicas van a ser el referente, obteniendo pistas certeras sobre el grado de desempeño previsto de la misma observando los criterios de evaluación del curso anterior. Además de revisar la documentación administrativa del curso anterior, habrá que recabar evidencias o herramientas para conocer qué nivel competencial presenta el alumnado en cada competencia específica.

4.2.9. La evaluación continua para la mejora del aprendizaje matemático

El sentido de la evaluación continua.

En las Órdenes de 30 de mayo que desarrollan el currículo de las diferentes etapas educativas, se establece que la evaluación es continua cuando "[...] se realiza durante todo el proceso de aprendizaje, permitiendo conocer el progreso del alumnado en el antes, durante y final del proceso educativo, realizando ajustes y cambios en la planificación del proceso de enseñanza y aprendizaje, si se considera necesario". En otras palabras, como se expuso en la introducción a este apartado, la naturaleza continua de la evaluación se vincula intrínsecamente con su función formativa, cuyo propósito es perfeccionar el proceso educativo y orientar la trayectoria del alumnado, brindando apoyo cuando se identifiquen obstáculos.

El carácter continuo se mantiene constante en todas las etapas educativas y es recomendable separarlo, todo lo posible, de la idea de calificación. El objetivo principal de la evaluación debe centrarse en la toma de decisiones para mejorar el nivel de desarrollo de las competencias específicas matemáticas y, por ende, de los descriptores operativos STEM, no en su medición ni en la mera cuantificación. No es una calificación continua, sino una recogida de información para la toma de decisiones, que no tiene siempre que comunicarse en términos de calificaciones o notas.

Llegados a este punto, y una vez que la evaluación inicial ha sido empleada para tomar buenas decisiones a principio de curso sobre la programación y el trabajo no solo de la matemática, sino de toda la competencia STEM, se deben plantear la toma de decisión constante.

Las primeras decisiones girarán en torno al planteamiento de una programación de ciclo/departamento para el desarrollo de la competencia matemática coherente con las diferentes fuentes de información disponibles, principalmente los resultados de las pruebas de diagnóstico y la evaluación inicial, así como la memoria de autoevaluación de centro que anteriormente hemos tratado.

4.2.9.1 La creación de instrumentos de evaluación con indicadores competenciales.

Los procesos de evaluación comienzan en el primer instante que iniciamos una propuesta curricular, siempre con la referencia clara de la competencia específica desarrollada, los criterios de evaluación planteados y los saberes básicos movilizados que vamos a necesitar. Esta concreción curricular, origen del trabajo didáctico, orienta el planteamiento de un buen plan de evaluación de la competencia matemática.

Es por ello, tal como indica Pérez Pueyo y colaboradores (2024), que la planificación temprana de las evidencias o herramientas de aprendizaje es una característica propia y diferenciadora de otros modelos didácticos, que no son una situación que genera aprendizaje, y ello nos permite organizar la secuencia didáctica de una forma más ordenada y coherente.

Al inicio del diseño didáctico, se debe tener previsto tanto el producto final, reto o desempeño de la situación de aprendizaje como las evidencias o herramientas que el alumnado va a ir produciendo durante el camino a ese producto final.

El siguiente paso sería realizar las acciones necesarias para responder a la siguiente pregunta: ¿Qué voy a observar de esas evidencias para asegurarme que desarrollan las competencias y criterios de evaluación previstos? ¿Qué características positivas o conductas de éxito deben tener para desarrollar la competencia prevista? Esto nos lleva a la redacción de indicadores de logro que orienten el trabajo.

A continuación, algunos ejemplos para entender la importancia de redactar correctamente estos indicadores y que orienten a obtener del alumnado evidencias de calidad para la competencia matemática.

Los indicadores de logro aluden a la calidad esperada de las evidencias o herramientas producidas por el alumnado. En consecuencia, se sugiere que constituyan un punto de inicio adecuado para establecer una noción compartida de calidad entre docentes y alumnado, así como un medio para el diálogo durante la retroalimentación, con el objetivo de fomentar la mejora y el progreso.

Dichos indicadores de logro deben ubicarse en un espacio físico específico para gestionar el flujo de información que se generará a partir de las observaciones del alumnado, lo que se conoce como instrumento de evaluación. Estos instrumentos, categorizados como se mencionó anteriormente, son tres y proporcionan control sobre el proceso de evaluación. Cada uno de ellos tendrá ventajas e inconvenientes, dependiendo del propósito que nos planteemos y del tipo de evidencia. Vamos a ver ejemplos de instrumentos:

Dichos instrumentos, una vez elaborados, facilitarán la toma de decisiones para abordar los posibles errores o deficiencias que el alumnado pueda manifestar en su desempeño. Su utilización tiene un carácter primordialmente formativo, con el objetivo de proporcionar información al alumnado, al profesorado y a las familias sobre el progreso del proceso de aprendizaje y las posibles vías de mejora que se puedan establecer. Constituiría, tal como señala Sanmartí (2020), una pausa reflexiva con el fin de tomar decisiones que optimicen el aprendizaje.

Estas decisiones deben ser compartidas, no debiendo pensar que el uso de estos instrumentos es solo por parte del profesorado, sino que debe utilizarse de forma conjunta con el alumnado, en coevaluación y autoevaluación. Tal como Hattie y Clarke (2020) proponen, estas dos modalidades de uso deben funcionar de forma conjunta para tener éxito, y en este caso, deben siempre entenderse como evaluación, no calificación.

Tratamiento del error en el aula de matemáticas.

La comprensión del error en matemáticas ha evolucionado a lo largo de la historia de las ciencias de la educación, pasando de interpretaciones meramente cuantitativas a miradas integradoras que destacan su valor didáctico como herramienta de optimización del aprendizaje. Para concebir el error como un recurso pedagógico, es esencial articular distintos niveles de análisis: desde su identificación hasta su inserción en propuestas metodológicas.

En primer lugar, el error ofrece a los docentes una oportunidad única de organizar las actividades en el aula (Carrión Miranda, 2007). Más que como un indicador de fallo, cada error se convierte en pistas desde las cuales, los docentes pueden diagnosticar las concepciones incompletas o erróneas del alumnado y, de ese modo, reorientar las acciones y actividades en el aula de matemáticas.

Desde una perspectiva constructivista, los errores actúan como "contraejemplos" que delimitan fronteras de lo correcto, enriqueciendo la experiencia de aprendizaje negativo y convirtiéndose en un conocimiento necesario para avanzar (Oser & Spychiger, 1999). Para que esta experiencia sea productiva, el alumnado debe comprender, analizar y corregir conscientemente sus errores, generando estrategias de prevención futuras.

Por ello, el alumnado debe adoptar un papel activo en la investigación de sus errores, por lo que los docentes deben diseñar e incluir tareas en el aula de matemáticas donde se incluyan problemas que puedan provocar errores controlados, haciendo así que el alumnado detecte, clasifique sus errores y explore soluciones a los mismos.

Por tanto, el papel de la evaluación formativa es fundamental a lo largo de todo el proceso de aprendizaje. De este modo, el error se transforma en un indicador fundamental que permite al docente ofrecer al alumnado una información clara y ajustada sobre en qué punto del aprendizaje se encuentra y qué le falta por alcanzar. El uso de instrumentos de evaluación, que desglosan los criterios de evaluación en niveles de complejidad, permite vincular errores concretos a saberes o procesos específicos. Esta claridad conceptual ayuda al alumnado a interpretar mejor sus propios fallos y a verlos como parte del proceso de mejora.

Los datos extraídos de las evidencias de aprendizaje muestran que el alumnado que comprende con precisión qué aprendizajes ha adquirido y cuáles no, tiende a mejorar significativamente en evaluaciones posteriores. El error deja de ser una barrera y se convierte en una señal útil para redirigir el esfuerzo y tomar decisiones informadas sobre el propio aprendizaje. Esta práctica fomenta, además, una actitud activa hacia la autoevaluación, en la que el alumno se convierte en protagonista del análisis de sus logros y dificultades.

Para canalizar este potencial, es recomendable diseñar o emplear rúbricas formativas que den pistas al alumnado de su nivel de desempeño, acompañadas de ejemplos (modelos o experiencia previas) que permitan al alumnado identificar los distintos niveles de rendimiento, invitándole a identificar en cuál de ellos se encuentra y reflexionar sobre qué aprendizajes debe adquirir o desarrollar para alcanzar niveles superiores.

La dimensión afectiva no puede tampoco obviarse: exponer públicamente los errores genera en gran parte del alumnado sentimientos de vergüenza y distorsión de la autoimagen. Diferenciar espacios de análisis privado y colectivo, así como gestionar cuidadosamente la retroalimentación, favorece un clima emocional que potencia la autoestima y minimiza el estigma. En el aula de matemáticas se debe evidenciar que el error es parte de un proceso de construcción de razonamiento matemático, fortaleciendo así la confianza del alumnado en sí mismo. En definitiva, el alumnado debe percibir que el error conlleva un riesgo bajo y que no tiene consecuencias negativas, pues de lo contrario, tenderá a no hacerlo visible y, con ello, cesará la autorregulación del aprendizaje.

Del mismo modo, la retroalimentación constituye un elemento esencial del tratamiento del error, al convertirse en la herramienta más poderosa de que dispone el profesorado para guiar al alumnado en su proceso de mejora. No se trata únicamente de corregir, sino de comunicar con claridad y propósito qué se ha hecho, por qué está bien o mal, y sobre todo, qué puede hacerse para mejorar. Este enfoque, conocido como feedforward, orienta la mirada del alumno hacia el futuro y fomenta la acción. No obstante, el feedback también tiene una dimensión emocional que debe ser gestionada con cuidado: su impacto puede ser tan positivo como negativo. Para ser eficaz, el feedback debe adaptarse a la mentalidad del alumnado. Aquellos con una mentalidad fija, que perciben sus capacidades como inmutables, necesitan estímulos positivos que les animen a cambiar su forma de pensar; mientras que quienes poseen una mentalidad de crecimiento pueden beneficiarse más directamente del señalamiento de errores y propuestas de mejora. Además, el feedback debe presentarse de forma dosificada, razonada y abierta, favoreciendo la autorregulación y la reflexión del estudiante. A menudo, en lugar de señalar directamente el error, resulta más efectivo provocar que sea el propio alumno quien lo descubra a través de preguntas orientadoras. Finalmente, para que la retroalimentación cumpla su función, ha de estar acompañada de oportunidades reales para que el alumnado la aplique. Un feedback que no se pone en práctica es tiempo perdido; solo tiene valor si es útil, si se transforma en acción y, en definitiva, si el alumnado lo asume y lo utiliza para aprender.

En definitiva, el tratamiento del error en el aula de matemáticas trasciende la corrección punitiva: integra análisis, metodologías activas y dimensiones afectivas para convertir cada equivocación en una oportunidad de aprendizaje profundo, resiliente y significativo.

Autoevaluación y Coevaluación en matemáticas

En el ámbito de la enseñanza de las matemáticas, la evaluación adquiere un matiz formativo esencial: no se trata únicamente de comprobar si el alumnado ha alcanzado un objetivo, sino de fomentar su capacidad para autorregularse y colaborar en su propio aprendizaje. Tal como se señaló en la investigación exploratoria realizada en docentes de educación básica, la autoevaluación invita al alumnado a reflexionar críticamente sobre su desempeño, identificar las lagunas en su comprensión y proponer acciones de mejora (García et al., 2016).

Aplicado a matemáticas, esto puede concretarse en actividades como una lista de cotejo al resolver ecuaciones cuadráticas, donde el alumno se formule preguntas del tipo:

• "¿He planteado correctamente la ecuación en forma estándar?"
• "¿He comprobado las raíces sustituyéndolas en la ecuación original?"
• "¿Identifico claramente el paso en el que suelo cometer errores?"

De este modo, la autoevaluación refuerza el pensamiento metacognitivo y promueve la autonomía, permitiendo que el propio estudiante reconozca sus avances y asuma responsabilidad sobre ellos.

Por su parte, la coevaluación (también recibe el nombre de evaluación entre pares) enriquece el proceso al incorporar distintas perspectivas y legitimar el aprendizaje colaborativo. En matemáticas, un ejemplo sencillo consiste en intercambiar soluciones de un problema: cada alumno revisa el procedimiento y aporta comentarios sobre la claridad de las construcciones, el rigor de los razonamientos y la precisión de la solución. Esta dinámica, sustentada en criterios consensuados mediante rúbricas, no solo mejora la calidad del trabajo evaluado, sino que también desarrolla en el alumnado habilidades de argumentación y de discernimiento matemático (Ramis, Payeras & Carrasco, 2018).

Para integrar ambas prácticas de forma eficaz, el docente de matemáticas puede seguir estos pasos:

1. Definir criterios claros en una rúbrica breve (por ejemplo: corrección del procedimiento, coherencia del argumento, uso adecuado de símbolos).
2. Programar momentos de autoevaluación al cierre de cada tema, invitando al alumnado a completar un breve cuestionario de tres preguntas metacognitivas.
3. Organizar coevaluaciones en parejas o tríos, facilitando la discusión guiada de las observaciones y fomentando el respeto por las distintas formas de resolver un mismo problema.

En conclusión, incorporar la autoevaluación y la coevaluación en las clases de matemáticas significa transformar la evaluación en una herramienta de aprendizaje profundo, donde el alumnado deja de ser un mero receptor de juicios ajenos para convertirse en protagonista activo de su formación.

4.2.10. La calificación

La calificación o evaluación sumativa es un momento socialmente muy importante por la significación que tiene, al suponer la integración de todo el proceso, de forma consensuada, en una etiqueta que intenta, de alguna forma, recoger toda la información que se ha ido analizando y recogiendo. "[...] la evaluación calificadora es vista como un último juicio. Interviene al final de una etapa, de un curso, de una unidad y, en este estadío, ya no hay tiempo para aprender más, es el momento del balance, de la hora de la verdad" (Perrenoud, 2001).

Como anteriormente se ha apuntado, calificar es certificar aprendizajes, con una función social muy marcada, y para ello se pretende valorar lo que conoce y hace el alumnado con respecto a lo que indica un criterio de evaluación ("evaluamos competencias observando sus criterios"). No se debe olvidar que evaluamos las competencias específicas ("la evaluación es competencial"), y con ello, el perfil competencial (los descriptores operativos).

A lo largo de los puntos anteriores se han dado algunas indicaciones y ejemplos para que la evaluación de la competencia matemática sea coherente con las competencias específicas, es decir, para que se intente valorar realmente competencias, y no solo saberes básicos. Los instrumentos que se han ido diseñando ayudan a observar aspectos de las herramientas o evidencias del alumnado y que su uso sea formativo; ahora, al llegar el momento de calificar, ese proceso de evaluación debe converger en una nota (una etiqueta) que intente resumir esa información que se ha ido atesorando durante todo el proceso. Esa "fotografía" que supone un "alto en el camino" durante el aprendizaje, en un momento determinado, es lo que habitualmente se entiende por calificación.

En las distintas etapas educativas, la evaluación sumativa tiene algunas particularidades. Por ejemplo, en Educación Infantil, la calificación se formula en términos cualitativos de cuatro niveles "La valoración del proceso de aprendizaje se realizará en términos cualitativos. Esta se expresará con la siguiente escala de calificación: no adecuado, adecuado, bueno y excelente". Mientras, en el resto de etapas, se realizará tanto cualitativa como cuantitativamente, en cinco niveles "[...] boletín de calificaciones que tendrá carácter informativo y contendrá tanto calificaciones cualitativas como cuantitativas, expresadas en los términos Insuficiente (IN): 1, 2, 3 o 4. Suficiente (SU): 5. Bien (BI): 6. Notable (NT): 7 u 8. Sobresaliente (SB): 9 o 10".

Para esta valoración coherente y alineada de las competencias específicas, el sistema de información Séneca ofrece rúbricas holísticas de los criterios de evaluación, que ayudan a situar al alumnado en los diferentes grados de desempeño. Para ayudar a valorar con rigor los diferentes niveles se cuenta con la ayuda de todo el proceso de evaluación, que aporta información. La calificación tiene como referencia el criterio de evaluación observando el desempeño del alumnado sobre sus evidencias o herramientas. Por ello la calificación no se realiza a esas evidencias, ni a los instrumentos, sino que ambos tan solo median para procurar información que nos ayudará a situar al alumnado con respecto al criterio.

Atendiendo a todo lo descrito anteriormente, la calificación proviene de la media de las competencias específicas, sin ponderar. "Para determinar la calificación del alumnado no se ponderarán criterios de evaluación, ni instrumentos de evaluación, dado que se evalúan desempeños, se considerarán desarrollados en mayor o menor medida, y será ese grado de desempeño lo que determinará la calificación del alumnado, independientemente del instrumento utilizado para evaluarlo. Teniendo en cuenta que todas las competencias hay que trabajarlas y no existe jerarquía entre ellas, estando establecido en la normativa en vigor, a través de la relación con los descriptores operativos, el peso relativo de cada una".

4.3. METODOLOGÍAS ACTIVAS Y ESTRATEGIAS PARA EL APRENDIZAJE COMPETENCIAL

Como se ha venido a observar en los apartados anteriores, el enfoque competencial requiere un cambio en la vida de aula, en la práctica diaria de centro y en la forma de planificar cómo enseñamos -cómo se produce aprendizaje- la competencia matemática en nuestro alumnado. Cambiar aspectos metodológicos en las aulas se considera esencial para poder llevar a cabo una renovación en la enseñanza. Es decir, la renovación de los aprendizajes, aunque necesaria, no es suficiente si no va acompañada de una nueva práctica pedagógica. La siguiente afirmación la podríamos situar como "adecuada" para el enfoque competencial actual, pero no dejemos de considerar el año de la misma: "Demasiados ensayos educativos incurren en la triste paradoja de pretender enseñar las matemáticas modernas con métodos arcaicos, es decir, esencialmente verbales y basados solamente en la transmisión más que en la reinvención o redescubrimiento" (Piaget, 1978, p. 185). Ejemplo de esta paradoja se observa en algunas prácticas actuales, incluso con el uso de las nuevas tecnologías, donde el alumnado observa y repite lo que el profesorado muestra en la pantalla, sin profundizar en el razonamiento.

4.3.1. Metodologías activas

Partir de la experiencia y acción tendrá como consecuencia inmediata la generación de recursos didácticos, muchos de los cuales son valorados por el profesorado actual cuando acceden a ellos. A través de los materiales, el alumnado inspecciona, descubre, construye, genera imágenes y establece semejanzas y variaciones de las situaciones, etc. lo que sugiere un proceso de aprendizaje que su mente debe controlar. Se asume que la manipulación era un primer paso motivador para estimular la acción mental de los aprendices sobre los objetos y con los objetos. Después de estas actividades y experiencias manipulativas deberán introducirse, de manera progresiva, otros recursos que faciliten la entrada en la abstracción matemática. A este respecto, es interesante observar la validez de estas propuestas en la enseñanza actual (Alsina, 2004).

Asumir la resolución de problemas como actividad esencial en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas implica relacionar los aspectos esenciales de la naturaleza de la disciplina y de sus aplicaciones. Debería, para ello, favorecerse la realización de experiencias de trabajo escolar para que el alumnado llegara a dominar conceptos y procesos que se reflejan en distintas situaciones matematizables, para que pudieran ser capaces de pensar matemáticamente, aplicando sus conocimientos matemáticos a otras disciplinas y realidades, sociales y personales.

4.3.1.1. Aprendizaje activo

La investigación en didáctica de las matemáticas nos dice que para conseguir mejoras en la educación matemática debemos apostar por metodologías que promuevan un aprendizaje activo. Entendemos por aprendizaje activo aquel que persigue que el alumnado participe de manera protagonista de la actividad matemática del aula: pensando, reflexionando, hablando, comprobando, argumentando, explicando, experimentando, comparando, etc.

En primer lugar, se hace necesario definir someramente este término, fundamental para comprender el enfoque competencial pero usualmente malinterpretado. Y es que existe un potente cuerpo de conocimiento y evidencia (Willingham, 2009; Ruiz, 2020) que nos indica que el aprendizaje profundo y duradero sucede cuanto más profundamente procesamos una información en términos de significado. Es decir, "aprendemos aquello sobre lo que pensamos en términos de significado". Este término sería el aprendizaje activo.

Ruiz (2020) nos indica al respecto que "con frecuencia se confunde el aprendizaje activo con aquellas prácticas educativas en las que el alumno hace cosas. Esto es, se identifica con el denominado learning by doing (aprender haciendo). Sin embargo, el aprendizaje activo no es eso, realmente. Más bien se definiría como un learning by thinking (aprender pensando)".

Cualquier práctica de aprendizaje activo debe incluir actividades que orienten y garanticen que el alumnado está reflexionando sobre lo que aprende, a través de lo que habitualmente se conoce como actividades de elaboración, metacognición y actividades generativas.

El aprendizaje activo (Ruiz, 2020), conlleva un principio asociado de un aprendizaje con comprensión, y se adentra en la idea de "dar tiempo" para profundizar en el objeto de aprendizaje, razonando en distintos contextos y dando la posibilidad al alumnado de que pase de lo concreto a lo abstracto, conectando lo aprendido con múltiples situaciones. En este sentido debemos delimitar qué más profundidad no es más amplitud: no son más conocimientos (más y más detalles) sino que estos conocimientos deben conectarse con los más posibles. De aquí nace la idea de que los procesos matemáticos -las competencias específicas- necesitan de más tiempo para consolidarse de forma profunda, siendo elementos de etapa; y para ello necesitamos movilizar los sentidos -saberes básicos- necesarios, pero para conectarlos entre sí y buscando transferencia. "No más es mejor".

Puig i Adam (1955) afirmaba, en el punto 5 de su "Decálogo de la didáctica de la matemática" que es preciso "enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumnado". Y resulta evidente que la rutina, las recetas y la automatización de procedimientos anulan la creatividad. Para promover esa creatividad, además de interesantes, las actividades que propongamos tienen que sobrepasar la concepción de las matemáticas como un conjunto de reglas y procedimientos que aplicar, o como un conjunto de leyes y propiedades inmutables que ir descubriendo.

4.3.1.2. Práctica productiva y práctica reproductiva

En las aulas de Educación Infantil coexisten diversos métodos para enseñar matemáticas. Baroody y Coslick (1998) distinguen cuatro métodos de enseñanza centrados en la actividad matemática del aula, sintetizados por De Castro (2007):

• Enfoque de destrezas: contempla el aprendizaje matemático como la memorización de destrezas básicas a través de la repetición. El objetivo principal es adquirir un conjunto de reglas, fórmulas y procedimientos. El alumnado es considerado vacío de contenido e incapaz de comprender por sí mismos la mayor parte de conocimientos matemáticos. Las tareas no acostumbran a estar relacionadas con el entorno cercano y se encuentran alejadas de sus intereses. El énfasis en la repetición hace que el alumnado adquiera destrezas de ejecución, aun careciendo de sentido.
• Enfoque conceptual: se empieza a contemplar la necesidad de comprender y adquirir el aprendizaje de procedimientos. Su objetivo principal es conseguir esta adquisición desde la significatividad y la comprensión del alumnado. Se entiende la enseñanza como un proceso donde es necesario, en ocasiones, hacer uso de dibujos o materiales manipulativos.
• Enfoque de resolución de problemas: se conciben las matemáticas como un espacio en el que el alumnado puede reflexionar y razonar aquello que le despierta curiosidad. A su vez considera a los niños y niñas como poseedores de la capacidad de construir sus propios conocimientos. El objetivo principal de este enfoque es introducir al alumnado en la actividad matemática mediante la resolución de problemas reales y cercanos. El papel del maestro es el de acompañante en el proceso, entendiendo al alumnado como protagonista de su aprendizaje.
• Enfoque investigativo: es una combinación entre el enfoque conceptual y el de resolución de problemas. Entiende las matemáticas no sólo como adquisición de conceptos y procedimientos sino también como proceso de investigación. El alumnado decide el camino que deben recorrer en su aprendizaje matemático y el docente es su orientador, que actúa solo cuando ellos se bloquean ante la tarea. El principal objetivo es conseguir que el alumnado, por sí mismo, llegue a sus propias conclusiones mediante reflexión, razonamiento, representación, resolución de problemas e investigación.

Los enfoques anteriores se pueden extrapolar a las diferentes etapas educativas, pero su implementación sería bien distinta. Los enfoques de destrezas y conceptual, se suelen encuadrar dentro de una práctica reproductiva basada en la repetición normalmente mecanizada de un procedimiento, a menudo descontextualizado, no vinculado a la resolución de un problema y sin darle significado a la operación. Si bien la práctica es necesaria en el desarrollo de la competencia matemática, es preciso darle sentido a esa práctica, aportando significado para que no quede reducida a la aplicación mecánica de algoritmos o procedimientos, vinculándola a contextos reales y cercanos o planteando preguntas que no pasen por la mera mecanización. Ese tipo de práctica se denomina práctica productiva, y no solo contribuye a dinamizar la propia práctica, sino que, al darle sentido, hace que el aprendizaje sea más significativo. Esta práctica productiva se correspondería con los enfoques de resolución de problemas e investigativo.

Ejemplos de cada tipo: parcialmente tomados de Puntmat y de Blanco, Caballero y Cárdenas (2015) y de elaboración propia son:

4.3.1.3. Estrategias metodológicas

Según Joan Mallart (1999), una estrategia metodológica se define como: "El conjunto de decisiones conscientes y planificadas que el docente toma en relación con los métodos, técnicas, actividades y recursos que utilizará en el proceso de enseñanza-aprendizaje, con la finalidad de facilitar la construcción del conocimiento significativo por parte del alumnado y alcanzar los objetivos educativos propuestos".

En nuestro marco normativo, una estrategia metodológica se define como un conjunto planificado y reflexivo de decisiones pedagógicas orientadas a promover un aprendizaje competencial, activo, significativo e inclusivo. Veamos a continuación distintas posibilidades para fomentar esa visión en el diseño del aprendizaje competencial matemático.

4.3.1.3.1. Aprendizaje cooperativo

Desde una perspectiva teórica, el aprendizaje cooperativo se fundamenta en las teorías constructivistas y del aprendizaje social. Se define como el uso instruccional de pequeños grupos donde los estudiantes trabajan juntos para maximizar tanto su propio aprendizaje como el de sus compañeros. De acuerdo con la teoría de la interdependencia social, este método se basa en la diferenciación entre interdependencia positiva (cooperación) e interdependencia negativa (competencia). La interdependencia positiva se establece cuando el alumnado percibe que su éxito individual está intrínsecamente ligado al éxito del grupo, promoviendo una responsabilidad mutua y un interés compartido por el aprendizaje colectivo.

El aprendizaje cooperativo ofrece diversos beneficios en la enseñanza de las matemáticas. En primer lugar, fomenta una comprensión profunda de los aprendizajes, ya que al explicar conceptos a sus compañeros y compañeras, el alumnado consolida su propio conocimiento y, en segundo lugar, este enfoque contribuye al desarrollo de habilidades de comunicación, ya que la necesidad de expresar ideas matemáticas de forma clara y precisa mejora tanto la comunicación oral como escrita.

Otro aspecto relevante es la promoción de la resolución de problemas, puesto que trabajar en equipo permite la exploración de diferentes enfoques y estrategias, favoreciendo el pensamiento crítico y la negociación de soluciones. También se ha demostrado que el aprendizaje cooperativo incrementa la motivación y el compromiso de los estudiantes, al generar un entorno de apoyo y pertenencia que reduce la ansiedad frente a las matemáticas y mejora la actitud hacia la asignatura. Finalmente, este enfoque favorece el desarrollo de habilidades sociales esenciales, como la colaboración, la resolución constructiva de conflictos y el respeto por las opiniones ajenas.

Nuestro currículo actual de matemáticas en las etapas de educación Primaria y Secundaria (concretamente en las competencias específicas 7 y 8 en Primaria, 9 y 10 en Secundaria), enfatiza el desarrollo de destrezas personales y sociales fundamentales para el aprendizaje significativo de la misma. En particular, se promueve la gestión emocional ante los retos matemáticos, la aceptación del error como parte del proceso de aprendizaje y la adaptación a la incertidumbre. Asimismo, se fomenta la participación activa en equipos de trabajo heterogéneos con roles asignados, permitiendo la construcción de una identidad positiva como estudiante de matemáticas y el fortalecimiento de relaciones interpersonales saludables. En este contexto, el aprendizaje cooperativo se presenta como una estrategia didáctica idónea para abordar estos objetivos curriculares, facilitando un entorno de colaboración que potencia tanto el desarrollo académico como el crecimiento personal del alumnado.

La mejora de la calidad de la enseñanza de las matemáticas supone la consideración simultánea de dos características fundamentales para el proceso de enseñanza y aprendizaje de esta disciplina. La primera de ellas se refiere a la naturaleza de las matemáticas, ya que es muy frecuente su consideración como una materia cuyo estudio sólo puede ser afrontado en solitario, sin más posibilidad de relación interpersonal del alumnado que la derivada de su proximidad espacial en el aula o, en el mejor de los casos, de la valoración social que sus compañeros y compañeras o los mismos docentes le ofrecen como consecuencia de los resultados obtenidos. Frente al carácter elitista que de este tratamiento se deriva, con la consiguiente pérdida de capacidades para el propio individuo y para la sociedad, es necesario que los docentes tomen en cuenta los resultados de las numerosas investigaciones realizadas en este campo. Dichos estudios muestran maneras de atender a las exigencias impuestas por la naturaleza de las matemáticas, tales como la conceptualización personalizada y la diversificación de los procedimientos seguidos en el proceso de construcción del conocimiento.

La segunda característica se refiere al papel desempeñado por el alumnado, generalmente limitado a la recepción de información y al cumplimiento de las instrucciones del profesorado, sin que, en la mayoría de los casos, exista posibilidad para el cuestionamiento. En la actualidad, resulta prioritario reconocer al alumnado como autor de su propio proceso de construcción del conocimiento. Diversos estudios (Ginsburg, Marika, Rhorbeck y Fantuzzo, 2006; Ke y Grabowski, 2007; Rubel, 2006) destacan la importancia de poner a su alcance los medios necesarios para el desarrollo de sus capacidades: tareas de aprendizaje abiertas y multifacéticas, recursos materiales y personales variados, y una interacción dinámica con el profesorado y el grupo.

El aprendizaje cooperativo ha demostrado ser un método efectivo para superar las limitaciones de los enfoques más tradicionales. Al proporcionar un foro donde el alumnado puede preguntar, discutir, recibir nuevas ideas y sintetizar descubrimientos, el grupo se convierte en un medio idóneo para el progreso de todos. Investigaciones como las de Dubinsky, Mathews y Reynolds (1997) y Staples (2007) han evidenciado que el trabajo cooperativo mejora el rendimiento matemático al fomentar la interdependencia positiva y la motivación del grupo. Además, el aprendizaje cooperativo permite fortalecer la confianza del alumnado en sus capacidades, reduciendo el miedo al error y promoviendo la perseverancia, aspectos esenciales en la enseñanza de las matemáticas.

El papel del profesorado en este contexto es crucial. No solo debe coordinar y gestionar la dinámica del aula, sino también planificar actividades de aprendizaje que favorezcan la interacción, seleccionar problemas matemáticos que permitan diversas estrategias de resolución y estructurar la evaluación de manera coherente con la naturaleza del aprendizaje cooperativo. David Robson (2019) señala que muchos fracasos en matemáticas se deben al temor y la falta de comprensión de su aplicabilidad más allá de simples operaciones. Este problema se ve agravado por estrategias de enseñanza que limitan la autonomía del estudiante. Hernández y Olmos argumentan que, en los nuevos modelos pedagógicos, el alumnado construye activamente su conocimiento, desarrollando aptitudes y competencias esenciales para internalizar efectivamente las matemáticas. Asimismo, Orrantia enfatiza la creciente demanda social de altos niveles de competencia en matemáticas, una necesidad que contrasta con el pobre desempeño reflejado en pruebas como PISA.

En este sentido, estrategias cooperativas podrían mejorar estos resultados al introducir procesos más dinámicos y colaborativos. Las teorías de Piaget, Vygotski y Ausubel han demostrado que la interacción social desempeña un papel clave en el aprendizaje significativo. Díaz Ciriaco (2009) introduce el concepto de "aprendizaje significativo", enfatizando que el nuevo conocimiento debe vincularse de manera sustantiva con el conocimiento previo del estudiante.

Desde la Psicología de la Educación, Collazos y Mendoza (2006) definen la interacción entre iguales como un proceso en el cual los estudiantes intercambian información, habilidades y emociones, promoviendo la internalización de nuevos conceptos. Zavala describe el aprendizaje cooperativo como un sistema de interacciones diseñado para inducir la responsabilidad compartida del aprendizaje dentro de un equipo. En definitiva, el aprendizaje cooperativo no solo favorece el desarrollo de competencias matemáticas, sino que también fortalece habilidades sociales y emocionales cruciales para la vida académica y personal de los estudiantes, lo que puede derivar en una contribución significativa a la mejora de los resultados académicos. Al implementar esta estrategia, los docentes pueden transformar la enseñanza de las matemáticas en una experiencia más significativa, colaborativa y enriquecedora, preparando al alumnado para enfrentar los desafíos del aprendizaje de manera individual y colectiva.

4.3.1.3.2. Cultura del pensamiento

El pensamiento es una capacidad innata del ser humano, pero su desarrollo pleno requiere de un trabajo estructurado y consciente. En el contexto educativo, la cultura de pensamiento es una estrategia metodológica que busca fomentar un entorno donde el alumnado pueda desarrollar y visibilizar sus habilidades cognitivas, promoviendo la reflexión, el análisis y la toma de decisiones. Perkins (1998) señala que los niños y las niñas deben crecer inmersos en una cultura del pensamiento para que, al llegar a la adultez, sean capaces de abordar situaciones complejas con autonomía y criterio.

Esta metodología se caracteriza por desarrollar actitudes, habilidades y alertas de pensamiento que, de manera espontánea, no se manifiestan en la mayoría de los estudiantes. Según el Proyecto Zero (1967) de la Universidad de Harvard, muchas personas carecen de una disposición activa hacia el pensamiento crítico y reflexivo, mostrando indiferencia ante situaciones que podrían incitar a la reflexión. Por esta razón, es fundamental crear en el aula un entorno que propicie el pensamiento estructurado y consciente.

Uno de los principales desafíos de la enseñanza del pensamiento radica en su invisibilidad. A diferencia de otros aprendizajes, como la escritura o la música, el pensamiento no puede percibirse directamente. Perkins afirma que el pensamiento se mantiene "bajo el capó" de nuestra mente, pero el profesorado puede hacer que sea visible a través de estrategias específicas. Entre ellas, destacan la formulación de preguntas abiertas, el uso de mapas conceptuales y la incorporación de rutinas de pensamiento que sistematicen la reflexión y el análisis crítico.

El pensamiento visible, concepto desarrollado en el Proyecto Zero de Harvard, busca hacer explícitos los procesos cognitivos del alumnado, permitiéndole documentar y expresar sus ideas, preguntas y reflexiones en desarrollo (Tishman y Palmer, 2005). Al visibilizar el pensamiento, se transforma la cultura del aula, fomentando la motivación y la implicación del alumnado, quienes encuentran más oportunidades para compartir sus ideas y argumentaciones. Este proceso los convierte en aprendices activos, curiosos y comprometidos (Tishman y Palmer, 2005).

Para fomentar una cultura del pensamiento en matemáticas, Ritchhart (2014) propone trabajar con ocho fuerzas clave:

• Tiempo: Brindar al alumnado el tiempo suficiente para procesar la información y desarrollar su pensamiento.
• Oportunidades: Diseñar actividades auténticas que fomenten la exploración y la aplicación del conocimiento matemático.
• Rutinas: Implementar estructuras organizadas que promuevan el desarrollo de diferentes tipos de pensamiento.
• Lenguaje: Usar un lenguaje específico del pensamiento que permita al alumnado identificar y describir sus procesos cognitivos.
• Creación de modelos: Permitir que el alumnado comparta y discuta sus ideas, construyendo modelos de pensamiento en conjunto.
• Interrelaciones: Fomentar un ambiente donde se valore el respeto por las ideas ajenas y se incentive el trabajo colaborativo.
• Entorno físico: Diseñar un espacio que favorezca la interacción y la reflexión, como aulas flexibles y laboratorios de matemáticas.
• Expectativas: Definir claramente los objetivos de aprendizaje para orientar el pensamiento de los estudiantes.

Dentro de esta metodología, el pensamiento visible juega un rol crucial. Tishman y Palmer (2005) lo definen como cualquier forma de representación perceptible del pensamiento, ya sea en forma de preguntas, argumentaciones o ideas en proceso. Esto permite al profesorado identificar el nivel de comprensión del alumnado y guiarlo en su desarrollo cognitivo. Además, este enfoque permite al alumnado evaluar sus propias ideas en el proceso de aprendizaje, conectándolas con conocimientos previos y comprendiendo sus propias reflexiones y emociones asociadas (Morales y Restrepo, 2015).

Una estrategia fundamental dentro del pensamiento visible es el uso de rutinas de pensamiento, que son estructuras sencillas y repetibles diseñadas para fomentar la reflexión y el análisis crítico (Pulido y Romero, 2015). Estas rutinas pueden emplearse en diversos contextos educativos y ayudan a que los estudiantes formulen preguntas, organicen sus ideas y profundicen en su comprensión. Ritchhart y Church (2011) clasifican estas rutinas en tres categorías según su propósito:

• Para introducir y explorar ideas.
• Para sintetizar y organizar información.
• Para profundizar en el análisis de conceptos.

Algunos ejemplos concretos de rutinas de pensamiento que han demostrado ser efectivas en entornos educativos:

• Rutinas para introducir y explorar ideas
  • Veo-Pienso-Me pregunto: Esta estrategia permite al alumnado desarrollar habilidades de observación e interpretación de manera estructurada. A través de ella, se fomenta la curiosidad y se promueve una actitud de indagación, lo que resulta especialmente útil al abordar nuevos conceptos matemáticos o situaciones problemáticas.
  • Puntos de brújula: Mediante esta rutina, el alumnado puede desarrollar una idea o propuesta y evaluarla desde diferentes perspectivas. Se utiliza un esquema basado en los cuatro puntos cardinales: E (entusiasmo), O (obstáculo), N (necesidad) y S (sugerencias).
• Rutinas para sintetizar y organizar ideas
  • CSI (Color, Símbolo e Imagen): Esta estrategia invita al alumnado a expresar sus ideas a través de representaciones visuales en lugar de palabras.
  • Generar-Ordenar-Conectar-Elaborar (mapa conceptual): A través de esta rutina, los estudiantes activan sus conocimientos previos y generan nuevas ideas sobre un tema.
• Rutinas para profundizar ideas
  • Círculo de puntos de vista: Esta rutina ayuda al alumnado a adoptar diferentes perspectivas sobre un mismo tema.
  • ¿Qué te hace decir eso?: Esta estrategia promueve el razonamiento basado en la evidencia, ya que anima al alumnado a justificar sus respuestas y reflexionar sobre las bases de su pensamiento.

El uso de estas rutinas en el aula permite que el aprendizaje trascienda la simple memorización de procedimientos matemáticos. En lugar de enfocarse exclusivamente en la ejecución de algoritmos, el alumnado desarrolla habilidades de pensamiento crítico, lo que les permite comprender y aplicar el conocimiento de manera significativa.

Además, el Proyecto Zero de Harvard establece una clasificación más amplia de diez categorías, que incluyen desde la toma de perspectiva y la exploración de arte hasta la generación de analogías y el pensamiento global. La integración de estas rutinas en el aula no solo facilita la comprensión, sino que también permite a los estudiantes desarrollar hábitos de pensamiento que los acompañarán en su aprendizaje a lo largo de la vida.

Si bien metodologías activas como el aprendizaje basado en proyectos, el aprendizaje cooperativo o el aprendizaje basado en juegos son herramientas valiosas, su efectividad se ve potenciada cuando van acompañadas de la reflexión y el pensamiento estructurado (Ritchhart, 2015). Por ello, el desarrollo del pensamiento debe estar presente antes, durante y después de cualquier actividad de aprendizaje.

Uno de los grandes retos en la enseñanza de las matemáticas es el rechazo que parte del alumnado experimenta hacia esta área/materia. Estudios de Muñoz y Mato (2008) evidencian que un gran importante grupo de alumnado siente ansiedad y miedo hacia las matemáticas, lo que afecta su desempeño y su motivación. Esto suele deberse a metodologías centradas en la repetición mecánica y la falta de estrategias innovadoras. Para cambiar esta percepción, es fundamental que el profesorado adopte metodologías basadas en la cultura del pensamiento, incentivando la curiosidad, el análisis y la aplicación contextual del conocimiento matemático.

En conclusión, la cultura del pensamiento en matemáticas permite transformar la enseñanza tradicional en una experiencia significativa y reflexiva. Al hacer visible el pensamiento, se fomenta la autonomía del aprendizaje y se promueve una mentalidad abierta y crítica en los estudiantes. De esta manera, el aula se convierte en un espacio donde se valora el proceso de razonamiento tanto como el resultado final, preparando al alumnado para enfrentar desafíos matemáticos y de la vida con una actitud proactiva y reflexiva.

4.3.1.3.3. Thinking Classroom

El enfoque Thinking Classroom, desarrollado por Peter Liljedahl, es una propuesta metodológica que tiene como objetivo fundamental construir un aula que invite al alumnado a pensar. Se basa en la convicción de que el aprendizaje auténtico sólo puede darse cuando el alumnado está involucrado activamente en procesos de pensamiento. Por ello, se aleja de las prácticas tradicionales centradas en la explicación y la imitación, para poner en el centro la resolución de problemas como vía principal de construcción del conocimiento matemático.

Una de las características más distintivas de este enfoque es el tipo de tareas que propone. En una Thinking Classroom no se resuelven ejercicios rutinarios, sino problemas que desafían al alumnado, que generan incertidumbre, sorpresa o incluso perplejidad. Se trata de situaciones que no tienen una estrategia de solución inmediata o evidente, pero que tampoco resultan inabordables en una sesión de clase. Estas tareas invitan al alumnado a atascarse, a probar, a errar y a perseverar. Se exige que apliquen conocimientos previos de forma novedosa, que argumenten, representen e intercambien ideas. En definitiva, son tareas diseñadas para provocar pensamiento, no para entrenar procedimientos memorizados. En este sentido, se alinean con enfoques como los problemas ricos de NRich. Porque, como señala Liljedahl, imitar no es pensar, y si una tarea sólo requiere aplicar lo ya enseñado, entonces está cultivando la repetición, no la comprensión.

El entorno social del aula también se redefine. El agrupamiento del alumnado se realiza al comienzo de cada sesión de forma visiblemente aleatoria, por ejemplo, mediante el reparto de cartas. Este mecanismo, más allá de su aparente sencillez, transforma la cultura del aula. Desactiva la lógica del agrupamiento homogéneo o por niveles, diluye las expectativas previas que los estudiantes tienen sobre sí mismos y sobre los demás, y crea una atmósfera de equidad y novedad constante. Nadie está en un grupo “porque es bueno en matemáticas” o “porque necesita ayuda”, sino simplemente porque le ha tocado. De esta manera, se evita que ciertos alumnos asuman un rol pasivo o se desentiendan de la actividad por pensar que otros “resolverán por ellos”. El efecto es doble: por un lado, se reduce la presión asociada a las etiquetas implícitas; por otro, se incrementa la necesidad de participar, ya que no hay un patrón establecido del que depender.

Este planteamiento se apoya en un rediseño físico del espacio de trabajo. En lugar de trabajar sentados en sus mesas, el alumnado se organiza alrededor de superficies verticales y borrables, como pizarras blancas, cristales o paneles plásticos. Estar de pie favorece el estado de alerta, mejora el ánimo, permite una mejor comunicación no verbal y facilita la movilidad dentro del aula. Además, estas superficies no permanentes invitan a escribir sin miedo, a equivocarse y corregir rápidamente, reduciendo el coste emocional del error y favoreciendo la fluidez del pensamiento. También promueven una mayor variedad de representaciones (gráficas, verbales, tabulares o simbólicas) y permiten que las estrategias producidas por unos grupos sean visibles para otros, fomentando así el intercambio de ideas y la construcción colectiva del conocimiento.

En este contexto, el rol del docente se transforma profundamente. Ya no se sitúa en el frente del aula, sino que circula entre los equipos, observando, escuchando, preguntando y ofreciendo orientaciones estratégicas. Su intervención se centra en mantener vivo el pensamiento, no en proporcionar respuestas. Las preguntas que formula no buscan confirmar si una solución es correcta, sino impulsar la reflexión y abrir nuevas líneas de exploración. A su vez, las tareas se presentan de forma verbal y en los primeros minutos de la clase, cuando el alumnado está más receptivo, evitando apoyos escritos que puedan anticipar el tipo de respuesta esperada. La evaluación, en este modelo, se convierte en un proceso continuo de retroalimentación. Se valora el proceso tanto como el resultado, se observa la evolución de las estrategias, la argumentación, la perseverancia y la capacidad de colaboración. Incluso la toma de notas se resignifica: en lugar de copiar lo que el docente explica, el alumnado construye su cuaderno como un recurso propio, seleccionando lo que considera valioso y significativo para su aprendizaje.

Todo esto convierte al Thinking Classroom en mucho más que un conjunto de buenas prácticas: es un marco coherente y sistémico que redefine la cultura matemática del aula. Su impacto no es únicamente técnico o metodológico, sino también profundamente formativo. El alumnado aprende matemáticas al mismo tiempo que aprende a pensar, a colaborar, a representar, a gestionar sus emociones y a comunicarse en comunidad. Además, esta propuesta se alinea de forma natural con los procesos matemáticos planteados por el NCTM (resolución de problemas, razonamiento y prueba, comunicación, representación y conexiones) y con las competencias específicas del currículo actual bajo la LOMLOE. En cada sesión se abren oportunidades para desarrollar y evaluar estas competencias, en un entorno que valora el pensamiento auténtico, la interacción significativa y el aprendizaje activo.

En definitiva, construir una Thinking Classroom es crear un espacio donde se aprende porque se piensa, y se piensa porque en el aula pensar, colaborar y experimentar se convierten en la norma, no en la excepción.

4.3.2. ¿Cómo alcanzar la competencia matemática?

Tal como ya se anticipó al describir el enfoque competencial matemático del currículo, la idea fuerza que puede resumir la respuesta a esta potente pregunta sería: "Para alcanzar la competencia matemática hay que trabajar los saberes básicos a través de las competencias específicas". Esta idea puede verse representada en el siguiente gráfico:

El enfoque competencial de las matemáticas: Procesos y sentidos.

Corresponde por tanto en primer lugar, desarrollar cómo alcanzar cada uno de los ejes o procesos matemáticos, que están relacionados con las diferentes competencias específicas. Posteriormente, cómo desarrollar los sentidos matemáticos a través de las mismas. Para ello diseñaremos situaciones de aprendizaje. Empecemos, pues, a ver uno a uno el enfoque competencial de cada uno de los procesos matemáticos descritos en las competencias específicas.

4.3.2.1. La resolución de problemas

Con más de 100 años de investigación en didáctica de la matemática, se ha alcanzado un amplio consenso científico sobre cómo aprender y enseñar matemáticas para que las concibamos como una disciplina activa, creativa e interesante.

Una de las características señaladas reiteradamente por la literatura científica es que resulta necesario explorar problemas abiertos, desafiantes, mal definidos, que no sean inmediatos, que permitan dudar incluso sobre el propio objeto del problema. Cuando nos enfrentemos a estos problemas necesitaremos discutir con los compañeros y las compañeras sobre la validez de las soluciones que vayamos planteando. Será necesario, también, contar con la ayuda del profesorado para guiar en ese proceso porque, sin duda, aparecerán obstáculos para los cuales no se cuenta con suficiente conocimiento matemático que permita superarlos. Pero habrá que apoyarse en lo que sí conocemos, buscar cómo podemos aplicarlo y, en determinados momentos, recibir una instrucción directa sobre las nuevas matemáticas que han aparecido.

Para la resolución de problemas podemos seguir, entre otros, los siguientes modelos:

• Modelo de Pólya
• Modelo de Mason -Burton - Stacey
• Modelo Miguel de Guzmán
• Modelo Bransford - Stein

El modelo más extendido es el de George Pólya (1945) que diferencia 4 fases, a las que añadimos algunas consideraciones para abordarlas:

Paso 1: Entender el problema

• ¿Entiendes todo lo que dice?
• ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
• ¿Distingues cuáles son los datos?
• ¿Sabes a qué quieres llegar?
• ¿Hay suficiente información?
• ¿Hay información extraña?
• ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Concebir un plan

• El propósito es determinar las relaciones entre los datos y lo que se pide.
• Tener alguna idea de cómo resolver el problema.
• Considerar problemas análogos para concebir el plan.
• Se tiene un plan cuando se sabe qué cálculos y razonamientos se deben realizar para alcanzar la solución.

Paso 3: Ejecutar el plan

• Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
• Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o deja el problema a un lado por un momento.
• No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conduce al éxito.

Paso 4: Mirar hacia atrás

• ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
• ¿Coincide con la estimación realizada?
• ¿Adviertes una solución más sencilla?
• ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

4.3.2.1.1. Enseñanza de los problemas

Vamos a tratar lo referente a la enseñanza de los problemas siguiendo el esquema, clasificando su abordaje en función del propósito:

A) La enseñanza PARA LA resolución de problemas

La enseñanza para la resolución de problemas tiene una concepción instrumental de la educación matemática. En este modelo de enseñanza, tras la exposición del conocimiento, el alumnado lo aplica para resolver problemas. Es el modelo de enseñanza más extendido, ya que es el que sigue la mayoría de los libros de texto.

Si reflexionamos sobre este tipo de planteamiento tendríamos el siguiente esquema de aplicación:

Es muy usual utilizar la rejilla Datos/Operación/Solución. Si la comparamos con las fases propuestas por Pólya, podemos concluir que una de las fases (concebir un plan) no está suficientemente desarrollada en esta rejilla. Sería interesante orientar sobre cómo podemos trabajar esta fase tan importante. Para ello pueden ser útiles los problemas (o ejercicios) cerrados. Un tipo de estos problemas son los aritméticos de enunciado verbal de una o más operaciones, cuya resolución puede hacer que el alumnado adquiera habilidad para, posteriormente, afrontar problemas más abiertos y complejos.

Por un lado, es importante utilizar en esta fase la representación de la información:

• Siguiendo la estructura semántica de los problemas y la estrategia de resolución parte-todo, podemos hacer uso de las siguientes representaciones.

• Siguiendo a Isabel Echenique podemos hacer uso de los diagramas sagitales.

• Igualmente podemos modelizar la información con material manipulativo:

Por otro lado, la representación nos va a facilitar la visualización de las relaciones, pautas o patrones entre los datos. Esta cuestión es importante no solamente para concebir el plan, pues el alumnado deberá habituarse a manejarlas con soltura, ya que esas relaciones le permitirán razonar. Por ejemplo, si quiero conocer cuál ha sido la amplitud térmica de un día, debo conocer cuál es la diferencia entre la temperatura máxima y mínima. Y aprovecharé esta relación para que inventen problemas en los que se pregunten por la temperatura máxima o mínima, conociendo la amplitud térmica y una de ellas. Trabajar una gran variedad de relaciones va a favorecer la resolución de problemas más complejos. Estas relaciones se utilizarán para trabajarlas con las estrategias de qué datos son necesarios para responder a una pregunta. También con la estrategia de qué preguntas se pueden resolver a partir de unos datos.

Otro aspecto a tener en cuenta en este tipo de enseñanza es profundizar en el enunciado para que el alumnado se habitúe a inferir información, así como formular enunciados en los que el alumnado deba buscar información para resolver problemas: La formulación de enunciados y la búsqueda de datos en los mismo.

Todo lo que venimos planteando en este apartado sobre el trabajo PARA LA resolución de problemas puede implementarse en el aula con algunas directrices que nos ayudarán a posibilitar su aplicación. Veamos estas consideraciones y directrices con algunos ejemplos de aplicación:

B) La enseñanza SOBRE LA resolución de problemas

La enseñanza sobre la resolución de problemas se centra en estrategias generales y el uso de heurísticos para la resolución de problemas matemáticos. En cada una de las etapas se desarrollan una serie de estrategias.

Educación Infantil

Según la investigación (ver revisión en De Castro y Hernández, 2014), los niños y niñas de 4 a 6 años pueden resolver una variedad mucho más amplia de problemas aritméticos verbales, incluyendo problemas de estructura multiplicativa: multiplicación, división reparto y división medida y otros problemas. Las condiciones que se deben cumplir para que el alumnado resuelva estos problemas son:

• Que el enunciado sea breve y evoque una situación familiar.
• Que las cantidades que aparecen en el problema sean accesibles a las capacidades de conteo infantiles.
• Que el enunciado sea fácil de modelizar.

Es importante ofrecer retos y resolución de problemas en todas las dinámicas. Como estrategias podemos destacar:

• MODELIZACIÓN: representan mediante material manipulativo, dibujos, etc., la situación problemática.
• ESTRATEGIAS PERSONALES: contar todos, contar hacia arriba desde el primero, contar hacia arriba desde el mayor, contar hacia abajo hasta, emparejar, etc.
• Algunas de las ESTRATEGIAS QUE FACILITAN LA ESCUCHA: decir lo mismo de otra manera y contar la historia marcha atrás.

Educación Primaria

Por lo general, cuesta al profesorado de matemáticas enseñar estrategias para resolver problemas. Se debe comenzar haciendo que el alumnado busque sus propias estrategias a través de pequeños retos que le ayuden paulatinamente a adquirir nuevas y más sofisticadas estrategias para aplicar, posteriormente, en la resolución de problemas más complicados.

Un primer grupo de estrategias tienen como objetivo las primeras fases del método de Pólya, las podemos denominar como estrategias que facilitan la escucha y/o la lectura analítica:

• Decir lo mismo de otra manera.
• ¿Qué puede calcularse con los datos conocidos?
• ¿Qué datos son necesarios para contestar la pregunta?
• Contarse un problema. ¿Qué sé? ¿Qué me preguntan?
• Averiguar el dato falso de un problema, dándoles la solución correcta.
• Resolver problemas que se plantean de forma distinta a la habitual.
• Cambiar los datos del problema, que ya ha sido resuelto, para obtener una solución dada y distinta a la que ya se obtuvo.
• Inventar problemas.

Otra estrategia que se debe desarrollar es la MODELIZACIÓN y su aplicación a problemas abiertos.

Por último, es importante ir introduciendo ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS para resolver problemas de mayor dificultad:

• Resolver un problema más simple o estrategia de los casos sencillos.
• Hacer tablas y buscar pautas.
• Emplear dibujos y diagramas.
• Descomponer el problema en subproblemas.

Educación Secundaria

En Educación Secundaria se ampliarán las ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS que se trabajan dentro de la competencia específica 1. Se aprovechará la conexión de los saberes básicos con la resolución de problemas que se estén trabajando dentro de la competencia específica 5 para favorecer la interiorización de la estrategia heurística:

• Analogía o semejanza.
• Simplificar, particularizar.
• Organización, codificación.
• Ensayo y error.
• Trabajar marcha atrás o considerar el problema resuelto.
• Experimentación.
• Modificar el problema.
• Conjeturar.
• Haz recuento.
• Exploración.
• Reducción al absurdo.
• Inducción matemática.
• Principio del Palomar de Dirichlet

C) La enseñanza A TRAVÉS de la resolución de problemas.

Todas las teorías sobre el aprendizaje matemático dan un valor fundamental a las primeras fases de exploración del problema, para movilizar nuestro conocimiento previo para intentar resolverlo, en solitario, o discutiendo ideas y posibles soluciones en parejas o en grupos. Y también en la mayoría de los casos se señala la necesidad (de raíz vygotskiana) de que retemos al alumnado con un problema en el que necesiten aprender algo a partir de lo que ya sabía, algo que comprenderá mejor cuando se haya enfrentado a la necesidad de ampliar su conocimiento para resolver el problema. Es decir, la teoría después de la práctica, y no antes.

En el enfoque de enseñanza a través de la resolución de problemas el alumnado adquiere el conocimiento enfrentándose a la resolución de problemas diseñados por el profesorado con la intención de hacer emerger los saberes básicos matemáticos deseados.

El proceso de enseñanza a través de la resolución de problemas sigue una secuencia similar a la siguiente:

1. El alumnado se enfrenta a situaciones problemáticas sin haber recibido instrucción previa sobre los saberes que quieren enseñarse.
2. Los problemas deben promover la reflexión y la indagación hacia la búsqueda de estrategias que permitan resolverlos.
3. El profesorado utiliza las respuestas del alumnado para organizar una puesta en común que permita introducir los nuevos conceptos.
4. Por último, el alumnado resuelve problemas para afianzar los nuevos saberes.

Este enfoque no excluye la enseñanza de heurísticos y la aplicación de saberes, sino que los contiene. Además, ha ganado relevancia en la investigación en educación matemática en las últimas décadas. En la enseñanza a través de la resolución de problemas es fundamental la interacción.

4.3.2.2. Razonamiento y prueba.

El razonamiento matemático (NCTM, 2000) permite a las personas percibir propiedades, regularidades y patrones, características que no se ven a simple vista. El razonamiento induce a que nos preguntemos si las regularidades son el resultado de unas causas o bien son puramente accidentales. Nos llevan a formular conjeturas y a preocuparnos por su justificación.

El razonamiento matemático es un proceso implicado directamente en la construcción del conocimiento (Giménez, 2000), e implica:

• Formular afirmaciones justificadas.
• Reconocer explicaciones de otros, dando sentido propio para ellas.
• Interpretarlas.
• Diseñar otras nuevas y, en algunos casos, formalizarlas.

El razonamiento matemático (tanto deductivo como inductivo) involucra sopesar situaciones, elegir estrategias, sacar conclusiones lógicas, desarrollar y describir soluciones y reconocer cómo esas soluciones pueden ser aplicadas (PISA, 2021). El razonamiento, en matemáticas, implica realizar conjeturas adaptadas a cada situación, comprobar, validar o refutar conjeturas (que puede y debe realizarse a diferentes niveles, lo importante es la argumentación), generalizar a partir de modelos y patrones; y comunicar, validar y reflexionar sobre los procesos seguidos, los resultados o las conclusiones obtenidas. El alumnado desarrolla el razonamiento matemático cuando en clase: identifica, reconoce, organiza, conecta, representa, construye, abstrae, evalúa, deduce, justifica, explica, defiende, interpreta, hace juicios, critica, refuta y cualifica.

Algunas estrategias y técnicas para promover explicaciones, argumentos, justificaciones y comprobar acciones y respuestas son:

a) Saber plantear preguntas, pues el planteamiento de preguntas promueve la interacción.

Ejemplo: ¿Qué ves?, ¿de qué te das cuenta?, ¿qué te preguntas?: se trata de una técnica utilizada en el proyecto NRICH (https://nrich.maths.org/what-makes-good-mathematician).

EduGAINS (2011) propone ocho orientaciones para plantear preguntas generadoras en la clase de matemáticas:

1. Anticipar el pensamiento del alumnado.
2. Vincular con los objetivos de aprendizaje.
3. Plantear preguntas abiertas.
4. Plantear preguntas que realmente necesitan ser contestadas.
5. Incorporar verbos que estimulan el pensamiento y la comprensión, como conectar, elaborar, evaluar y justificar.
6. Plantear preguntas que abren una conversación para incluir a todo el alumnado (en el marco de una comunidad de aprendizaje).
7. Mantener las preguntas neutrales (evitar calificativos como 'fácil' o 'difícil' ya que pueden condicionar las respuestas del alumnado).
8. Proporcionar tiempo de espera (entre las preguntas y las respuestas del alumnado).

Danielson para promover que el alumnado argumente y comunique en la clase de matemáticas propone el recurso, que se conoce con el acrónimo WODB (¿Which One Doesn't Belong?). Se pueden consultar muchos ejemplos en https://talkingmathwithkids.com/wodb/

b) Formular conjeturas y comprobarlas.

Hacer conjeturas forma parte del proceso de abstracción que implica el descubrimiento y la expresión de relaciones, propiedades, patrones, regularidades. A diferencia de la hipótesis que necesita de la demostración teórica para su validación, la conjetura se puede comprobar a nivel empírico.

Las conjeturas pueden surgir en actividades como:

• Seguir series de repetición y de crecimiento, tanto numéricas como geométricas.
• Observación de patrones en tablas y gráficos.
• Descubrimiento de estrategias de cálculo mental, propiedades de las operaciones.
• Observación de números y operaciones (números primos, compuestos, múltiplos de..., si multiplicas por 50 es como si..., si multiplico por 0,5 es como si...).
• Observación de patrones en figuras geométricas (relación entre el número de diagonales y los polígonos regulares...).
• La observación de una colección ordenada de datos en gráficos y tablas también provoca la expresión de conjeturas, recogida continua de temperaturas.

c) Pensamiento crítico.

Al hablar de desarrollo del pensamiento crítico se ha de tener en cuenta que no surge por el mero hecho de aprender matemáticas (o la materia que sea). Es imprescindible plantear situaciones de aprendizaje donde el alumnado tenga que:

• Formular preguntas.
• Reflexionar sobre lo que ha hecho.
• Identificar regularidades.
• Admitir que la solución de un problema quizás no existe o que no es única.
• Conocer cómo se conecta lo aprendido en la resolución de un problema con los conocimientos previos.
• Admitir que el error forma parte del proceso.

Además, si se pretende que este pensamiento crítico se transfiera a otros contextos y se enriquezca con diferentes modos de pensamiento, hay que aprovechar las oportunidades de conexión entre las distintas áreas.

4.3.2.2.1. Ideas clave para el razonamiento y la prueba.

• Se debería capacitar a todo el alumnado para los siguientes estándares de razonamiento y prueba (NCTM, 2000):
• Reconocer el razonamiento y la prueba como aspectos fundamentales de las matemáticas.
• Formular e investigar conjeturas matemáticas.
• Desarrollar y evaluar argumentos y pruebas matemáticas.
• Escoger y usar varios tipos de razonamiento y métodos de prueba.
• En los primeros cursos se ha de enseñar al alumnado a formular conjeturas (se pueden comprobar de forma empírica) y a utilizar el razonamiento plausible (Pólya, 1966) o intuición. El alumnado debe diferenciar entre una intuición más o menos razonable. El razonamiento es sobre todo informal y se refiere principalmente a la capacidad de explicar, argumentar o justificar las acciones realizadas y las proposiciones.
• La prueba implica comprobar el resultado de dichas acciones y proposiciones.
• Interiorizar progresivamente diversos tipos de razonamiento.
• Es recomendable guiarles en el empleo de ejemplos y contraejemplos.
• Se pueden establecer los siguientes niveles de abstracción:

• Ejemplos y contraejemplos
• Comprobación
• Justificación
• Argumentación
• Conjetura
• Demostración formal

4.3.2.2.2. Métodos de razonamiento.

a) El razonamiento inductivo permite obtener reglas a partir de un comportamiento común observado en algunos casos particulares y concretos (Pólya, 1945). Para obtener dichas reglas, según este autor, deben seguirse las siguientes fases:

• Trabajo con casos particulares.
• La búsqueda de patrones basados en la regularidad observada en los casos particulares.
• La formulación de una conjetura de acuerdo con el patrón.
• La comprobación.

Más adelante, Castro et al. (2010, p. 57) proponen siete fases:

1. Trabajo con casos particulares, sencillos y fácilmente observables.
2. Organización de los datos obtenidos (en una tabla, en filas y columnas, etc.) para percibir patrones.
3. Identificación de patrones, reconociendo lo común, lo repetido con regularidad en diferentes hechos o situaciones y que se prevé que puede volver a repetirse.
4. Formulación de conjeturas, es decir, proposiciones que se suponen verdaderas, pero que no han sido sometidas a exploración.
5. Justificación de las conjeturas, dando razones para convencer de la verdad de una afirmación.
6. Generalización, expresando la conjetura de tal manera que se refiera a todos los casos, más allá de los particulares.
7. Demostración, validando formalmente la conjetura que se trata de probar y que la determina inequívocamente.

Aplicaciones métodos inductivo-deductivo.

b) En el razonamiento deductivo se suele inferir una conclusión en particular que surge a raíz de una premisa en general. También se usa para hacer demostraciones matemáticas de manera formal.

Muy sintéticamente, como señalan Álvarez et al. (2019), en el proceso de razonar deductivamente es necesario:

• Comprender la necesidad de modificar la conjetura que se obtiene inicialmente en el proceso de razonamiento inductivo y de no considerarla legítima, hasta que se encuentre validada y reforzada por otros casos.
• Aprender a argumentar cada uno de los pasos que se dan en la validación y a seleccionar o construir casos particulares para comprobar la validez o falsedad de una conjetura.
• No conformarse con la comprobación de la conjetura para tres o cuatro casos, sino aplicarla a un número mayor, siempre que sea posible.
• Mantener cierto grado de escepticismo con respecto a sus razonamientos y el de los demás, hasta que se logre validar la conjetura bajo análisis.
• Aprender a observar, comparar y buscar analogías para rechazar o reforzar una conjetura, o bien a modificar la situación problemática original y buscar analogías con otros resueltos anteriormente.
• Dominar métodos útiles para validar una conjetura: contraejemplos, uso de casos particulares, de casos generales, de casos extremos, entre otros.
• Finalmente, apropiarse de estrategias que orienten el modo de actuar para validar el grado de generalidad y veracidad de una conjetura.

Alsina (2014) señala que los primeros razonamientos que se realizan en Infantil y Primaria son principalmente de naturaleza inductiva, mientras que los razonamientos deductivos son propios de las etapas posteriores (Álvarez et al., 2019).

Es muy usual, por su productividad, los procesos que combinan razonamiento inductivo y deductivo.

c) Otros tipos de razonamientos

Si relacionamos el razonamiento con los diferentes sentidos matemáticos, podemos hablar de razonamiento aritmético, razonamiento algebraico, razonamiento geométrico, etc.

4.3.2.2.3. Actividades de experimentación: exploraciones e investigaciones.

a) Niveles de abstracción:

• Juego-experimentación con el material.
• Observación. Recogida de datos.
• Búsqueda de patrones. Regularidades.
• Formulación de conjeturas. Comprobación.
• Generalización.
• Investigaciones

La importancia de la realización de investigaciones matemáticas por parte del alumnado ha sido defendida por numerosos autores, por ejemplo, Mason (1996) y Goldenberg (1999). Los argumentos principales esgrimidos para justificar la importancia de las investigaciones, más que los problemas, son que fomentan la implicación del alumnado, puesto que exigen su participación activa desde la primera fase del proceso: la formulación de las cuestiones por resolver.

Ya conocemos que entre las tareas de exploración y de investigación, la diferencia está en el grado de dificultad. Si el alumnado pudiera empezar a trabajar sin mucha planificación, estaríamos ante una tarea de exploración. En caso contrario, sería mejor hablar de una tarea de investigación.

Da Ponte, Brocardo y Oliveira (2003, p. 20) establecen cuatro momentos básicos en el marco de las investigaciones matemáticas en el aula, estos son:

1. El arranque o reconocimiento de la situación, la exploración preliminar y la formulación de cuestiones.
2. Un segundo momento referido a la formulación de conjeturas.
3. El tercero incluye la realización de pruebas y la eventual refinación de la o las conjeturas.
4. Y finalmente, el último es respecto a la argumentación, la demostración y la evaluación del trabajo realizado.

4.3.2.3. Representación.

La representación se refiere a las formas de hacer explícitas las ideas matemáticas: a través de imágenes, materiales concretos, tablas, gráficos, números, letras, entre otras.

Muchas de las representaciones que existen actualmente son el resultado de una construcción cultural, que llevó muchos años determinar. Cuando el alumnado comprende las representaciones matemáticas que se les presenta y además tiene oportunidades de crear otras, mejora su capacidad para modelar e interpretar fenómenos.

Una de las capacidades que debe promover la matemática en el alumnado es la habilidad para plantearse, representar y resolver problemas. La matemática debe proporcionar al alumnado una variedad de lenguajes que les permita:

• Discernir lo que es relevante en el enunciado de una tarea matemática.
• Traducir dicha información en representaciones que les permita pensar de manera estratégica.
• Establecer relaciones y aplicarlas en la búsqueda de argumentos matemáticos para llegar a conclusiones válidas y razonadas.

Linares (2003) concluye que la actividad matemática debe fomentar el pensamiento estratégico evidenciado en la capacidad del alumnado para identificar estructuras comunes en representaciones y contextos diferentes.

El conocimiento matemático se convierte en un instrumento potente de comunicación, mediante la utilización de diferentes sistemas de representación (números, letras, tablas, gráficos, etc.). Estas representaciones y la traducción entre representaciones deben emerger en la actividad matemática de aula, con un significado asociado, para plantear y resolver problemas. Godino, Batanero y Font (2003) afirman que "las matemáticas son útiles para representar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversa, poniendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamente observables y permitiendo anticipar y predecir hechos, situaciones o resultados que todavía no se han producido".

4.3.2.3.1. Ideas clave para el desarrollo de la representación.

Según Ángel Alsina (2004), debemos trabajar las siguientes ideas:

• Los programas de enseñanza deberían capacitar al alumnado para los siguientes estándares de representación (NCTM, 2000):
• Crear y usar representaciones para organizar, registrar, y comunicar ideas matemáticas, por ejemplo, cuando en una clase se hace una votación a mano alzada y se organizan los resultados obtenidos en una tabla o se representan a través de un gráfico.
• Seleccionar, aplicar y traducir representaciones matemáticas para resolver problemas, por ejemplo, el alumnado debería saber representar por escrito operaciones dictadas oralmente.
• Usar representaciones para modelizar e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos, por ejemplo, asociar una situación cotidiana con un tipo de función.
• La representación de las ideas y procedimientos matemáticos es un proceso indispensable para poder aprender. Si no hay representación no hay comprensión, y sin comprensión no puede haber aprendizaje de las matemáticas.
• La representación de las ideas y procedimientos matemáticos puede tener formas diversas, por ejemplo, a través de objetos físicos (un cuarto de pizza), el lenguaje natural (la palabra "un cuarto"), dibujos (diferentes representaciones de la cuarta parte de una unidad), aplicaciones virtuales de una recta con pendiente m=1/4 y símbolos convencionales (1/4).
• El desarrollo progresivo de la representación de las ideas y procedimientos matemáticos va de lo concreto a lo abstracto (Freudenthal, 1991). En este sentido, se respeta y favorece su proceso de adquisición cuando se fomenta por ejemplo que las primeras representaciones sean concretas, a partir de objetos o dibujos y usando el lenguaje natural; posteriormente pictóricas, usando tablas o diagramas; y finalmente convencionales, usando símbolos abstractos. Aunque el desarrollo de la representación vaya de lo concreto a lo abstracto, en términos generales el proceso de enseñanza-aprendizaje no es unidireccional sino bidireccional, es decir, de lo concreto a lo abstracto y de lo abstracto otra vez a lo concreto, aunque la finalidad sea siempre la misma: aprender (y sobre todo comprender) el símbolo que representa un objeto o una situación real.

• A través de las interacciones alumnado-profesorado-representaciones, el alumnado desarrolla sus propias imágenes mentales sobre las ideas matemáticas (NCTM, 2000). Estas representaciones internas son las que permiten avanzar en el aprendizaje de las matemáticas.
• La adquisición progresiva de la representación de las ideas y procedimientos matemáticos aumenta la capacidad para modelar e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos. En otras palabras, permite hacer modelos e interpretar la realidad. Un modelo es, pues, una representación ideal de un aspecto concreto de la realidad usada con finalidades de interpretación. Por esta razón los modelos simplifican la realidad subrayando los elementos fundamentales y eliminando los aspectos secundarios. Por ejemplo, cuando se dibuja el itinerario de un recorrido en el que se sitúan diversos puntos que facilitan la localización, se trata de un modelo simulador de la realidad que, aunque no se ajuste a la realidad física (ya que no es fiel a aspectos básicos como las distancias), permite orientarse.
• El término modelo se usa de maneras diferentes:
• Modelos manipulativos (materiales físicos con los que trabaja el alumnado, como por ejemplo una regleta que representa el número cinco).
• Modelos ejemplificadores o simuladores (por ejemplo, el dibujo de un itinerario que puede hacer un alumno, o en términos más complejos, el plano esquemático de la red del metro de una gran ciudad)
• Como sinónimo de representación (NCTM, 2000).
• Ya desde los primeros niveles es importante distinguir entre dos aspectos relacionados pero distintos:
• El acceso y la comprensión de modelos matemáticos elaborados previamente.
• La elaboración de representaciones y modelos matemáticos. El alumnado de Educación Infantil y primeros cursos de Educación Primaria que está consolidando la noción de número puede acceder a representaciones y modelos matemáticos elaborados previamente como por ejemplo un material manipulativo compuesto por regletas; pero progresivamente debe favorecerse la elaboración de sus propias representaciones mentales acerca de las cantidades discretas. De la misma manera el alumnado de Educación Secundaria Obligatoria ante una situación como un grifo abierto puede hacer una representación gráfica del volumen de agua vertida en función del tiempo.
• La representación de las ideas y procedimientos matemáticos está estrechamente ligada con la comunicación, cada uno de ellos coopera con el otro y le da apoyo.
• A través de las representaciones y los modelos matemáticos se comprenden mejor las ideas matemáticas, puesto que representaciones y modelos diferentes aclaran diferentes aspectos de una idea matemática compleja (NCTM, 2000). Así, por ejemplo, para un niño de siete años «1/4» es una abstracción, y por lo tanto una idea matemática compleja que comprende e interioriza progresivamente a medida que se le presentan representaciones y modelos diferentes: un rectángulo dividido en cuatro partes iguales y una de ellas pintada, etc. Un alumnado de Educación Secundaria la puede interpretar como la probabilidad de un suceso, uno de cuatro intentos.

4.3.2.3.2. La modelización.

La modelización matemática consiste en la construcción de una teoría o estructura matemática en la cual se incorporan los factores primarios o las características esenciales del sistema o proceso modelizado.

"Un modelo puede entenderse como un sistema figurativo mental, gráfico o tridimensional que reproduce (representa) la realidad en forma esquemática para hacerla más comprensible". Un modelo se produce para poder operar transformaciones o procedimientos experimentales sobre un conjunto de situaciones o un cierto número de objetos reales o imaginados, sin necesidad de manipularlos o dañarlos, para apoyar la formulación de conjeturas y razonamientos y dar pistas para avanzar en la demostración.

Dada la naturaleza simplificadora del modelo, no puede esperarse que este sea una copia exacta de la realidad... Cuando una persona piensa en el modelo, lo hace bajo la forma de alguna representación mental de esa estructura. La capacidad para manejar mentalmente el sistema físico que se está modelizando se ve enriquecida por las distintas representaciones mentales del modelo.

En el proyecto OCDE/PISA, el proceso fundamental que el alumnado emplea para resolver problemas de la vida real se denomina matematización o modelización. Se puede esquematizar:

1. Empezar con un problema de la realidad.
2. Organizarlo de acuerdo a conceptos matemáticos e identificar las matemáticas relevantes.
3. "Recortar" gradualmente la realidad a través de procesos como hacer suposiciones, generalizar y formalizar, que promueven las características matemáticas de la situación y transforman el problema del mundo real en un problema matemático que representa la situación.
4. Resolver el problema matemático.
5. Explicar la solución matemática en términos de la situación real.

Debemos tener en cuenta que el ciclo de modelización no es un algoritmo. En muchas ocasiones hay que adelantarse al paso siguiente e ir hacia atrás al paso anterior. Incluso, puedes necesitar dar varias vueltas al ciclo para llegar a una solución. Normalmente, hay más de una solución posible. Muchas veces la solución depende de la persona que trabaja en las tareas.

Por otro lado, Pollack (1997) describió muy minuciosamente los ocho pasos que deben darse en todo proceso de modelización matemática:

1. Se identifica algo en el mundo real que queremos conocer, hacer o entender. El resultado es una cuestión en el mundo real.
2. Seleccionamos "objetos" que parecen importantes en la cuestión del mundo real e identificamos las relaciones entre ellos. El resultado es la identificación de conceptos clave en la situación del mundo real.
3. Decidimos lo que consideraremos o lo que ignoraremos sobre los objetos y su interrelación. No se puede tomar todo en cuenta. El resultado es una versión idealizada de la cuestión original.
4. Traducimos la versión idealizada a términos matemáticos y obtenemos una formulación matematizada de la cuestión idealizada. A esto lo llamamos un modelo matemático.
5. Identificamos los apartados de la matemática que pueden ser relevantes para el modelo y consideramos sus posibles contribuciones.
6. Usamos métodos matemáticos e ideas para obtener resultados. Así surgen técnicas, ejemplos interesantes, soluciones, aproximaciones, teoremas, algoritmos, ...
7. Tomamos todos estos resultados y los trasladamos al principio. Tenemos entonces una teoría sobre la cuestión idealizada.
8. Ahora debemos verificar la realidad. ¿Creemos en el resultado? ¿Son los resultados prácticos, las respuestas razonables, las consecuencias aceptables?

4.3.2.3.3. Secuencia didáctica para introducir la modelización.

La introducción concreta de este tipo de tareas en el aula se puede estructurar en varias fases, según vayamos aumentando el nivel de abstracción y generalidad en las preguntas.

• En una primera toma de contacto, se pedirá al alumnado que estime diversas unidades de longitud, área y volumen:
• ¿Puedes abarcar con tus brazos una longitud de un metro? ¿Cuánto es, aproximadamente? ¿Y un hectómetro? ¿Y un centímetro?
• ¿Puedes dibujar en la pizarra una superficie de un m² (km², cm², etc.)? ¿Cómo sería, aproximadamente?
• ¿Cabría en el aula un volumen de m³ (litro, km³, cm³, etc.)? ¿Cómo sería, aproximadamente?
• En una segunda etapa se pueden plantear problemas de cálculo que el alumnado tiene ante sí, usando elementos del aula, por ejemplo, que no requieren ningún tipo especial de conocimiento:
• ¿Cuántas baldosas hay en este suelo?
• Si quisiéramos cubrir la superficie de la mesa con lápices, ¿cuántos necesitaríamos para taparla por completo?
• ¿Cuántos ladrillos necesitaríamos para construir esa pared?
• ¿Cuántos bricks de zumo necesitaríamos para llenar toda el aula?
• Por último, podemos pasar a extrapolar esos cálculos a problemas que no están a su alcance de forma directa, empezando por los más concretos hasta llegar a problemas con una solución más abierta:
• ¿Cuántos segundos de vida llevarás a medianoche de hoy?
• ¿Cuántos litros de agua beberás a lo largo de tu vida?
• ¿Cuántos pelos tiene una persona en la cabeza?
• Si pusiéramos esos pelos uno detrás de otro, ¿qué longitud alcanzaría?
• ¿Cuál es el volumen de CO₂ exhalado por toda la población mundial al cabo de un día?

4.3.2.3.4. Problemas de la realidad (Problemas tipo Fermi)

a) Introducción.

¿Cuántos afinadores de pianos hay en Chicago? ¿Cuánta comida y bebida debo comprar para mi fiesta de cumpleaños? ¿Cuántos taxis hay en mi ciudad? ¿A qué hora debo partir de viaje para llegar a una hora determinada?

Aunque las matemáticas se han ocupado desde siempre de problemas relacionados con la aproximación y la estimación, desde la enseñanza de esta materia se ha potenciado una visión de la misma como ciencia de la precisión en la que se obtienen respuestas concretas a preguntas concretas, sobre todo en sus niveles más básicos. Sin embargo, esta disciplina también se caracteriza por procesos más alejados de ese determinismo como la exploración, interpolación, estimación, predicción, deducción...

Mediante la suposición y la estimación es posible aproximar de modo razonable algunos problemas de cálculo cuya solución exacta es imposible obtener, debido a la imposibilidad de obtener todos los datos necesarios a partir del enunciado, o bien no compensa obtenerla por los recursos que tendríamos que invertir para ello y nos basta con una aproximación.

Este tipo de problemas de cálculo aproximado se conocen, sobre todo en el mundo anglosajón, como problemas de Fermi. Se llaman así en honor al físico Enrico Fermi, famoso, entre otras muchas cosas, por hacer muy buenos cálculos con datos muy escasos.

b) Características.

Una de sus características principales es el contraste de la familiaridad y simplicidad de la pregunta con la aparente imposibilidad de obtener su respuesta: ¿Cuántos afinadores de piano hay en Chicago? Nuestra primera impresión es que no tenemos datos suficientes. Sin embargo, los problemas de Fermi muestran cómo podemos hacer uso de unos conocimientos y procedimientos nada extraordinarios para obtener respuestas aproximadas a este tipo de preguntas.

Los problemas de Fermi son problemas de cálculo en los que se espera que demos como respuesta una solución aproximada pero razonable, dado que los datos de partida son limitados o no están definidos explícitamente e impiden dar una solución exacta.

Analicemos un ejemplo para ver algunas características más: "¿Cuántos latidos da el corazón de un hombre a lo largo de su vida?"

• Este problema no se refiere a un hombre en concreto, lo cual imposibilita dar una respuesta exacta. Casi siempre empezaremos a resolver un problema de Fermi diciendo: "Supongamos que...".
• La resolución del problema pone más énfasis en el desarrollo del razonamiento que en la respuesta en sí.
• Un problema de Fermi nos invita a hacernos más preguntas para resolverlo ya que requiere una serie de conocimientos no mencionados en el enunciado. Siguiendo con nuestro ejemplo, el razonamiento nos lleva a preguntarnos: "¿cuál es la vida media de un hombre? ¿Cuál es la media de sus pulsaciones?", etc.
• Los problemas de Fermi, a pesar de las limitaciones en los datos o la dificultad de análisis, se refieren a cuestiones objetivas que pueden abarcar cualquier campo o disciplina. En ocasiones son asombrosamente familiares.
• Si dispusiéramos de todos los datos necesarios llegaríamos a una solución determinada de manera muy sencilla; por lo tanto, la dificultad está en la naturaleza de esos datos, no en el cálculo en sí.

c) ¿Cómo resolverlos?

No hay un procedimiento bien definido para la resolución de este tipo de problemas. Debemos recordar que si conociéramos todos los datos necesarios, su resolución sería muy fácil mediante operaciones elementales de aritmética, por lo que la clave estará en aproximar los datos con los que haremos los cálculos. De todas formas, sí podemos dar unas sugerencias generales:

• Lo primero sería descomponer el problema principal en otros secundarios más fáciles de abordar. Si queremos estimar, por ejemplo, el número de hojas de un árbol, podemos hacerlo multiplicando el número de ramas por el número de hojas en cada rama. Nos resultará algo más cómodo pensar primero en un árbol desnudo de hojas para estimar sus ramas y luego en una rama individual para hacer lo mismo con sus hojas.
• Nuestra experiencia nos permite aproximar muchos datos sin ningún tipo de técnica especial. Por ejemplo, sabemos que la vida media de una persona está sobre los 75-80 años, que pueden caber tres o cuatro personas en un metro cuadrado de suelo, que dormimos unas ocho horas diarias, etc.
• Si la cantidad a estimar se escapa de nuestra experiencia, podemos proceder dando un límite superior y otro inferior que nos parezcan razonables y hallar su media.
• Simplificar los números redondeándolos ya que no tiene sentido buscar una solución exacta.
• Aunque podemos enfrentarnos a un problema de Fermi sin nada más que lápiz y papel, también cabe la posibilidad de conseguir datos concretos por nosotros mismos o buscarlos en enciclopedias, la web, etc.

d) ¿Para qué sirven?

Por último, aunque pueden plantearse como una práctica personal diaria, los problemas de Fermi son idóneos para la resolución de problemas en el ámbito académico:

• Los problemas de Fermi nos pueden servir para mostrar al alumnado la conexión entre las matemáticas y el mundo real, a veces de manera asombrosa según qué enunciados.
• A través de ellos, el alumnado tiene la oportunidad de descubrir múltiples caminos para resolver un problema, a la vez que desarrollan habilidades de estimación, sentido crítico.
• Además, la memorización de los hechos se vuelve menos importante ya que se prima el desarrollo de las herramientas para resolver tales cuestiones.

La resolución de problemas de Fermi requiere pocos conocimientos matemáticos previos y con ellos se evalúa más la capacidad de pensar que unos conocimientos específicos de matemáticas.

Resultan muy fáciles de plantear o buscar a través de Internet y pueden adaptarse a cualquier nivel educativo sin más que establecer unos enunciados acordes al nivel deseado. ¿Qué más se puede pedir?

4.3.2.4. Conexiones

Los resultados de las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas alertan sobre la necesidad de incorporar cambios en la actividad matemática de aula, desde visiones más procedimentales hacia visiones más estructurales. En general, esta visión procedimental de la matemática fomenta la descontextualización y el aprendizaje se reduce a una repetición mecánica de técnicas aisladas, con una conexión muy reducida con el mundo real que no favorece la resolución de problemas complejos y contextualizados (Bishop, 2001).

Las visiones más estructurales de las matemáticas dan un valor explícito al establecimiento de conexiones. Desde esta perspectiva, se asume que la actividad matemática favorece que el alumnado construya conocimiento matemático interconectado y, por tanto, posea más herramientas para ampliarlo, profundizar en él y transferirlo para comprender e incidir en el mundo en el que interactúa (Cobb et al. 1991).

Las matemáticas no están constituidas por ejes temáticos desvinculados entre sí, sino que por el contrario, esta disciplina es un campo de estudio integrado. Se hace necesario que el alumnado reconozca y realice conexiones entre ideas matemáticas y además es importante considerar conexiones matemáticas con otras disciplinas y con la vida cotidiana para entender mejor su utilidad.

En los nuevos currículos basados en enfoque competencial, se hace énfasis en la necesidad de fomentar conexiones en el aula, intraconceptos, interdisciplinas y entre etapas educativas (De Gamboa y Figueiras, 2014). Una "concepción global del currículo, más allá de los saberes, nos permite también mirar las matemáticas desde un punto de vista superior ... señalando la existencia de las denominadas grandes ideas matemáticas ... que vertebran estos saberes en niveles superiores y permiten apreciar la continuidad y las conexiones intramatemáticas" (CEMat, 2021, p. 5).

Los fundamentos de este paradigma son radicalmente diferentes a los del formalista procedimental. Al enfatizar el conocimiento matemático como parte de la experiencia y la interacción humanas, orienta su enseñanza de forma que los y las estudiantes realmente comprendan las matemáticas a través de oportunidades de compartir experiencias y significados, de establecer conexiones entre conceptos e ideas relevantes, y ser capaces de aplicarlas de forma crítica y reflexiva a situaciones de su vida cotidiana. Como afirma Philipp (2001), "el reto ya no es hacer llegar las matemáticas a los estudiantes, es llevar a los estudiantes hacia las matemáticas".

El profesorado deberá ser capaz de orquestar discusiones de toda la clase, hacer preguntas profundas y plantear tareas que ayuden al estudiantado a reflexionar y desarrollar su pensamiento actual, dando oportunidad para que la educación matemática prepare al alumnado para aplicar las matemáticas en todo tipo de situaciones laborales y de la vida cotidiana.

La mediación se torna esencial en la forma de abordar un saber. El cambio de paradigma implica, por ejemplo, enfatizar la comprensión conceptual de los elementos de un procedimiento frente al exclusivo uso del procedimiento en sí, entendiendo ambos aspectos como no dicotómicos. Como afirma Kieran (2013), ambos aspectos han de convivir e interactuar de forma que la comprensión conceptual acompañe a la elaboración y uso de técnicas, a la vez que el propio proceso de generación de esas técnicas se torne en un proceso de enriquecimiento conceptual.

Este cambio pasa por que los y las docentes aprendan a estructurar ambientes de aprendizaje que permitan el discurso matemático y la conexión de ideas matemáticas. Desde nuestra perspectiva, la clave está en que el conocimiento matemático que han de tener ha de ser más extenso y profundo, potenciando las ideas matemáticas relevantes y las interconexiones entre ellas (Ma, 1999; Sfard, 2003).

Si bien podemos considerar que enseñar los contenidos matemáticos con sentido equivale a lo que Ausubel llamó enseñanza para un aprendizaje significativo, el concepto de sentido matemático corresponde al resultado final de ese aprendizaje, que lleve a desarrollar maneras flexibles de pensar sobre el contenido para usarlo en diversos contextos, proporcionando los elementos culturales que caracterizan ese contenido (Llinares, 2001). De manera simplificada, se desarrolla sentido matemático cuando se da sentido a los saberes, elaborando significados, usando los saberes en contexto, identificando las situaciones en que es importante emplear dicho saber, y proponiendo soluciones a las cuestiones que los usos en contexto puedan generar. Este aprendizaje requiere interacción, negociación y comunicación con otras personas (Rico et al., 2015; Ruiz-Hidalgo, 2016).

El aprendizaje con sentido concreta las maneras de comprender y usar las matemáticas necesarias para el desarrollo de la competencia matemática y, a diferencia de la competencia, enfatiza habilidades concretas que se pueden desarrollar con elementos del saber. De esta forma, el sentido se puede entender como una forma de pensar asociada a un saber particular o, como se expresa en algunos documentos, como un conocimiento dentro de un dominio conceptual (Greeno, 1991). La estructuración de los saberes básicos en seis sentidos presentes en el sentido matemático recoge la nueva visión humanística de las matemáticas: sentido socioemocional, numérico, de la medida, espacial, algebraico, pensamiento computacional y sentido estocástico.

4.3.2.4.1. Ideas clave para el desarrollo de las conexiones

Según Ángel Alsina (2004), en el aula se deben trabajar las siguientes ideas clave:

• Los programas de enseñanza deberían capacitar a todo el alumnado para los siguientes estándares de conexiones (NCTM, 2000):
• Reconocer y usar las conexiones entre ideas matemáticas, como por ejemplo reconociendo que se necesitan los números para expresar la medida de una magnitud.
• Comprender cómo las ideas matemáticas se interconectan y construyen una sobre otras para producir un todo coherente, por ejemplo, al reconocer la misma estructura matemática en contextos aparentemente diferentes como por ejemplo en investigaciones estadísticas de diferente naturaleza.
• Reconocer y aplicar las matemáticas en contextos no matemáticos, como por ejemplo temas propios de otras disciplinas o contextos de vida cotidiana.
• Las conexiones matemáticas se refieren a las relaciones entre los diferentes sentidos matemáticos y entre los sentidos y los procesos matemáticos (intradisciplinariedad), como por ejemplo cuando se analiza el número de lados de una figura geométrica o bien cuando se clasifican los polígonos con base a este criterio; las relaciones entre las matemáticas con otras áreas de conocimiento (interdisciplinariedad), como por ejemplo cuando se identifica el patrón de un ritmo musical; y las relaciones entre las matemáticas con el entorno que nos rodea, cuando por ejemplo se trabajan los distintos sentidos matemáticos cuando se hace una excursión: recogida del dinero, análisis del itinerario, etc. (enfoque globalizado).
• Las conexiones entre los diferentes sentidos matemáticos ponen de manifiesto que las matemáticas no son una colección fragmentada de sentidos, aunque con frecuencia se dividen y presentan así, sino que constituyen un campo integrado de conocimiento. Desde esta perspectiva, hay unas mismas capacidades matemáticas que se repiten: identificar (definir o reconocer); relacionar (comparar); y operar (transformar), lo único que varía es el tipo de sentido: números y operaciones, álgebra, geometría, medida, o bien estadística y probabilidad. Dentro todavía de las conexiones intradisciplinares, los estrechos vínculos entre los sentidos y las competencias específicas (procesos matemáticos) evidencian que no son dos tipos de conocimientos independientes, sino que se interrelacionan, se retroalimentan para favorecer la competencia matemática. Al combinarse los sentidos y las competencias específicas (procesos matemáticos) generan nuevas miradas que hacen hincapié no solamente en el sentido y el proceso sino y especialmente en las relaciones que se establecen entre ellos, por ejemplo, al interpretar la resolución de problemas como el marco de aplicación de los diferentes sentidos, no únicamente los referidos al cálculo.
• Las conexiones entre las matemáticas y las otras áreas de conocimiento ponen de manifiesto que, a pesar de que actualmente la práctica educativa más habitual sigue siendo todavía el trabajo aislado de los sentidos matemáticos, las actividades interdisciplinares van ocupando un lugar cada vez más importante en las aulas. Así, las matemáticas pueden trabajarse en conexión con el arte, con la música, con la literatura o bien a través de la educación física, por citar algunos ejemplos.
• Las conexiones entre las matemáticas y el entorno evidencian que el uso de contextos de vida cotidiana puede contribuir a facilitar el aprendizaje de las matemáticas, pero sobre todo a comprender cuál es su sentido, cuáles son sus verdaderas funciones: formativa, teniendo en cuenta que los contextos de vida cotidiana permiten pasar progresivamente de situaciones concretas o situaciones abstractas (matematización progresiva); instrumental, al considerar que los contextos son, en realidad, herramientas que favorecen la motivación, el interés o el significado de las matemáticas; y aplicada, al fomentar el uso de las matemáticas en contextos no exclusivamente escolares y, por lo tanto, contribuir a la formación de personas matemáticamente más competentes.
• En el aula se favorecen las conexiones matemáticas cuando se reta al alumnado a aplicar el aprendizaje en investigaciones y proyectos matemáticos amplios, como por ejemplo en contextos de vida cotidiana (llamados contextos reales o realistas en el marco de la Educación Matemática Realista planteada por Freudenthal, 1991) o en situaciones de manipulación, experimentación y juego, en las que formulan preguntas y diseñan encuestas, toman decisiones sobre métodos de recogida y registro de información, y planifican representaciones para comunicar los datos y para que les sirvan de ayuda para hacer conjeturas e interpretaciones razonables.
• El uso de objetos concretos en situaciones de manipulación y experimentación en el aula favorece también la conexión de las ideas matemáticas nuevas con las anteriores, siempre que haya una buena planificación y gestión ya que el material por sí mismo no es garantía de aprendizaje matemático.
• Cuando se contemplan las conexiones en el aula de matemáticas se eliminan las barreras que separan las matemáticas aprendidas en el centro de las aprendidas en otros contextos. Dicho de otra manera, se conectan las matemáticas informales e intuitivas que han aprendido a través de su experiencia con las más formales, por ejemplo poniendo de relieve las muchas situaciones en las que encuentran matemáticas fuera y dentro del centro: los números que hay en las calles, en las tiendas, en las matrículas de los coches... son los mismos números que hay en el centro; o los cuerpos tridimensionales que puede haber en un parque, como por ejemplo el cilindro y la esfera que componen una farola, tienen las mismas propiedades geométricas que los cuerpos geométricos de madera que puede haber en el aula.

4.3.2.4.2. Grandes ideas

En una sociedad tan cambiante es difícil establecer cuáles son los saberes que de manera irrenunciable se deben trabajar. Por otro lado, la creación constante de saberes nuevos, haría imposible abarcarlo todo. La investigación matemática intenta dar respuesta a esta cuestión desde diferentes enfoques.

La LOMLOE nos sitúa en un paradigma socioconstructivista: el conocimiento no se transmite, lo que se transmite es información y, con esa información, cada persona, interactuando con otras, es capaz de construir su propio conocimiento. Es más importante enseñar al alumnado a construir su propio conocimiento matemático: haciéndose preguntas, planteándose conjeturas, integrando datos e información, pensando cómo resolver un problema, etc., que intentar enseñar una cantidad de saberes inabarcable.

El vertebrar los saberes básicos en niveles superiores, las grandes ideas matemáticas (patrones, modelo, variable, relaciones y funciones, movimientos y transformaciones, distribución, incertidumbre, magnitud, etc.) permiten apreciar la continuidad y las conexiones intramatemáticas, favoreciendo la adquisición de aprendizajes significativos que van a ser utilizados en la creación de más conocimiento.

La propuesta curricular que se presenta no pretende ser un desarrollo exhaustivo de los saberes básicos que se desarrollarían en el currículo de matemáticas de la Educación Infantil, Primaria y Secundaria, sino un conjunto de ideas (grandes ideas) matemáticas clave para la alfabetización matemática del alumnado al terminar la etapa de educación obligatoria. Estas ideas (grandes ideas) matemáticas clave están organizadas en torno a la idea de sentido matemático. Esta idea permite dar coherencia y continuidad al paso de Primaria a Secundaria al tiempo que plantea una enseñanza funcional de las matemáticas, que haga predominar y dar sentido a los conceptos en resolución de problemas o tareas en contexto, frente al aprendizaje de destrezas o algoritmos en situaciones descontextualizadas (Rico y Díez, 2011). Podemos sintetizar las grandes ideas en la siguiente infografía:

Algunos ejemplos de la relación de las grandes ideas con los sentidos:

Desde las primeras edades, el desarrollo del sentido estocástico pasa por la conexión entre las tres grandes ideas expuestas en la infografía, es decir, no tratar separadamente la estadística descriptiva y la probabilidad, e incluso iniciarse en inferencias informales. Es necesario trabajar con los datos en un contexto, e interpretarlos dentro de él, dando sentido a los procedimientos de análisis que se utilicen: cálculo de parámetros relacionados con el centro y la dispersión de los datos y, sobre todo, visualización de gráficos. A partir de esta interpretación surgirán de manera natural tanto las preguntas a las que se pueda responder con los datos, como las posibles conjeturas que orientarán nuevos estudios estadísticos. El vínculo entre lo observado y lo conocido y lo que puede ocurrir en sucesivas experimentaciones viene dado por la predictibilidad, que nos permitirá cuantificar en términos de probabilidad la incertidumbre inherente a los experimentos aleatorios.

Alsina (2021b) propone la siguiente relación del sentido estocástico con los distintos procesos (competencias específicas) para Educación Infantil y Primaria:

Las principales capacidades que caracterizan el sentido numérico son: reconocer cómo y cuándo usar los números, discernir en qué ocasiones se requiere un valor exacto y cuándo es posible dar un valor aproximado, detectar y usar relaciones o propiedades entre números, percibir la magnitud de los números, realizar cálculos mediante procedimientos diferentes adaptados a cada situación, conocer y usar distintas representaciones de los números, y aceptar distintas estrategias para resolver problemas aritméticos. Estas capacidades son una concreción al ámbito numérico de procesos matemáticos generales como el razonamiento, las conexiones, la comunicación, la representación, la selección de técnicas y herramientas o la resolución de problemas. Las grandes ideas matemáticas que organizan el dominio numérico son: el proceso de contar, la noción de cantidad, el sentido de las operaciones aritméticas, las relaciones numéricas, el razonamiento proporcional y la educación financiera.

4.3.2.4.3. Conexiones con otras áreas, materias o contextos

La creación de contextos adecuados para poder enseñar matematizando requiere de problemas matemáticos que tengan un contexto significativo para el estudiantado. Los contextos al ser significativos se constituyen en puntos de partida de su actividad matemática, promoviendo el uso del sentido común y de estrategias informales (Freudenthal, 1983).

Sin embargo, para no generalizar y banalizar el concepto de contexto realista es importante tener en cuenta su carácter relativo, ya que un contexto, sea o no realista, depende de la experiencia previa del alumnado o de su capacidad para imaginarlo o visualizarlo.

Desde el ámbito de la educación matemática, pues, "un contexto es una situación más o menos problemática que puede ser objeto de estudio y que genera preguntas o problemas que requieren las matemáticas para contestarlas o resolverlas" (Alsina, 2011, p. 13). Desde esta perspectiva, en matemáticas un contexto no debería entenderse sólo como el contexto del aula; el contexto social o familiar de la escuela o del alumno; o el contexto histórico, sino que es un término mucho más general que engloba todas aquellas situaciones y actividades que tienen sentido para el alumnado y fomentan su pensamiento matemático crítico (Niss, 1995).

En la perspectiva curricular actual se resalta la necesidad de establecer conexiones entre diferentes disciplinas. Este tipo de conexión, denominada extramatemática, requiere del uso de procesos de contextualización para relacionar nociones e ideas de matemáticas con ciencias experimentales, educación física, educación artística, etc. También es usual el realizar proyectos interdisciplinarios.

4.3.2.4.4. Conectando actividades

En ocasiones nos encontramos actividades relacionadas con un saber en concreto. Para desarrollar la competencia específica 5 (Educación Primaria y Secundaria) y establecer conexiones, podemos seguir las siguientes pautas:

• Añadir condiciones, preguntas productivas,.., a las actividades propuestas, trabajando igualmente la competencia específica 3 (Educación Primaria y Secundaria).

4.3.2.5. Comunicación.

Hay que tener en cuenta que la comunicación, tanto oral como escrita, es un aspecto esencial del aprendizaje de las matemáticas, pues es la forma de compartir y aclarar ideas, razonar, reflexionar, dar significado a los conceptos con lo cual se va encaminando el alumnado hacia la comprensión.

En la educación matemática se da distinto valor a la comunicación verbal y a la no verbal en la enseñanza. La investigación en el área ha documentado la tendencia a valorar el modo de comunicación verbal por encima de otros modos de comunicación como el visual, incluso cuando las representaciones matemáticas que se trabajan son de naturaleza gráfica (Planas y Ngoepe, 2019; Nairouz y Planas, 2016). No obstante, el equilibrio entre comunicación verbal y no verbal es pedagógica y didácticamente necesario en cualquier aula de matemáticas.

En una situación, la comunicación sirve a una finalidad: compartir significados con los demás. Describir, contrastar, opinar, preguntar, afirmar, argumentar, ejemplificar..., llevarán al alumnado a poner en duda sus propias soluciones, sus procedimientos y sus ideas previas. El conocimiento que se genera en clase, en un ambiente de comunidad de indagación, es compartido. Siguiendo a Brendefur y Frykholm (2000), si analizamos la gestión de la participación en el aula, la comunicación contributiva y reflexiva es la más adecuada para construir significados y facilitar la comunicación de ideas propias. El razonamiento del alumnado se hace visible y desarrollan habilidades comunicativas y argumentativas. La comunicación de las ideas matemáticas va muy ligada a la representación.

Siguiendo las distintas Órdenes de currículum, la comunicación y el intercambio de ideas es una parte esencial de la educación científica y matemática. A través de la comunicación, las ideas, conceptos y procedimientos se convierten en objetos de reflexión, perfeccionamiento, discusión, rectificación y validación. La capacidad de analizar verbalmente y expresar lo razonado resulta una necesidad fundamental para desenvolverse socialmente, recurriendo al vocabulario matemático adecuado, exponiendo y organizando las ideas que se quieren transmitir o aceptando y rebatiendo argumentos contrarios. Comunicar el pensamiento matemático con claridad, coherencia y de forma adecuada al canal de comunicación y al contexto contribuye a cooperar, afianzar y generar nuevos conocimientos.

Por otra parte, la representación matemática, como elemento comunicativo, utiliza una variedad de lenguajes tales como el verbal, el gráfico, el simbólico o el tabular, entre otros, a través de medios tradicionales o digitales, permitiendo expresar ideas matemáticas con precisión, en contextos diversos (personales, escolares, sociales, artísticos, científicos y humanísticos). El alumnado debe reconocer y comprender el lenguaje matemático presente en diferentes formatos y situaciones, partiendo de un lenguaje cercano y adquiriendo progresivamente la terminología precisa y el rigor científico que caracterizan a las matemáticas. Asimismo, el alumnado debe transmitir información matemática adecuando el formato del mensaje a la audiencia y al propósito comunicativo.

4.3.2.5.1. Ideas clave para desarrollar la comunicación.

Siguiendo a Ángel Alsina (2004), es importante implementar en el aula las siguientes pautas:

• Los programas de enseñanza deberían capacitar a todo el alumnado para los siguientes estándares de comunicación (NCTM, 2000):
• Organizar y consolidar el pensamiento matemático a través de la comunicación, por ejemplo, cuando los alumnos y alumnas exponen sus estrategias para resolver una situación, cuando justifican su razonamiento o bien cuando hacen preguntas sobre algo que no saben o les resulta extraño.
• Comunicar el pensamiento matemático con coherencia y claridad al resto de alumnado de la clase, docentes y otras personas, por ejemplo, dando oportunidades al alumnado para que puedan poner a prueba sus ideas y propiciando un ambiente en el aula en el que se sientan libres para expresarlas.
• Usar el lenguaje matemático para expresar ideas matemáticas con precisión, por ejemplo, haciendo ver al alumnado que algunas palabras que se usan en el lenguaje ordinario, tales como la palabra genérica «redonda», se pueden precisar mucho en la clase de matemáticas según el significado específico: circunferencia, círculo o esfera.
• Las matemáticas son, entre otras cosas, un lenguaje universal que permite comunicarse. Aun así, cuando se piensa en las matemáticas como un lenguaje se tiende a asociarlas al lenguaje simbólico, como por ejemplo los números escritos, pero no es la única herramienta para comunicar las ideas matemáticas.
• El lenguaje oral y escrito son herramientas imprescindibles (y previas al lenguaje simbólico) para desarrollar y comunicar el pensamiento matemático en las primeras edades, ya que favorecen la comprensión del conocimiento y la estructuración del pensamiento (NCTM, 2000). Así, por ejemplo, cuando se pide al alumnado que exprese oralmente una idea primero debe haberla interiorizado y organizado en su mente.
• La comunicación se tiene que distinguir de la información: informar implica transmitir en sentido unidireccional desde un emisor hacia un receptor; en cambio comunicar implica interactuar en sentido bidireccional dos o más personas. Por ejemplo, en una clase expositiva en la que se presenta un cuadrilátero y se describe algunas de sus propiedades geométricas elementales se produce una situación de información, mientras que en una clase en la que se muestra un cuadrilátero y pregunta al alumnado qué características tiene, fomentando la participación y el diálogo se produce una situación de comunicación.
• El alumnado empieza muy pronto a comunicar matemáticamente. En los primeros niveles, el desarrollo de su vocabulario matemático depende en buena medida de la interacción verbal con las familias, pero el papel de la escuela es también fundamental si se tiene en cuenta que el lenguaje es tan importante para aprender matemáticas como lo es para aprender a leer.
• El trabajo sistemático de la comunicación en el aula de matemáticas de cualquier nivel educativo requiere integrar los procesos de interacción, diálogo y negociación alrededor de los sentidos matemáticos y su gestión, puesto que el alumnado a menudo interpreta las normas establecidas de manera diferente, y muy a menudo también estas interpretaciones difieren de las que el profesorado espera.
• En los procesos de interacción, diálogo y negociación en el aula de matemáticas, las preguntas se erigen como uno de los instrumentos de mediación más idóneos, justamente porque pueden hacer avanzar desde unos primeros niveles de concienciación sobre lo que uno ya sabe o es capaz de hacer hacia niveles más superiores en los cuales va entreviendo la manera de avanzar mejor en el aprendizaje (Mercer, 2001).
• A nivel curricular se insiste en la necesidad de plantear buenas preguntas para favorecer la comunicación en el aula, sin embargo, en términos generales ha habido escasas aportaciones sobre qué características debería tener una buena pregunta, qué tipos de preguntas se tendrían que formular y cómo se tendrían que formular para favorecer el desarrollo del pensamiento matemático en las primeras edades.
• El alumnado que tiene oportunidades, está motivado y se siente apoyado para hablar, escribir, leer y escuchar en las clases de matemáticas se beneficia doblemente: comunica para aprender matemáticas y aprende a comunicar matemáticamente (NCTM, 2000)

4.3.2.5.2. Comunicando ideas

Durante el proceso de construcción del conocimiento el alumnado debe ser agente de su propio aprendizaje comunicando lo que considera más relevante para poder utilizarlo en otros contextos. Como siempre, comunicación y representación se utilizarán de manera conjunta. A continuación, podemos observar dos ejemplos de aula:

4.3.3. La situación de aprendizaje como instrumento para alcanzar la competencia matemática.

4.3.3.1. Concepto y elementos de una situación de aprendizaje.

Una situación de aprendizaje se define en los Reales Decretos como "situaciones y actividades que implican el despliegue por parte del alumnado de actuaciones asociadas a Competencias Clave y competencias específicas y que contribuyen a la adquisición y desarrollo de las mismas".

Las situaciones de aprendizaje en Andalucía, tanto en el Decreto como en su Orden, remarcan su carácter integrador, poniéndose en acción a través de actividades y tareas relevantes bien contextualizadas. Andalucía ha definido un esquema general de situación de aprendizaje:

Puntos clave para el diseño de una situación de aprendizaje.

La secuenciación didáctica es el desarrollo práctico de una situación de aprendizaje y se realizará una vez justificada su finalidad y descrito el producto, reto final o desempeño deseado.

Una secuencia didáctica se concreta por medio de la planificación de un conjunto de acciones, tareas y actividades de aprendizaje, coherentemente interrelacionadas, ordenadas y dirigidas a la elaboración de un producto o desempeño final como expresión de aprendizaje que responda satisfactoriamente a la práctica social y cultural que le da sentido.

Un modelo de secuenciación didáctica, reconstruida desde el modelo de aprendizaje experiencial, puede servir de ejemplo de situación de aprendizaje (siempre que se adapte y contextualice por el docente a la realidad de su aula). Esta secuencia didáctica se puede esquematizar en la siguiente infografía:

4.3.3.2. ¿Cómo diseñar la situación de aprendizaje matemática?

Vamos a establecer algunas pautas generales para el diseño de una secuencia didáctica para la puesta en práctica de una situación de aprendizaje matemática, pues es la forma normativa y recomendada para implementar en el aula, la didáctica y metodología que exponemos a lo largo de todo este apartado:

• Como pauta general debemos considerar que para alcanzar la competencia matemática hay que trabajar los saberes básicos a través de las competencias específicas.
• Utilizar los problemas cerrados (ejercicios) para reconocer los datos necesarios, las relaciones entre los datos y la pregunta, aplicar saberes básicos, procesos... Todo lo anterior se trabajará en la competencia específica 5 (Educación Primaria y Secundaria) conectando saberes básicos. Dentro de la secuencia didáctica en las fases de activación y exploración.
• Proponer problemas abiertos o de aplicación de estrategias para trabajar las competencias específicas 1 y 2 (Educación Primaria y Secundaria). Dentro de la secuencia didáctica en las fases de estructuración y aplicación.
• La enseñanza a través de los problemas se aplicará en las primeras fases de la secuencia didáctica para crear conocimiento.
• Las investigaciones se utilizan para trabajar la competencia específica 3 (Educación Primaria y Secundaria). Se llevan a cabo en situaciones de aprendizaje en las que no se trabajen las competencias específicas 1 y 2.
• Los sentidos y saberes básicos se introducirán y trabajarán respetando la estructura interna del área o materia en las primeras fases de la secuencia didáctica. Pasando posteriormente a conectarlos con otros saberes matemáticos, otras áreas/materias o la realidad en las últimas fases.
• Igualmente se tendrá en cuenta la estructura interna del área o materia para la planificación de las diferentes situaciones de aprendizaje.
• Las grandes ideas matemáticas que vertebran los saberes en niveles superiores permiten apreciar la continuidad y las conexiones intramatemáticas" (CEMat, 2021, p. 5).
• En todas las situaciones de aprendizaje se evaluará y calificará la competencia 5 en Educación Primaria y las competencias 5 o 6 para Educación Secundaria. En Educación Infantil por su metodología trabajan conectando saberes básicos.
• Los saberes básicos también se evalúan a través de los indicadores de logro diseñados para los diferentes criterios de evaluación. Ejemplo: Un indicador de logro para el criterio 6.1.b de Educación Primaria, para la evidencia de una encuesta sobre el desayuno sería: "Estructura los datos recogidos en una tabla de frecuencias".
• Para diseñar el reto, además de las recomendaciones metodológicas generales propuestas para definirlo, tendremos en cuenta:
• Las evidencias que el alumnado debe desarrollar para cada competencia específica. Por ejemplo: Para la competencia específica de comunicación (CE 6 en E.P. y CE 8 en ESO) podemos solicitar como evidencia un producto (informe, portfolio, ..), un desempeño (exposición oral, debate, ..).
• Los saberes básicos que vamos a desarrollar y sus conexiones: matemáticas, con otras materias, con la realidad. Por ejemplo: Conectar las redes numéricas en Primaria y su desarrollo para realizar una compra con un presupuesto límite.

4.4. CREACIÓN DE GRUPOS REDUCIDOS. DOCENCIA COMPARTIDA.

4.4.1. Concepto y planteamientos iniciales.

Los agrupamientos dentro del aula son una de las decisiones que deben tomarse a la hora de planificar la acción docente. En el momento que se decide abordar algún tipo de estrategia concreta diferenciada del grupo-clase habitual emergen dos modelos: los grupos reducidos dividiendo al alumnado o la inclusión dentro del mismo espacio de un segundo docente en situación de docencia compartida o codocencia.

La asunción de estos modelos, ya se trate de la creación de desdobles o la implementación de la docencia compartida, supone una doble contribución al proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que se adoptan con la intención de repercutir positivamente en los resultados académicos del alumnado, pero también tienen un impacto positivo en el desarrollo profesional docente. No obstante, conviene resaltar desde el punto de partida que no resulta suficiente el hecho de contar con un grupo reducido o compartir el espacio y el proceso dentro del aula, sino que hay que tomar una serie de decisiones críticas que afectan al éxito de estas prácticas.

Ambas modalidades presentan una serie de retos organizativos que deben ser resueltos por los centros educativos en función de los recursos disponibles, ya que, evidentemente, influyen de manera decisiva la existencia de espacios disponibles para la creación de grupos reducidos, la posibilidad de hacer coincidir en el horario a dos docentes destinados al mismo grupo-clase para que así puedan aspirar a unirse en la misma aula o dividir al conjunto de estudiantes por los criterios pedagógicos que se determinen. Una vez solventadas estas cuestiones materiales será necesario introducir el aspecto educativo que permita decidir qué harán, cómo lo llevarán a cabo y con qué finalidad.

A partir de ese aspecto educativo habría que destacar dos cuestiones:

• Ambas opciones pueden ser igualmente válidas si responden a una serie de decisiones conscientes que favorezcan el proceso de aprendizaje del alumnado.
• Cobra sentido que la decisión consista en la coexistencia o alternancia de ambos modelos en función del momento y la actividad que vaya a desarrollarse en el aula.

4.4.2. Semejanzas y diferencias entre los grupos reducidos y la docencia compartida

Si bien la alternancia cobra sentido en determinados momentos en función de las actividades que vayan a desarrollarse en el aula, parece necesario comentar de manera breve en qué consisten los principales rasgos de ambos modelos, aunque posteriormente se desarrollen aquellos relativos a la docencia compartida al tratarse de una modalidad de implantación minoritaria en comparación al desdoble.

Desde un punto de vista operativo, la división de un grupo en dos de menor tamaño es más sencilla de implementar. Los retos de esta división radicarán en los criterios de selección del alumnado para formar parte de cada uno de los grupos. No parece razonable una división arbitraria basada en criterios sobre los que no se puede actuar, como el orden alfabético o el género. Se hace necesario reflexionar sobre si la intención es la generación de grupos simplemente menos numerosos, si se tratará de grupos homogéneos o heterogéneos en cuanto al rendimiento académico, el dominio de la lengua, la motivación o cualquier otro factor susceptible de experimentar cierta evolución tras la acción docente.

Incluyendo una dimensión socioeducativa, es cierto que el desdoblamiento permite una mayor atención individualizada al proceso de enseñanza-aprendizaje, una mayor capacidad docente de detectar las dificultades y necesidades específicas o de crear un clima de trabajo positivo con mayor facilidad alterando las dinámicas del gran grupo. No obstante, debe observarse que la medida adoptada no resulte segregadora e impida la equidad y la inclusión educativa de cada estudiante.

En el caso de la codocencia, es necesario establecer soluciones a cuestiones de gran calado como la planificación de las acciones conjuntas que se llevarán a cabo, los momentos y métodos para compartir y contrastar conocimientos por parte de quienes impartan docencia compartida, las características del alumnado, los métodos de trabajo, los materiales que se utilizarán, o la metodología y didáctica empleadas. Además, será imprescindible valorar de qué manera se realizará la intervención en el aula, asentando el clima de trabajo, la organización del tiempo, las estrategias de inicio y fin de las sesiones, el planteamiento de las actividades, etc.

Para facilitar el análisis de ambas propuestas, se propone observar una serie de semejanzas y diferencias.

Semejanzas

Aspecto	Descripción
Atención individualizada	Existe una mayor posibilidad de atender a las necesidades individuales de cada estudiante, permitiendo una intervención más personalizada que en un modelo tradicional de clase única
Flexibilidad pedagógica	Facilitan la aplicación de estrategias de enseñanza diferenciada, adaptándose a los distintos ritmos de aprendizaje del alumnado
Colaboración docente	Se promueve la colaboración entre docentes para planificar, ejecutar y evaluar los procesos de aprendizaje, lo que favorece la integración y la promoción del modelo competencial y los enfoques pedagógicos

Diferencias

Aspectos	Grupos reducidos	Docencia compartida
Configuración del aula	El grupo completo se divide en subgrupos o desdobles, con un número menor de estudiantes	Dos docentes trabajan conjuntamente en el mismo espacio físico con un grupo completo
Dinámica de enseñanza	Permite un enfoque más intensivo y adaptado a cada grupo, favoreciendo una intervención más específica	Permite la coplanificación y la coevaluación al ofrecer intervenciones simultáneas
Atención al alumnado	El docente puede centrarse en las particularidades de cada estudiante, facilitando la detección y atención de dificultades o potencialidades	Favorece la integración metodológica y la visibilidad del trabajo en equipo, tanto para el alumnado como para los y las docentes, que pueden servir como modelo de habilidades sociales y comunicación
Organización y gestión	Requiere una organización espacial y temporal que permita el desplazamiento, implicando desafíos respecto a las aulas, tiempos y materiales	Requiere una coordinación precisa entre docentes para definir roles, metodologías y estrategias comunes que eviten solapamientos o lagunas en la intervención
Contexto de intervención	La división puede influir negativamente en la dinámica y cohesión del grupo completo, así como en la integración y colaboración entre el alumnado	La permanencia en el mismo espacio puede facilitar la cohesión grupal y la continuidad dentro de la dinámica de la clase

4.4.3. La docencia compartida

4.4.3.1. Definición

La docencia compartida se define como la colaboración de dos o más profesionales que enseñan a un grupo de estudiantes con diversas necesidades de aprendizaje, ofreciendo apoyo específico a alumnos con diversidad funcional y otras necesidades especiales, mientras permanecen en sus clases ordinarias. Es una enseñanza coordinada donde dos o más educadores trabajan simultáneamente con un grupo heterogéneo de estudiantes en un aula ordinaria. Según Friend y Cook (2004), la docencia compartida implica que dos o más educadores asumen conjuntamente la responsabilidad de enseñar a un grupo de alumnos en el mismo espacio de trabajo.

Obando-Castillo (2016) señala que la codocencia, entendida como docencia compartida, incorpora un principio de colaboración entre dos docentes para lograr un objetivo común, beneficiándose de la interacción cara a cara, el liderazgo compartido y un sistema de creencias comunes.

En la literatura científica, existen diferentes terminologías para hacer referencia a dos profesionales de la educación impartiendo clase a un mismo grupo, como codocentes o parejas pedagógicas (Huguet y Lázaro, 2018). Con independencia del término escogido, debemos destacar el trabajo compartido en equipo que realizan dos docentes sobre el abordaje metodológico y didáctico sobre el mismo grupo de estudiantes. Esto implica que tanto la planificación, como la puesta en práctica, la elaboración de materiales, los momentos destinados a compartir y contrastar conocimientos o la elaboración de las intervenciones compartidas deben ser acordadas con anterioridad.

La docencia compartida tiene sentido cuando se busca mejorar la inclusión (participación y progreso de todo el alumnado), optimizar el apoyo educativo dentro del aula, mejorar la cultura colaborativa del centro, contribuir a una mayor satisfacción del profesorado en la gestión de su aula, fomentar la integración entre los estudiantes, aplicar metodologías activas e implementar propuestas interdisciplinares. También facilita las relaciones entre profesores y estudiantes, mejorando el rendimiento académico y el comportamiento del alumnado. Además, permite observar al alumnado de forma individual para comprender mejor sus necesidades de aprendizaje y sus interacciones sociales.

Por el contrario, no tiene sentido si los profesores imparten una asignatura de forma alterna, si uno enseña mientras el otro prepara materiales o califica el trabajo, si uno imparte la lección mientras el otro solo observa sin un objetivo claro, o si uno toma todas las decisiones y el otro solo ejecuta lo que se le ordena. La docencia compartida se relaciona con la gestión del aula y del currículo en varias dimensiones: la planificación de la enseñanza, que incluye la distribución de roles y responsabilidades, diseño de adaptaciones curriculares y preparación de recursos; la didáctica de aula, que abarca estrategias didácticas, manejo de la conducta, comunicación entre docentes y relación con el aula de recursos; y la evaluación, que incluye diagnóstico de aprendizajes previos, evaluación de necesidades educativas especiales y seguimiento del proceso.

En cuanto a la relación que une a ambos miembros del equipo pedagógico, se pueden establecer diferencias entre modelos basados en la consulta y diferenciación de roles o en la igualdad y cooperación, donde ambas partes comparten responsabilidades en la planificación e implementación de los procesos de enseñanza-aprendizaje. Según las decisiones tomadas, se pueden identificar los siguientes perfiles docentes:

• Perfil docente más perfil aprendiz.
• Perfil docente tutor junto a docente de atención a la diversidad.
• Docentes generalistas o especialistas.
• Co-docencia mixta

La docencia compartida permite que los alumnos con dificultades permanezcan en el aula ordinaria, beneficiándose de un apoyo específico sin segregación. Esto mejora el ambiente escolar y la convivencia, reduce conflictos y mejora el rendimiento académico general. Además, evita que el alumnado con capacidades diversas sea etiquetado negativamente por salir del aula, fomenta la autonomía y fortalece la cohesión grupal. La docencia compartida se integra en el sistema de apoyo de los centros, consolidando la creencia de que la inclusión favorece los aprendizajes.

Según Puigdellívol y Petreñas (2019), un sistema de apoyo inclusivo debe abarcar todas las acciones de un centro escolar que apueste por la construcción de una comunidad colaborativa.

La mediación en el aula permite al personal docente especialista apoyar a todo el grupo, en lugar de centrarse exclusivamente en estudiantes con dificultades. Los beneficios de la docencia compartida no solo impactan en el alumnado, sino también en los docentes. Entre ellos destacan la atención más efectiva a la diversidad, el mejor conocimiento de las circunstancias del alumnado, la reflexión conjunta sobre la práctica diaria, la coordinación con el equipo educativo, los apoyos emocionales y la mejora de la autoestima del profesorado.

A pesar de sus beneficios, la docencia compartida también presenta desafíos: requiere mayor desarrollo profesional del profesorado, es necesaria investigación adicional para optimizar su implementación y se necesita formación específica para los docentes en modelos de enseñanza conjunta. La docencia compartida favorece entornos inclusivos, mejora el clima del aula, incentiva la participación y evita la estigmatización del alumnado con necesidades educativas especiales.

Además, beneficia tanto a estudiantes como a docentes, fortaleciendo la colaboración, la planificación conjunta y el uso de estrategias diversificadas en el aula. Aunque presenta retos, su correcta implementación con formación y planificación adecuada permite una mejora significativa en la calidad educativa y la inclusión escolar.

¿Cómo organizar la docencia compartida?

La docencia compartida requiere una adecuada programación, organización de estrategias didácticas y procedimientos de evaluación tanto de los aprendizajes como de la experiencia en sí. Esto implica que los docentes involucrados conozcan los objetivos de cada sesión, acuerden los roles que desempeñará cada uno en el aula y ajusten los espacios y tiempos disponibles. Además, se recomienda llevar a cabo sesiones de coordinación, donde cada docente debe conocer sus funciones, preparar el material necesario, y adaptarlo al alumnado, así como planificar las tareas que se desarrollarán en el aula. Es fundamental entender que no existe una única fórmula de trabajo, sino que cada equipo docente debe adoptar y adaptar su metodología a su contexto y necesidades, revisándola y ajustándola cuando sea necesario.

Asimismo, la planificación no solo debe abarcar la organización de contenidos educativos y el diseño de materiales y estrategias de evaluación, sino también definir claramente el rol de cada docente y las normas de clase. Para una planificación efectiva de la docencia compartida, es esencial partir de las acciones evaluables que se desean conseguir con todo el alumnado, acordar competencias específicas, criterios de evaluación y descriptores operativos del perfil de salida. También es crucial planificar detalladamente las acciones tanto del alumnado como de cada docente en cada momento, prestando especial atención a la gestión del aula y las normas de convivencia. La planificación debe ser sistemática y revisarse al menos una vez por semana, asegurando que las programaciones sean dinámicas y se ajusten a las circunstancias que puedan surgir.

Modelos de docencia compartida (Cook and Friend, 1995, Friend et al. 2015)

A) Uno de los modelos es cuando un docente enseña mientras el otro observa. En esta modalidad, un docente tiene la responsabilidad principal de la enseñanza, mientras el otro se dedica a observar el comportamiento del alumnado. Este rol de observación tiene el propósito de recopilar información específica basada en criterios preestablecidos. Para que esta práctica sea considerada verdadera codocencia, ambos docentes deben alternar sus roles, evitando así establecer jerarquías. Esta modalidad se puede llevar a cabo con diversas organizaciones del espacio y tiene como objetivo observar la interacción entre codocente y estudiantes. Entre sus finalidades se encuentra la obtención de evidencias para la detección temprana de dificultades, el análisis de barreras para el aprendizaje y la participación, y la mejora de las prácticas docentes. Este modelo requiere un tiempo de planificación bajo y ofrece diversas fortalezas, como el apoyo intensivo a quienes lo necesiten y la provisión de evidencias para la toma de decisiones sobre la dinámica del aula. Además, facilita la coevaluación y el análisis de las prácticas docentes. Se recomienda no aplicar este modelo de forma puntual sino sistemática y continua, alternando los roles de los docentes y evitando juicios.

Ejemplo: Durante una lección sobre fracciones equivalentes, un docente explica el concepto y resuelve ejercicios en la pizarra mientras el otro observa la participación y dificultades del alumnado. Luego, ambos docentes analizan los datos recogidos y ajustan futuras estrategias de enseñanza.

B) Otro modelo es cuando un docente enseña y el otro apoya. Aquí, un docente dirige la actividad mientras el otro proporciona apoyo a los alumnos supervisando su comportamiento y revisando tareas. Es importante que ambos docentes alternen roles para evitar jerarquías y la percepción de que el docente de apoyo está solo para ayudar a ciertos alumnos. Este modelo mejora el clima del aula y ofrece un soporte más personalizado. Entre sus fortalezas destaca el apoyo intensivo a los alumnos que lo necesitan, útil para reforzar aprendizajes y conductas de forma personalizada. Se recomienda intercambiar roles para evitar estereotipos y fomentar progresivamente la autonomía del alumnado, evitando el uso excesivo de esta estrategia.

Ejemplo: Mientras un docente introduce el tema de ecuaciones de primer grado y explica los pasos para resolverlas, el otro circula por el aula, asegurándose de que los estudiantes sigan las instrucciones y brindando apoyo a quienes lo necesiten.

C) La enseñanza en equipo es otro modelo donde dos o más educadores comparten la enseñanza del grupo, aportando información y ayudando indistintamente. Aquí, los momentos y las intervenciones se distribuyen organizadamente, permitiendo que todos los docentes intervengan en la sesión. Este modelo permite que los alumnos perciban a todos los docentes con la misma autoridad y responsabilidad. Uno de los docentes puede introducir los aprendizajes, mientras el otro dirige su puesta en práctica. Los roles deben cambiar en futuras sesiones. Este modelo puede propiciar el desarrollo de aprendizajes de distintas áreas de manera interdisciplinar y mejorar el clima del aula. Entre sus fortalezas destaca que sitúa a ambos docentes al mismo nivel jerárquico y enriquece el proceso de enseñanza-aprendizaje con diferentes perspectivas y estilos. Para su implementación, es fundamental generar un clima de confianza entre los docentes y una planificación previa intensa.

Ejemplo: Ambos docentes presentan el tema de geometría en un diálogo interactivo, alternando explicaciones y ejemplos. Mientras uno introduce los conceptos de ángulos y triángulos, el otro formula preguntas al alumnado, refuerza ideas y realiza demostraciones prácticas en la pizarra.

D) La docencia por estaciones implica que los docentes orienten el desarrollo autónomo del alumnado en pequeños grupos, facilitando herramientas de interacción en distintos espacios del aula. Cada docente se hace cargo de un grupo o estación, y los estudiantes deben pasar por todas las estaciones en el tiempo programado. Este modelo promueve el aprendizaje entre iguales respondiendo a diversos ritmos e intereses. Entre sus fortalezas, permite trabajar simultáneamente con todo el alumnado, adaptando el aprendizaje a ritmos individuales y promoviendo la creatividad y la diversidad de talentos. Se recomienda organizar grupos heterogéneos, establecer normas de convivencia y hacer un seguimiento personalizado de los recorridos de aprendizaje.

Ejemplo: La clase se divide en tres estaciones:

En la primera, un docente guía a los estudiantes en la resolución de problemas sobre el área de figuras geométricas.

En la segunda, el otro docente supervisa una actividad manipulativa con recortes de papel para visualizar áreas y perímetros.

En la tercera, los estudiantes trabajan de forma autónoma con ejercicios de práctica en tablets o cuadernos.

E) La enseñanza paralela divide la clase en tantos grupos como docentes, encargándose cada uno de un grupo durante toda la sesión. Todos los grupos trabajan el mismo material con la misma metodología. Este modelo permite una mayor personalización y mejora la participación del alumnado. Sus fortalezas incluyen la mejora del clima de aula y la confianza del alumnado. Para su aplicación, se recomienda mantener una comunicación fluida entre los docentes y asegurar que los aprendizajes sean síncronos y equilibrados.

Ejemplo: La clase se divide en dos grupos heterogéneos, cada docente trabaja con uno. Ambos enseñan el mismo contenido sobre el teorema de Pitágoras, pero adaptando las explicaciones a las necesidades del grupo. Luego, los estudiantes comparan sus resultados en una puesta en común.

F) Finalmente, la enseñanza alternativa implica que un docente trabaje con un grupo pequeño mientras el otro trabaja con el resto del alumnado, realizando actividades de indagación, ampliación o refuerzo. Este modelo personaliza el aprendizaje y permite abordar contenidos instrumentales esenciales. Entre sus fortalezas, facilita el desarrollo de proyectos interdisciplinares y se ajusta a las necesidades individuales del alumnado. Se recomienda usar este modelo de manera colaborativa y coordinada, sin que suponga un desdoblamiento del aula.

Ejemplo: Mientras un docente trabaja con la mayoría del grupo en la resolución de problemas de proporciones, el otro se encarga de un pequeño grupo que necesita reforzar la conversión de fracciones a decimales antes de abordar el tema principal.

Estos modelos permiten una enseñanza más dinámica e inclusiva en matemáticas, adaptándose a las necesidades del alumnado.

Plan para la implantación de la docencia compartida

Como ya se ha hecho referencia anteriormente, la docencia compartida es un modelo de enseñanza que requiere una planificación detallada y una implementación estructurada para garantizar su éxito. No se trata simplemente de colocar a dos docentes en un aula, sino de desarrollar estrategias que permitan una colaboración efectiva y un impacto positivo en el aprendizaje del alumnado. Para ello, es fundamental seguir una serie de fases que aseguren que la codocencia sea inclusiva, organizada y enriquecedora tanto para los estudiantes como para el profesorado involucrado. Estas fases, según Sandoval et al. (2024) son las siguientes:

Fases de un proyecto de docencia compartida

1. Identificación de las necesidades.

Es fundamental avanzar hacia un enfoque de enseñanza inclusivo que atienda la diversidad en el aula de manera efectiva. Se busca mejorar la atención individualizada de cada estudiante, propiciando un ambiente de aprendizaje positivo y fortaleciendo la dinámica del grupo. Además, la organización del aprendizaje debe ser global e interconectada con la realidad, promoviendo metodologías activas y colaborativas que estimulen la participación y el compromiso del alumnado en su proceso formativo.

Ejemplo en matemáticas: En una clase de 4.º de Primaria, se detecta que los estudiantes presentan dificultades en la comprensión de la multiplicación y división. Algunos alumnos necesitan más apoyo en la interpretación de problemas matemáticos, mientras que otros requieren actividades más desafiantes. La docencia compartida permitirá atender la diversidad del aula, mejorar la dinámica grupal y fomentar metodologías activas como el aprendizaje basado en juegos y materiales manipulativos.

2. Análisis de fortalezas y áreas de mejora.

Para implementar la docencia compartida de manera efectiva, es necesario reflexionar sobre diversos aspectos fundamentales. Primero, se debe considerar el conocimiento detallado de las particularidades del grupo y de cada estudiante en particular. Además, es crucial analizar las posibilidades ofrecidas por el currículo y evaluar cuidadosamente la distribución del espacio físico del aula. Igualmente, es importante promover la cohesión grupal y el sentido de pertenencia, así como fomentar el hábito de colaboración y apoyo mutuo entre los estudiantes. Un aspecto esencial es la aplicación de metodologías de enseñanza activas desde la perspectiva del Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA).

Ejemplo en matemáticas: Antes de iniciar la docencia compartida, los docentes analizan sus habilidades y el grupo de estudiantes. Uno de los docentes es especialista en la enseñanza con material concreto (bloques base 10, regletas de Cuisenaire), mientras que el otro tiene experiencia en estrategias de resolución de problemas. Se reorganiza el aula en estaciones de aprendizaje para permitir que los estudiantes trabajen de manera colaborativa, reforzando el sentido de pertenencia y la cooperación.

3. Construcción de una relación profesional positiva.

La codocencia no siempre se realiza con compañeros seleccionados personalmente, sino con aquellos asignados conforme a la estructura organizativa de la institución educativa. Por tanto, es crucial priorizar la profesionalidad por encima de las afinidades personales. Es fundamental establecer un diálogo honesto y empático basado en la confianza mutua. Compartir expectativas de manera constructiva facilita la minimización de malentendidos y la consecución de acuerdos efectivos. Asimismo, la gestión asertiva de los conflictos y el mantenimiento de una comunicación continua contribuirán a una colaboración armoniosa. Finalmente, es esencial definir conjuntamente las normas de convivencia y los estilos de gestión del aula.

Ejemplo en matemáticas: En una clase de 5.º de Primaria, los docentes acuerdan una estrategia de trabajo para enseñar geometría. Mientras uno se encarga de la introducción teórica de figuras y cuerpos geométricos, el otro supervisa el uso de geoplano y otras herramientas interactivas. Ambos establecen una comunicación fluida para compartir expectativas y resolver desacuerdos sobre el enfoque didáctico. Se definen normas de convivencia y se promueve el respeto mutuo en la enseñanza compartida.

4. Planificación de las sesiones de docencia compartida.

La planificación debe centrarse en el diseño de estrategias aplicables a todo el alumnado, evitando inicialmente enfocarse en casos individuales. Es crucial organizar reuniones de coordinación y establecer canales de comunicación efectivos, tales como encuentros presenciales, plataformas digitales o herramientas tecnológicas. Durante este proceso, se comparten las fortalezas y debilidades de cada docente, se definen roles específicos y se diseñan materiales didácticos variados alineados con el Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA). Adicionalmente, se determina la modalidad de docencia compartida más adecuada según las características del grupo y se planifican estrategias de evaluación y participación familiar en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Ejemplo en matemáticas: Para abordar la enseñanza de fracciones en 6.º de Primaria, los docentes acuerdan que cada sesión inicie con una demostración práctica usando material visual y manipulativo. Se establecen reuniones semanales de coordinación y se utilizan herramientas digitales para compartir materiales.

5. Implementación de la enseñanza y aprendizaje en el aula.

Una vez iniciada la docencia compartida, es necesario ajustar los roles y la metodología según la dinámica del aula. Se aplican enfoques activos y participativos que favorecen la interacción y el compromiso del alumnado. Además, se busca eliminar barreras de aprendizaje para garantizar la plena accesibilidad. Durante las sesiones, se ofrece acompañamiento personalizado, se gestionan imprevistos de manera eficiente y se fomenta una cultura de apoyo mutuo entre los estudiantes, promoviendo la inclusión y el trabajo colaborativo.

Ejemplo en matemáticas:

En una clase de 3.º de Primaria sobre suma y resta con llevadas, un docente trabaja con los estudiantes que necesitan más práctica con material manipulativo, mientras que el otro guía a quienes ya dominan la operación en problemas de la vida cotidiana.

6. Evaluación y reflexión sobre el proceso.

La evaluación debe ser un proceso continuo y compartido que valore los aprendizajes adquiridos. Se implementan estrategias de evaluación colaborativa que incluyen autoevaluación, coevaluación y retroalimentación. Se utilizan distintos instrumentos de recogida de evidencias para ofrecer una evaluación diversificada y global. Además, se brindan apoyos individualizados para que el alumnado participe activamente en el proceso evaluativo. A nivel docente, se reflexiona sobre la práctica compartida a través de registros de evaluación y espacios de discusión, promoviendo el desarrollo profesional continuo y celebrando los logros alcanzados.

Ejemplo en matemáticas:

Para evaluar el aprendizaje en 2.º de Primaria, se combinan métodos tradicionales con técnicas innovadoras como autoevaluación y coevaluación. Los docentes utilizan un registro compartido para analizar la evolución de cada estudiante y reflexionar sobre mejoras en la codocencia.

7. Difusión y compartición de experiencias.

Es fundamental compartir y difundir las experiencias de docencia compartida con otros centros educativos. El intercambio de buenas prácticas permite enriquecer el proceso de enseñanza y aprendizaje, así como generar una red de apoyo entre docentes interesados en la codocencia. Esto contribuye a la mejora continua y a la expansión de metodologías inclusivas y colaborativas en diferentes contextos educativos.

4.4.4. Organización y trabajo con grupos reducidos en el aula de matemáticas

4.4.4.1. Importancia del Aprendizaje Cooperativo

El aprendizaje cooperativo es una de las estrategias más efectivas para abordar la diversidad en el aula y mejorar el rendimiento de los estudiantes en matemáticas. A diferencia de las estructuras de aprendizaje individualistas y competitivas, este enfoque fomenta la colaboración y el apoyo mutuo, lo que permite que los alumnos trabajen juntos para alcanzar objetivos comunes. Este tipo de aprendizaje no solo tiene beneficios académicos, sino que también fortalece las relaciones interpersonales, mejora las habilidades sociales y promueve un ambiente inclusivo donde todos los estudiantes tienen oportunidades equitativas para el éxito.

Para gestionar eficazmente el aprendizaje cooperativo en grupos pequeños, es esencial organizar la clase de manera que favorezca la interacción y la responsabilidad compartida. Se recomienda dividir la clase en grupos de entre 2 y 5 estudiantes. En el caso de las matemáticas, es aconsejable formar grupos homogéneos cuando se trabajan habilidades específicas, mientras que los grupos heterogéneos pueden favorecer el aprendizaje entre pares, ya que los estudiantes con diferentes niveles de habilidad pueden beneficiarse mutuamente.

Otro aspecto fundamental es la interdependencia positiva, es decir, la creación de un sentido de unidad dentro del grupo donde el éxito individual está ligado al éxito colectivo. Para lograr esto, se pueden emplear diversas estrategias, como la interdependencia de objetivos, en la que los estudiantes trabajan juntos para alcanzar metas compartidas mediante técnicas como la Individualización Asistida por Equipos (TAI). Asimismo, la interdependencia de tareas, a través de la Investigación en Grupo (IG), permite que cada estudiante tenga una función específica en la resolución de un problema. También puede fomentarse la interdependencia de recursos mediante el método "Jigsaw", en el que cada estudiante posee información clave que el resto del grupo necesita para completar una tarea.

Para que el aprendizaje cooperativo sea efectivo, es crucial estimular la interacción cara a cara, lo que implica que los estudiantes se ayuden mutuamente, discutan sus ideas y se apoyen en el proceso de aprendizaje. El docente debe asegurarse de que cada estudiante asuma una responsabilidad individual dentro del grupo, evitando que algunos se beneficien del trabajo ajeno sin contribuir de manera significativa. Para ello, se pueden implementar evaluaciones individuales junto con las grupales.

Uno de los principales riesgos del aprendizaje cooperativo es la falta de participación activa de algunos estudiantes. Para mitigar este problema, el docente debe asignar roles específicos dentro del grupo y realizar un seguimiento continuo del trabajo individual. Además, el uso de técnicas de andamiaje, como la modelización, la retroalimentación guiada y el apoyo progresivo, permite que los estudiantes con más dificultades avancen con la ayuda de sus compañeros y del docente.

Estrategias como la implementación de preguntas intencionadas, que fomentan el pensamiento crítico y la resolución de problemas contextualizados, y la instrucción diferenciada, que adapta los retos según las capacidades de cada grupo, contribuyen a mejorar la calidad del aprendizaje. Asimismo, el modelado y la explicación de procesos ayudan a los estudiantes a comprender estrategias de resolución al explicar los procesos seguidos en dicha resolución, mientras que el aprendizaje colaborativo fortalece la interacción entre pares para reforzar conceptos. Finalmente, el uso de variables didácticas en tareas matemáticas favorece el desarrollo de nuevas estrategias sin alterar los objetivos de aprendizaje, promoviendo una comprensión más profunda y flexible de los contenidos. Además, se deben desarrollar habilidades sociales dentro del grupo, como la comunicación efectiva, la resolución de conflictos y el liderazgo. Para fortalecer estas habilidades, el docente puede asignar roles específicos a cada estudiante, asegurando que todos participen activamente en la dinámica grupal. También es fundamental que se diseñen actividades con igualdad de oportunidades para el éxito, es decir, estructuradas de manera que cada estudiante pueda contribuir según sus capacidades y tenga la posibilidad de progresar.

El aprendizaje cooperativo requiere una revisión constante de la dinámica grupal. Por ello, es recomendable realizar sesiones de reflexión en equipo donde los estudiantes evalúen su funcionamiento y establezcan metas para mejorar su desempeño colectivo. Esto permite que los grupos se ajusten y evolucionen conforme avanza el proceso de enseñanza-aprendizaje.

4.4.4.2. Estrategias para la enseñanza de las matemáticas en grupos reducidos.

La enseñanza de las matemáticas en grupos pequeños puede potenciar la comprensión y participación de los estudiantes. Para ello, es importante estructurar adecuadamente el espacio de trabajo, asegurando que los estudiantes puedan interactuar fácilmente. También se recomienda proporcionar atención personalizada, lo que permite al docente adaptarse a las necesidades específicas de cada estudiante y ofrecer una retroalimentación más efectiva.

Algunas de las estrategias más eficaces para trabajar con grupos reducidos en matemáticas incluyen:

• Crear grupos equilibrados de 4-5 estudiantes, combinando distintos niveles de habilidad para maximizar el aprendizaje cooperativo.
• Adaptar el espacio de trabajo, organizando el aula de forma que facilite la interacción entre los miembros del grupo.
• Fomentar la interdependencia positiva, diseñando actividades donde el éxito individual dependa de la colaboración con el grupo.
• Asignar roles específicos, promoviendo la responsabilidad y la participación equitativa dentro del equipo.
• Realizar evaluaciones diagnósticas, para conocer las necesidades de los estudiantes y adaptar las estrategias de enseñanza.
• Utilizar herramientas tecnológicas, como tablones virtuales y plataformas de aprendizaje colaborativo, para mejorar la dinámica grupal.
• Promover la tutoría entre iguales, donde los estudiantes más avanzados apoyan a sus compañeros con dificultades.
• Ofrecer formación al personal docente, asegurando que cuenten con estrategias efectivas para la gestión de grupos pequeños.

4.4.4.3 Técnicas de Aprendizaje Cooperativo Aplicadas a la Enseñanza de las Matemáticas.

Existen múltiples técnicas de trabajo cooperativo que pueden aplicarse en diferentes etapas educativas para mejorar la enseñanza de las matemáticas:

Educación Infantil

• Lápiz en medio: Un solo lápiz por grupo fomenta la participación equitativa.
• Juegos cooperativos: Uso de actividades lúdicas para introducir conceptos matemáticos.
• Lectura compartida de problemas: Se trabaja la comprensión verbal de situaciones matemáticas simples.

Educación Primaria

• Método Jigsaw: Los estudiantes aprenden una parte del material y luego la explican a sus compañeros.
• Tormenta de ideas matemática: Se generan múltiples soluciones a un problema antes de elegir la mejor estrategia.
• Técnica del lápiz al centro: Los alumnos deben discutir y acordar una solución antes de escribirla.

Educación Secundaria

• Controversia académica: Se debaten distintas estrategias para resolver un problema matemático.
• Resolución de problemas en parejas: Un estudiante explica su proceso de pensamiento mientras el otro escucha y ofrece sugerencias.
• Aprendizaje Basado en Problemas (ABP): Los grupos trabajan en situaciones matemáticas contextualizadas y aplican conceptos teóricos a problemas reales.

A modo de conclusión, el aprendizaje cooperativo en grupos reducidos es una metodología que favorece la comprensión profunda de las matemáticas al promover la interacción entre los estudiantes. Su implementación efectiva requiere una planificación cuidadosa, asegurando que cada estudiante tenga un rol activo en el proceso de aprendizaje. Con el uso de estrategias adecuadas y técnicas bien estructuradas, el docente puede transformar la enseñanza de las matemáticas en una experiencia enriquecedora y significativa para todos los estudiantes.

4.4.5. Coexistencia de ambos modelos.

Dado que siempre se busca la repercusión en el éxito académico y el aprendizaje del alumnado, siempre que se planifique y coordine cuidadosamente la intervención pedagógica, ambos modelos pueden coexistir y complementarse mutuamente.

Algunas posibles formas de integración son:

• Alternancia entre modalidades.
• Sesiones de aula completa: iniciando actividades que requieren la intervención simultánea de ambos docentes, donde se abordan contenidos generales, se modelan estrategias de aprendizaje colaborativo o se realizan debates o discusiones grupales.
• Sesiones en desdobles: posteriormente, se pueden organizar momentos en los que el grupo se divide en subgrupos reducidos. Esto permite que uno o ambos docentes trabajen de manera más personalizada y se enfoquen en reforzar o profundizar ciertos contenidos adaptados a las necesidades de cada subgrupo.
• Roles complementarios: durante las sesiones de aula completa, pueden coordinarse para modelar distintas metodologías o estrategias de enseñanza. Luego, al dividir el grupo, una fracción puede dedicarse al alumnado que requiera mayor apoyo y seguimiento individual, mientras que la otra puede dedicarse a actividades de refuerzo o ampliación.
• Evaluación formativa: la codocencia en el aula completa permite evaluar de manera conjunta dinámicas grupales y detectar áreas de mejora. Posteriormente, en los desdobles se pueden implementar estrategias de evaluación formativa más individualizadas, aprovechando el menor número de alumnado para dar una retroalimentación más precisa.
• Retroalimentación cruzada: Los resultados de los grupos reducidos pueden ser presentados y discutidos en la sesión conjunta, permitiendo que tanto el docente como los estudiantes aporten distintos puntos de vista y refuercen las estrategias de comprensión.
• Uso de Herramientas Digitales: Integrar recursos como pizarras digitales o plataformas colaborativas puede facilitar la transición entre codocencia y actividades en desdobles, permitiendo que las ideas y los resultados se compartan de manera visual y organizada.

Para el éxito del modelo mixto es importante observar especialmente algunas consideraciones que ya se han expuesto al definir el modelo, ya que serán críticas. La planificación y coordinación debe incluir una integración coherente de ambos formatos para que se refuercen mutuamente. Para ello es fundamental la comunicación constante y la coordinación para evitar duplicidades o lagunas. Son precisas, a su vez, flexibilidad y adaptación en la gestión del tiempo y el espacio para evitar que el cambio de modalidad interrumpa el ritmo de aprendizaje.

Habrá que reforzar también la cohesión del grupo completo, favoreciendo momentos en los que el alumnado vuelva a reunirse para compartir avances, recepciones y trabajar en proyectos colaborativos. Por último, hay que profundizar en la capacitación específica del profesorado orientada a la gestión del aula en contextos mixtos, el diseño de actividades diferenciadas y la evaluación de procesos de aprendizaje en distintos formatos.

4.4.6. Ejemplos de actividades graduadas y complementarias entre ambos modelos.

4.4.6.1 Actividades en codocencia

Juego Matemático por Equipos: "El Reto de las Operaciones"
Descripción	-Se divide al alumnado en grupos cooperativos. -Docente 1 plantea retos matemáticos en formato de juego (cálculo mental, operaciones combinadas, problemas breves). -Docente 2 dinamiza el juego, observa la participación e interviene dando apoyos puntuales o desafíos adicionales.
Objetivos	-Consolidar el cálculo mental y la resolución de problemas. -Fomentar el trabajo en equipo y el pensamiento lógico.
Estrategia docente	Los docentes realizan una puesta en común tras cada ronda de retos, analizando con el grupo las estrategias utilizadas, posibles errores y aciertos, destacando la diversidad de soluciones.

Taller Manipulativo de Geometría con Materiales Reciclables
Descripción	-El aula se organiza en estaciones. -Docente 1 guía una estación donde se construyen figuras tridimensionales con pajitas, cartón, plastilina, etc. -Docente 2 trabaja en otra estación en la identificación y clasificación de formas geométricas usando plantillas e imágenes.
Objetivos	-Comprender conceptos de geometría a través de la manipulación y observación directa. -Desarrollar habilidades espaciales y de visualización.
Estrategia docente	Los docentes rotan por las estaciones promoviendo la reflexión grupal, haciendo preguntas guiadas y conectando la experiencia concreta con los conceptos matemáticos formales.

Historias Matemáticas: Problemas en Contexto Narrativo
Descripción	-Docente 1 presenta un relato breve que incluye una situación problemática (por ejemplo, una feria con entradas, puestos, precios, recorridos). -Docente 2 transforma esa historia en problemas matemáticos que el alumnado debe resolver en pequeños grupos.
Objetivos	-Aplicar los conocimientos matemáticos a contextos cotidianos. -Favorecer la comprensión lectora de enunciados matemáticos.
Estrategia docente	Ambos docentes acompañan a los grupos ayudando a identificar los datos relevantes del texto, organizar la información y razonar las soluciones. Luego se realiza una dramatización o presentación del problema y su resolución por parte de los grupos.

Estaciones de Fracciones: Visualización, Cálculo y Juegos
Descripción	-Se implementan tres estaciones: Representación de fracciones con regletas o círculos fraccionarios (Docente 1). Resolución de operaciones con fracciones (Docente 2). Juego digital o de mesa con desafíos de fracciones (ambos docentes supervisan).
Objetivos	-Favorecer la comprensión del concepto de fracción como parte de un todo. -Reforzar habilidades de cálculo y equivalencia de fracciones.
Estrategia docente	-Cada docente guía al alumnado en el uso del material concreto y digital, fomenta la participación activa y adapta los retos según los niveles del grupo.

Diálogo Matemático: "¿Cómo lo harías tú?"
Descripción	-Docente 1 resuelve un problema matemático en la pizarra. -Docente 2 plantea una estrategia alternativa y promueve el diálogo entre ambos docentes y con el grupo.
Objetivos	-Mostrar que hay múltiples caminos para llegar a una solución. -Desarrollar el pensamiento crítico y la capacidad de argumentación matemática.
Estrategia docente	-Tras las explicaciones, se invita al alumnado a opinar, comparar estrategias y proponer nuevas formas de resolver. El objetivo no es solo el resultado, sino el razonamiento empleado.

4.4.6.2 Actividades en grupos reducidos

Estaciones de Geometría con Material Manipulativo
Descripción	-Se disponen 3–4 estaciones con distintas tareas: construcción de polígonos con palillos y plastilina, clasificación de ángulos con transportador, medición de perímetros con cuerdas, y repaso de figuras en fichas visuales. -Cada grupo rota cada 10–12 minutos.
Objetivos	-Reconocer y clasificar figuras y ángulos. -Desarrollar destrezas espaciales y de medición.
Estrategia docente	-El docente guía cada estación en turnos, modelando el uso de herramientas (transportador, regla) y planteando preguntas del tipo "¿Por qué este ángulo es agudo y no obtuso?".

Taller de Fracciones con Piezas de Pizza
Descripción	-En pequeños grupos, se reparte una "pizza" recortada en octavos (cartulina o piezas impresas). -Se plantean retos: "Haz 3/8 + 2/8", "¿Cómo representas 5/4?" o "¿Qué sobra si comes 1 ¼ pizzas?"
Objetivos	-Comprender la suma y resta de fracciones con igual y distinto denominador. -Representación de fracciones impropias y mixtas.
Estrategia docente	-El docente apoya a cada grupo mostrando la equivalencia entre piezas (por ejemplo, convertir octavos en cuartos), y anima a que cada alumno explique cómo ha colocado las porciones.

Resolución Colaborativa de Problemas
Descripción	-Se entrega a cada grupo reducido un problema contextualizado (ej.: planificar un viaje con presupuesto, calcular el área de un huerto escolar, repartir materiales). -Disponen de papel, calculadora y recursos visuales.
Objetivos	-Aplicar conceptos de operaciones, porcentajes, proporciones o áreas. -Fomentar la planificación y el razonamiento paso a paso.
Estrategia docente	-El docente circula escuchando las estrategias de cada grupo, planteando "¿Cómo sabes que es suficiente?", "¿Qué datos te faltan?", y ofreciendo pistas solo si el grupo se bloquea.

Mini-Club de Retos Algebraicos
Descripción	-En grupos de 3–4, se reparten tarjetas con ecuaciones o patrones numéricos crecientes de dificultad. -Cada grupo elige un reto, lo resuelve en su cuaderno y lo "firma" con su método.
Objetivos	-Introducir la resolución de ecuaciones sencillas y el reconocimiento de patrones. -Desarrollar la argumentación algebraica.
Estrategia docente	-El docente supervisa la corrección de cada reto, induce al uso de sistemas de comprobación (sustitución de la solución) y propone "¿Qué pasaría si...?" para extender o generalizar el problema.

Diario Matemático de Reflexión
Descripción	-Cada grupo recibe un cuaderno donde, tras la sesión, anotan: un concepto clave de la clase, un paso retador y una pregunta que quedó sin resolver. -Se comparte en círculo reducido al finalizar la tarea práctica.
Objetivos	-Fomentar la metacognición y la autorreflexión sobre el aprendizaje matemático. -Identificar dificultades comunes para planificar refuerzos.
Estrategia docente	-El docente lee algunos extractos, comenta estrategias eficaces compartidas por los propios alumnos y programa mini-sesiones de refuerzo según las dudas más frecuentes.

4.5. RECURSOS FORMATIVOS, EDUCATIVOS Y PEDAGÓGICOS.

En el marco de una enseñanza de las matemáticas orientada al desarrollo de competencias, los recursos formativos, educativos y pedagógicos adquieren una relevancia fundamental. No se trata simplemente de materiales o herramientas auxiliares, sino de elementos mediadores que deben estar cuidadosamente seleccionados y orquestados por el docente para facilitar la construcción del conocimiento matemático.

Estos recursos son el conjunto de medios, materiales, herramientas (tanto físicas como digitales) y situaciones diseñadas o adaptadas que el profesorado utiliza intencionalmente para promover el aprendizaje significativo y el desarrollo de las competencias matemáticas específicas (resolver problemas, razonar y probar, conectar, comunicar, representar). Su función va más allá de la mera transmisión de información; buscan implicar activamente al estudiante en su proceso de aprendizaje, permitiéndole explorar, experimentar, conjeturar, argumentar y, en definitiva, "hacer matemáticas".

Los recursos educativos actúan como mediadores semióticos esenciales que permiten al estudiante interactuar con estos objetos matemáticos, comprender sus significados y utilizarlos de manera competente en la resolución de situaciones diversas. Un recurso bien elegido puede "materializar" un concepto abstracto, facilitar la visualización de relaciones, promover la argumentación o contextualizar un procedimiento.

Por tanto, la selección y diseño de estos recursos no puede ser arbitraria. Debe responder a criterios pedagógicos claros, alineados con las competencias específicas, las características del alumnado y el contexto específico. Incluyen desde materiales manipulativos (regletas, geoplanos, policubos...), plataformas colaborativas, vídeos o artículos de divulgación científica. La clave reside en la intencionalidad pedagógica con la que se integran en la secuencia didáctica para favorecer que el estudiante piense matemáticamente y desarrolle su autonomía y capacidad crítica.

4.5.1. Recursos formativos

En el ámbito de una enseñanza de las matemáticas basada en el desarrollo de competencias, los recursos formativos adquieren un protagonismo esencial: ya no son meros complementos al proceso educativo, sino auténticos mediadores que el docente diseña y selecciona cuidadosamente para vehicular el conocimiento y promover el aprendizaje activo. En esta sección, se han recopilado materiales formativos con un enfoque centrado en la competencia matemática.

La investigación y resolución de problemas en el aula de matemáticas: materiales y estrategias didácticas. Enlace

Este curso online promueve el aprendizaje por investigación (IBL) en matemáticas y ciencias. Este recurso busca transformar la enseñanza tradicional en una metodología más activa, donde los estudiantes trabajan como matemáticos y científicos.

El IBL se diferencia de la enseñanza transmisiva y el aprendizaje por descubrimiento, priorizando un enfoque colaborativo en el que los alumnos plantean preguntas, investigan, analizan datos y construyen argumentos matemáticos. La guía presenta estrategias y ejemplos prácticos, como la clasificación de situaciones IBL y actividades concretas, que ayudan a los docentes a diseñar clases más interactivas.

Entre sus aspectos clave, este curso ofrece:

• Definición del IBL, destacando su impacto en el aprendizaje.
• Clasificación de tareas, desde ejercicios estructurados hasta actividades abiertas.
• Ejemplos de aplicación en matemáticas y ciencias, como doblar una tira de papel o analizar la hidratación de legumbres.
• Herramientas para docentes, proporcionando estrategias para implementar el enfoque investigativo en el aula.

Este recurso es una herramienta valiosa para docentes que buscan fomentar el pensamiento crítico y la resolución de problemas en sus estudiantes mediante un enfoque activo y participativo.

https://educacionadistancia.juntadeandalucia.es/aulavirtual/course/view.php?id=1341

El aprendizaje basado en proyectos en la educación matemática del siglo XXI. Enlace

El curso sobre Aprendizaje Basado en Proyectos es un recurso didáctico que destaca las inmensas posibilidades de esta metodología para transformar la enseñanza tradicional. En un contexto en el que es crítico adaptar la escuela a las nuevas demandas sociales, se plantea una revolución en el rol docente, integrando las TIC y promoviendo el trabajo cooperativo. Este enfoque busca impulsar tanto el crecimiento personal y profesional del profesorado como una valoración social renovada de su labor.

El ABP se fundamenta en el desarrollo de competencias y en la creación de entornos de aprendizaje activos, donde los estudiantes participan en la identificación de problemas, el diseño y evaluación de proyectos y la aplicación de técnicas de colaboración tanto en el aula como fuera de ella. El recurso expone objetivos claros, define contenidos teóricos y prácticos, y establece criterios de superación orientados a la realización y el seguimiento de tareas y debates.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Identificación del ABP: Reconoce las características del Aprendizaje Basado en Proyectos y su relación con el desarrollo de Competencias Básicas.
• Diseño y evaluación de proyectos: Brinda herramientas para aprender a diseñar y evaluar proyectos, fortaleciendo el proceso de aprendizaje.
• Integración de TIC y trabajo cooperativo: Presenta un marco de trabajo que incorpora las TIC y técnicas colaborativas, tanto dentro como fuera del aula.
• Aplicación práctica en Matemáticas: Incluye ejemplos y actividades específicas que facilitan la implementación del ABP en el aula de Matemáticas.
• Criterio de superación: Establece metas claras, como la realización satisfactoria de tareas y la participación en debates, para evaluar la eficacia del proceso.

Este recurso es una herramienta valiosa para docentes que buscan promover un enfoque activo y participativo en el aprendizaje, fomentando el pensamiento crítico, la innovación y la adaptación a los retos actuales de la educación.

https://educacionadistancia.juntadeandalucia.es/aulavirtual/course/view.php?id=1278

Enseñanza y evaluación de la competencia matemática y la competencia básica en ciencia y tecnología. Enlace

Este recurso aborda las interrogantes fundamentales acerca de qué significa ser competente en matemáticas, ciencia y tecnología, y si es viable integrarlas en una única competencia. En el panorama educativo español, desde 2006 y a raíz de la reforma de 2013, el currículo de la educación obligatoria enmarca sus finalidades en términos de competencias, destacando la "competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología" como una de las claves. El texto invita a reflexionar sobre las implicaciones y posibilidades que conlleva esta integración, en un contexto que demanda una actualización conceptual y metodológica, tanto a nivel nacional como internacional, donde el enfoque STEM vincula el desarrollo de estas competencias con la ingeniería para potenciar la competitividad.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Reflexión integral: Análisis sobre el significado y desarrollo de una competencia que aglutina matemáticas, ciencia y tecnología.
• Integración curricular: Debate acerca de la viabilidad y los compromisos de fusionar tres áreas distintas en una única competencia, conforme a las directrices educativas actuales.
• Enfoque STEM: Examen del paradigma internacional que relaciona el desarrollo de competencias en estas áreas con la ingeniería para estimular el talento en sectores productivos claves.
• Estrategias y herramientas evaluativas: Propuestas sobre cómo pueden los docentes desarrollar, evaluar y potenciar esta competencia mediante recursos, técnicas y colaboraciones profesionales, incluyendo la obtención de una insignia digital en el marco de un MOOC.

Este recurso se presenta como una herramienta valiosa para docentes interesados en profundizar en la integración y evaluación de competencias clave, impulsando una educación adaptada a las demandas actuales y futuras de la sociedad.

Bases y Desarrollo del Conteo y de la Numeración en Educación Infantil y Primaria

El recurso alojado en la plataforma Aula en Abierto del INTEF es un módulo formativo diseñado para apoyar a los docentes en la integración eficaz de las TIC en la práctica educativa. Elaborado por el Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado, este material combina fundamentos teóricos con ejemplos prácticos, orientando a los profesionales sobre cómo transformar sus clases mediante el uso de la tecnología.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Estrategias pedagógicas innovadoras: Proporciona orientaciones y metodologías para incorporar de forma efectiva las TIC en el aula, fomentando un aprendizaje activo y participativo.
• Recursos y actividades interactivas: Incluye ejercicios y ejemplos prácticos que permiten experimentar con herramientas digitales, facilitando la adaptación a contextos educativos diversos.
• Actualización y desarrollo profesional: Contribuye a la formación continua del profesorado, proporcionando un marco teórico y aplicaciones concretas que responden a las demandas educativas actuales.
• Enfoque integral: Combina la teoría con la práctica para promover una transformación pedagógica que sitúa la tecnología como herramienta central en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Este recurso constituye una herramienta valiosa para docentes que buscan potenciar la innovación en sus prácticas pedagógicas, facilitando la adaptación a los retos de la era digital y mejorando la calidad educativa.

https://formacion.intef.es/aulaenabierto/mod/book/view.php?id=3432&chapterid=4610

4.5.2. Recursos educativos

Entendemos como recurso didáctico o educativo para el aprendizaje de las matemáticas cualquier medio que, utilizado convenientemente, contribuya a la consecución de dicho aprendizaje. Por ello, se puede entender que los diversos recursos engloban, además del libro de texto, los materiales manipulativos, tecnológicos y otras situaciones o medios, como la prensa, el cine, la literatura, los juegos o el plegado del papel, entre otros. Estos pueden ser adaptados según el nivel educativo y el objetivo pretendido.

Los currículos actuales manifiestan la relevancia del uso de diferentes recursos e inciden en la importancia de que el docente utilice diferentes metodologías didácticas que fomenten la motivación por aprender, despierten la curiosidad y hagan ver al alumnado la necesidad de adquirir conocimientos, destrezas y actitudes hacia el área.

4.5.2.1.- Material manipulativo

Uno de los recursos más interesantes para el desarrollo de la competencia matemática es el uso de metodologías manipulativas para acceder al aprendizaje. Por ello, se propone introducir materiales manipulativos para facilitar la comprensión de conceptos matemáticos. Este tipo de materiales se consideran una herramienta para convertir los conceptos abstractos de las matemáticas en experiencias tangibles. Este paso no es algo imprescindible, sino que supone un andamiaje que podrá usarse, o no, en el camino hacia el trabajo simbólico y algorítmico.

El uso de materiales manipulativos en las aulas de matemáticas cuenta con un sólido respaldo en la investigación pedagógica. Este enfoque busca sustituir los métodos mecánicos e irracionales de enseñanza-aprendizaje por procesos más competenciales y reflexivos. Cabe destacar, en este enfoque, la importancia de la mediación y la colaboración para superar las brechas entre lo que el alumnado puede hacer de manera independiente y con ayuda. Además, se enfatiza el desarrollo progresivo del conocimiento, desde la manipulación de objetos concretos hasta el pensamiento abstracto, delimitando etapas esenciales en el aprendizaje. De este modo, se pretende promover la enseñanza de aprendizajes matemáticos complejos mediante materiales manipulativos que permitan un aprendizaje menos rígido y semi-estructurado. Este proceso de aprendizaje comienza con la manipulación de objetos físicos, seguido con representaciones gráficas y culminado en la abstracción, asegurando así un entendimiento profundo y estructurado. Esto, además, permite conectar los nuevos conocimientos con los ya existentes, produciendo así un aprendizaje significativo.

De esta manera, este enfoque evita el aprendizaje repetitivo y promueve una integración profunda y contextualizada del conocimiento, empleando imágenes, símbolos, objetos o conceptos como puentes cognitivos. La confluencia de estas ideas resalta la necesidad de metodologías activas y adaptativas que integren de manera coherente los diferentes aspectos del aprendizaje, contribuyendo a un desarrollo integral y significativo en las aulas de matemáticas.

En el enfoque competencial que guía los currículos andaluces, los materiales manipulativos se conciben como mediadores semióticos indispensables para el aprendizaje de las matemáticas: objetos físicos (como las regletas de Cuisenaire, policubos, bloques o elementos cotidianos) que "materializan" conceptos abstractos y permiten al alumnado explorar, experimentar, conjeturar y argumentar de forma activa (C.E.). Estas herramientas debidamente seleccionadas y organizadas en línea con los procesos y sentidos matemáticos y las características evolutivas del alumnado facilitan la transición gradual de lo concreto a lo abstracto, favoreciendo la motivación, despertando la curiosidad y reforzando la conexión entre los nuevos aprendizajes y el entorno inmediato.

En Infantil, Primaria y Secundaria, el uso de manipulativos se adapta al nivel de abstracción propio de cada etapa, desde la clasificación y seriación de bloques en Infantil, pasando por la comprensión del valor posicional con multibase en el primer ciclo de Primaria, hasta la visualización de espacios muestrales o gráficos de distribución en Secundaria. Este itinerario didáctico progresivo, inspirado en modelos experienciales y de descubrimiento, evita el aprendizaje mecánico y sitúa al alumno como protagonista de su propio proceso.

A continuación, se presenta un ejemplo extraído de las Guías de Uso de Material Manipulativo que la Consejería de Desarrollo Educativo y Formación Profesional elaboró en enero de 2025. En estas guías, una para cada una de las etapas educativas de Educación Infantil, Educación Primaria y Educación Secundaria Obligatoria, se pueden encontrar ejemplos del uso de distintos materiales manipulativos además de una relación prioritaria con los siguiente elementos curriculares: competencias específicas, criterio de evaluación y saberes básicos.

4.5.2.2.- Portales, plataformas y webs con recursos matemáticos

Gracias a internet podemos contar con un amplio catálogo de recursos educativos que podemos utilizar en nuestras aulas. Detallamos a continuación una muestra de los mismos:

Pruebas liberadas evaluaciones nacionales. Enlace

El recurso "Pruebas liberadas de Evaluaciones Nacionales" es un repositorio digital proporcionado por el Instituto Nacional de Evaluación Educativa (INEE) del Ministerio de Educación. Su finalidad es facilitar a los docentes el acceso organizado a los ítems y pruebas oficiales utilizados en las evaluaciones nacionales a lo largo de diferentes marcos normativos y cursos académicos.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Cobertura normativa y temporal amplia: Incluye ítems de las evaluaciones de diagnóstico y final correspondientes a la LOMLOE, LOMCE y anteriores, con datos desde los primeros años del siglo XXI hasta la actualidad.
• Distintos niveles educativos: Agrupa pruebas dirigidas a alumnos de 3.º y 6.º de Educación Primaria, 4.º de ESO, así como evaluaciones piloto y de acceso a la universidad, permitiendo ver la progresión de la complejidad curricular.
• Formatos descargables en papel y digital: Ofrece tanto las versiones en PDF imprimible como las pruebas en formato digital, facilitando su integración en diferentes entornos de enseñanza y tipos de evaluación.
• Organización por curso y comunidad autónoma: Para las ediciones LOE y LOMCE, permite filtrar por año académico y, en algunos casos, por comunidad autónoma, ayudando a comparar criterios de diseño y corrección entre distintas regiones.
• Utilidad para la preparación didáctica: Al exponer ejemplos reales de ítems y sus criterios de calificación, apoya la elaboración de actividades de repaso, la familiarización del alumnado con el formato de las pruebas y la reflexión sobre la tipología de ejercicios evaluados.

Este recurso se presenta como una herramienta imprescindible para los docentes de matemáticas que deseen planificar evaluaciones formativas, diseñar simulacros de examen y profundizar en la estructura y el nivel de exigencia de las pruebas nacionales, contribuyendo a mejorar la calidad de la enseñanza y el aprendizaje.

Otras pruebas liberadas: PISA y otros ítems liberados

El conjunto de pruebas PISA y otros ítems liberados desde el Instituto Nacional de Evaluación Educativa (INEE) del Ministerio de Educación de España constituyen una herramienta educativa de alto valor pedagógico. Estos recursos están diseñados para superar la simple memorización de contenidos, enfocándose en la evaluación de competencias clave a través de su aplicación en contextos reales, lo que permite valorar lo que los estudiantes efectivamente saben hacer.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Evaluación de competencias clave: Las pruebas no se centran en la memorización, sino en medir la capacidad de aplicar conocimientos en situaciones reales, abarcando áreas como la competencia matemática, lectora y científica.
• Diseño de actividades y evaluación en el aula: Los ítems liberados sirven como modelos para que los docentes diseñen tareas competenciales adaptadas a evaluaciones diagnósticas, formativas o finales, alineadas con metodologías como el Aprendizaje Basado en Problemas (ABP).
• Comparación internacional y autodiagnóstico: Ofrecen una base objetiva para contrastar el rendimiento de los estudiantes españoles con el de otros países, ayudando a identificar fortalezas y áreas de mejora en el sistema educativo.
• Formación docente: Permiten a los profesores familiarizarse con estándares internacionales de evaluación, facilitando la reflexión sobre la enseñanza de competencias clave y respaldando formaciones en evaluación por competencias y diseño de pruebas.
• Recursos de acceso libre y reutilizables: Al estar disponibles públicamente, estos materiales pueden ser usados o adaptados directamente por el profesorado, complementados con ejemplos de resolución y niveles de desempeño para calibrar la dificultad de los ejercicios.
• Impulso de una cultura de evaluación: Fomentan una visión de la evaluación como una herramienta para mejorar la enseñanza y el aprendizaje, más allá de la simple calificación.

Este recurso es fundamental para docentes, investigadores y responsables de políticas educativas, ya que impulsa una cultura de evaluación integral que favorece el desarrollo de competencias y la mejora continua del sistema educativo.

https://www.educacionfpydeportes.gob.es/inee/publicaciones/items-liberados.html

Iguales y diferentes. Enlace

El portal Iguales pero diferentes es una plataforma educativa que ofrece un enfoque innovador para la enseñanza de matemáticas. Su metodología se basa en la comparación de imágenes y conceptos matemáticos, fomentando el pensamiento crítico y la capacidad de análisis en los estudiantes. A través de esta estrategia, los alumnos aprenden a identificar similitudes y diferencias entre distintos elementos matemáticos, desarrollando una comprensión más profunda de los conceptos.

Esta página web se distingue por su enfoque en el pensamiento flexible, promoviendo la capacidad de los estudiantes para reconocer patrones, establecer conexiones y argumentar matemáticamente. La plataforma proporciona imágenes y actividades estructuradas que pueden ser utilizadas en el aula como parte de discusiones matemáticas, ayudando a los docentes a generar un ambiente de aprendizaje participativo.

Entre sus principales características, este recurso ofrece:

• Imágenes matemáticas interactivas para fomentar el análisis comparativo.
• Actividades estructuradas que pueden integrarse en discusiones en el aula.
• Enfoque en el pensamiento crítico, ayudando a los estudiantes a desarrollar habilidades de razonamiento matemático.
• Materiales alineados con el currículo escolar, facilitando su aplicación en distintos niveles educativos.

En conclusión, es una herramienta valiosa para docentes que buscan fortalecer el pensamiento matemático en sus estudiantes, proporcionando un enfoque dinámico y participativo para la enseñanza de las matemáticas.

Juegos matemáticos. Enlace

El portal es una plataforma educativa diseñada para fortalecer el aprendizaje de las matemáticas a través de juegos interactivos y actividades dinámicas. Dirigido principalmente a estudiantes de Primaria y Secundaria, este sitio web ofrece una amplia variedad de recursos que combinan el entretenimiento con el desarrollo de habilidades matemáticas fundamentales.

Math Playground se distingue por su enfoque en el aprendizaje lúdico, proporcionando juegos que abarcan áreas clave como aritmética, geometría, álgebra y resolución de problemas. Además, cuenta con herramientas interactivas que permiten a los estudiantes explorar conceptos matemáticos de manera visual y práctica. La plataforma también ofrece desafíos de lógica y pensamiento crítico, fomentando el desarrollo de habilidades analíticas en los alumnos.

Entre sus principales características, este sitio web ofrece:

• Juegos educativos diseñados para reforzar conceptos matemáticos de manera divertida.
• Simulaciones interactivas que permiten explorar principios matemáticos en profundidad.
• Problemas de lógica y razonamiento, ideales para mejorar el pensamiento crítico.
• Recursos alineados con el currículo escolar, facilitando su integración en la enseñanza formal.

En definitiva, Math Playground es una herramienta valiosa para docentes que buscan complementar la enseñanza de las matemáticas con actividades interactivas y atractivas, proporcionando un entorno estimulante para el aprendizaje.

Patrones visuales. Enlace

El portal Visual Patterns es una plataforma educativa diseñada para ayudar a los estudiantes a desarrollar el pensamiento algebraico a través de la exploración de patrones visuales. Este sitio web ofrece una colección de patrones numéricos representados gráficamente, permitiendo al alumnado identificar estructuras matemáticas y formular expresiones algebraicas a partir de ellas.

Visual Patterns se distingue por su enfoque en el aprendizaje basado en patrones, proporcionando actividades que fomentan la observación, el razonamiento lógico y la generalización matemática. Los docentes pueden utilizar estos recursos para introducir conceptos de progresiones numéricas, funciones y relaciones algebraicas de manera intuitiva y visual.

Entre sus principales características, este recurso ofrece:

• Colección de patrones visuales, organizados en diferentes niveles de dificultad.
• Enfoque en el pensamiento algebraico, ayudando a los estudiantes a formular expresiones matemáticas.
• Materiales alineados con el currículo escolar, facilitando su integración en la enseñanza formal.
• Recursos para docentes, con estrategias para implementar el aprendizaje basado en patrones en el aula.

Esta herramienta es valiosa para docentes que buscan fortalecer el razonamiento matemático de sus estudiantes, proporcionando un enfoque dinámico y visual para la enseñanza del álgebra.

https://visualpatterns.org/

NRICH. Enlace

El portal NRICH es una plataforma educativa dedicada a enriquecer la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas a través de recursos interactivos y actividades diseñadas para fomentar el pensamiento matemático. Este sitio, desarrollado por la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Cambridge, ofrece materiales gratuitos para estudiantes de 3 a 18 años, con el objetivo de fortalecer sus habilidades de resolución de problemas y su capacidad de razonamiento lógico.

NRICH se distingue por su enfoque en el aprendizaje basado en problemas, proporcionando tareas estructuradas por niveles educativos: Primaria, Secundaria e incluso en Bachillerato. Además, cuenta con una sección específica para docentes, donde se presentan estrategias pedagógicas y actividades que pueden integrarse en el currículo escolar. La plataforma también promueve el desarrollo de escuelas centradas en la resolución de problemas, ofreciendo guías y recursos para implementar este enfoque en el aula.

Entre sus principales características, NRICH ofrece:

• Actividades interactivas que desafían a los estudiantes a pensar como matemáticos.
• Materiales alineados con el currículo para facilitar su integración en la enseñanza formal.
• Recursos para docentes, incluyendo estrategias didácticas y formación profesional.
• Iniciativas de resolución de problemas, diseñadas para fomentar el pensamiento crítico y la creatividad matemática.

En conclusión, NRICH es una herramienta valiosa para docentes que buscan enriquecer la enseñanza de las matemáticas, proporcionando un entorno dinámico y estimulante para el desarrollo de habilidades matemáticas en los estudiantes.

Comprender textos matemáticos. Enlace

El recurso Comprender textos matemáticos disponible en la plataforma Leer.es, propone un enfoque didáctico para mejorar la comprensión de enunciados matemáticos. Su objetivo es fortalecer la competencia matemática de los estudiantes mediante estrategias que impulsan el razonamiento lógico y el uso adecuado del lenguaje matemático.

Este material se distingue por su énfasis en el análisis de enunciados, permitiendo a los alumnos desarrollar habilidades de interpretación y resolución de problemas. A través de actividades estructuradas, los docentes pueden guiar a los estudiantes en la identificación de conceptos clave, la formulación de estrategias de solución y la aplicación de conocimientos matemáticos en distintos contextos.

Entre sus principales características, el recurso ofrece:

• Actividades de análisis de enunciados, diseñadas para mejorar la comprensión matemática.
• Estrategias de razonamiento lógico, que fortalecen la capacidad de resolución de problemas.
• Materiales alineados con el currículo escolar, facilitando su integración en la enseñanza formal.
• Propuestas didácticas para docentes, con herramientas para aplicar el recurso en el aula.

Comprender textos matemáticos es una herramienta valiosa para docentes que buscan mejorar la competencia matemática de sus estudiantes, proporcionando estrategias efectivas para la interpretación y resolución de problemas matemáticos.

https://leer.es/recursos_leer/comprender-textos-matematicos-nuria-domenech/

Mates con Geogebra (Mates con GG). Enlace

El portal MatesGG es un proyecto desarrollado por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) en colaboración con el Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado (INTEF) y el Centro Internacional de Encuentros Matemáticos (CIEM). Su objetivo es proporcionar a los docentes una selección de materiales didácticos elaborados con la herramienta GeoGebra, facilitando la enseñanza de conceptos matemáticos mediante recursos interactivos.

MatesGG se distingue por su enfoque en el aprendizaje visual y dinámico, ofreciendo guías didácticas estructuradas con la herramienta eXeLearning. Estas guías incluyen información curricular, propuestas de uso en el aula, material complementario y archivos fuente editables, permitiendo a los docentes adaptar los contenidos a sus necesidades específicas. Además, el sitio cuenta con un buscador que facilita la localización de recursos según el nivel educativo, abarcando Educación Infantil, Primaria, Secundaria Obligatoria y Bachillerato.

Entre sus principales características, MatesGG ofrece:

• Guías didácticas interactivas basadas en GeoGebra.
• Materiales alineados con el currículo escolar, organizados por niveles educativos.
• Propuestas de uso pedagógico, con estrategias para la enseñanza de las matemáticas.
• Archivos fuente editables, que permiten la personalización de los recursos.

En definitiva, este sitio web es una herramienta valiosa para docentes que buscan integrar la tecnología en la enseñanza de las matemáticas, proporcionando un entorno interactivo y adaptable para el aprendizaje. Además, se puede diseñar construcciones propias con Geogebra Clásico o Geogebra 3D.

Wodb.ca Enlace

El recurso WODB, alojado en la plataforma Talking Math With Your Kids, se centra en proporcionar actividades y materiales diseñados para estimular el razonamiento matemático en los niños. Con un enfoque basado en la identificación de patrones y diferencias, este recurso invita a los alumnos a analizar conjuntos de elementos visuales y numéricos, planteando la pregunta "¿Cuál es el que no pertenece?" para fomentar la reflexión y el debate matemático.

Entre sus aspectos clave, WODB ofrece:

• Variedad de representaciones: Incorpora elementos como formas, números, gráficos, expresiones, fotografías y conjuntos incompletos para que los estudiantes identifiquen el elemento atípico en cada conjunto.
• Enfoque interactivo: Propone actividades que promueven una participación activa y el desarrollo del pensamiento crítico, permitiendo a los niños justificar sus respuestas a partir de criterios matemáticos.
• Herramientas complementarias para docentes: Además de las actividades, el recurso sugiere el siguiente uso del libro y la guía del profesor, facilitando la implementación de estas tareas en el aula y en el entorno familiar.
• Potenciación del diálogo matemático: Favorece la discusión entre pares y el diálogo con el docente, consolidando la comprensión de conceptos fundamentales y el reconocimiento de patrones.

Este recurso resulta una herramienta valiosa para docentes y padres que deseen fomentar el interés y la competencia en matemáticas a través de una metodología lúdica y participativa, adaptándose a las necesidades de los estudiantes en la exploración de conceptos claves.

Portal Olimpiada Matemática THALES Enlace

El recurso "Olimpiada SAEM Thales" es una plataforma digital dedicada a la promoción del pensamiento matemático a través de competencias y desafíos dirigidos a estudiantes. Su propósito es incentivar el razonamiento lógico y la habilidad para resolver problemas matemáticos, ofreciendo un entorno competitivo que fomenta tanto el esfuerzo individual como el trabajo en equipo.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Concursos y desafíos matemáticos: Propone una variedad de problemas y ejercicios con distintos niveles de dificultad para estimular el análisis crítico y la resolución creativa de problemas.
• Información actualizada sobre eventos: Facilita la inscripción, mostrando fechas, resultados y reconocimientos, lo que permite un seguimiento cercano de cada edición.
• Recursos pedagógicos complementarios: Acompaña los desafíos con ejemplos resueltos y materiales de apoyo que pueden servir de herramienta tanto para docentes como para estudiantes en la preparación de futuras ediciones.
• Fomento del espíritu competitivo y colaborativo: Promueve el desarrollo de una comunidad de aprendizaje, incentivando el intercambio de estrategias y la colaboración entre participantes.

Este recurso es una herramienta valiosa para aquellos interesados en profundizar en el razonamiento matemático y fomentar la excelencia en el ámbito de las competencias académicas, contribuyendo al desarrollo integral del pensamiento analítico de los estudiantes.

Las otras matemáticas (textos en castellano e inglés) Enlace

El recurso digital disponible es una publicación dirigida a la comunidad educativa, que recoge orientaciones y propuestas innovadoras para la mejora de la práctica docente. Con el objetivo de promover la actualización pedagógica y la integración de nuevas metodologías, esta publicación ofrece herramientas prácticas y análisis críticos de tendencias educativas actuales.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Orientaciones didácticas actualizadas: Proporciona lineamientos para renovar la práctica educativa, adaptándose a las exigencias y desafíos del contexto actual.
• Propuestas de innovación curricular: Incorpora estrategias para la integración de metodologías activas y el uso efectivo de las TIC en el aula.
• Herramientas prácticas y criterios evaluativos: Presenta recursos y pautas metodológicas que facilitan el diseño, la implementación y la evaluación de proyectos educativos.
• Análisis crítico y fundamentos teóricos: Ofrece un marco contextual que analiza las tendencias y retos en la educación, promoviendo una reflexión profunda sobre el rol del profesorado.

Este recurso es una herramienta valiosa para docentes que desean actualizar sus estrategias pedagógicas y contribuir a la mejora continua del proceso de enseñanza-aprendizaje, alineándose con los objetivos curriculares y las nuevas demandas de la sociedad.

DivulgaMAT Enlace

Este recurso es una publicación digital dedicada a la divulgación de las matemáticas. Diseñado para acercar conceptos, investigaciones y aplicaciones matemáticas a un público amplio, este material combina un enfoque teórico con ejemplos prácticos y recursos visuales para fomentar el interés y la reflexión sobre la materia.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

Divulgación accesible: Presenta artículos y ensayos que abordan diversos temas matemáticos de forma clara y atractiva, facilitando la comprensión de conceptos complejos.

Conexión entre teoría y práctica: Destaca ejemplos y aplicaciones reales que ayudan a ilustrar cómo se aplican los principios matemáticos en distintos contextos.

Recursos visuales y didácticos: Integra gráficos, ilustraciones y materiales interactivos que enriquecen la experiencia de aprendizaje y la comprensión de los temas tratados.

Fomento del debate y la reflexión: Invita a docentes, estudiantes y entusiastas a reflexionar críticamente sobre la evolución y el impacto de las matemáticas en la sociedad actual.

Este recurso resulta una herramienta valiosa para aquellos que desean profundizar en la divulgación matemática, proporcionando un enfoque innovador y ameno que puede ser aprovechado tanto en el aula como en el autoaprendizaje.

Página Web sobre Medidas para el Impulso del Razonamiento Matemático. Enlace

El recurso "Plan de impulso al razonamiento matemático" es una iniciativa promovida por la Junta de Andalucía que tiene como objetivo fortalecer el pensamiento matemático en la enseñanza. Este plan se orienta a ofrecer estrategias, metodologías y recursos que ayuden a docentes y centros educativos a desarrollar habilidades de razonamiento matemático, fundamentales para la resolución de problemas y la comprensión profunda de los conceptos en matemáticas.

Entre sus aspectos clave, el plan ofrece:

• Marco estratégico y metodológico: Proporciona directrices y propuestas innovadoras para impulsar el razonamiento matemático en el aula, adaptadas a las nuevas demandas educativas.
• Recursos y herramientas didácticas: Incluye materiales, ejemplos y actividades diseñados para fomentar un aprendizaje activo y participativo, facilitando la aplicación de estrategias de resolución de problemas en contextos reales.
• Formación y actualización profesional: Promueve la capacitación continua del profesorado mediante programas formativos y espacios de intercambio de experiencias que enriquecen la práctica docente.
• Colaboración y mejora continua: Establece redes de colaboración entre centros y docentes para compartir buenas prácticas y contribuir así al desarrollo de una educación más eficaz y adaptada a los retos actuales.

Este recurso es una herramienta valiosa para educadores comprometidos con la mejora de la enseñanza de las matemáticas, ya que fomenta un enfoque centrado en el desarrollo del pensamiento crítico y la capacidad de resolución de problemas en el alumnado.

Recursos Educativos Abiertos. Consejería de Desarrollo Educativo y Formación Profesional. REA. Enlace

El proyecto READUA Andalucía, reúne más de 250 recursos educativos abiertos (REA) para Primaria, Secundaria y Bachillerato. Estos materiales se estructuran en torno a situaciones de aprendizaje diseñadas para que el alumnado adquiera y desarrolle las competencias específicas de cada área o materia, integrando conocimientos teóricos y prácticos en contextos reales.

Entre sus aspectos clave, el proyecto ofrece:

• Recursos Abiertos de Calidad: Más de 250 REA disponibles que abarcan diversas materias, favoreciendo la implementación de experiencias de aprendizaje activas y adaptadas a diferentes niveles educativos.
• Enfoque en Situaciones de Aprendizaje: Cada recurso se centra en situaciones que plantean retos concretos, permitiendo que los estudiantes desarrollen competencias específicas mediante la aplicación práctica de conocimientos.
• Guías Didácticas Integrales: Las guías que acompañan cada recurso justifican la situación de aprendizaje propuesta, definen el reto a alcanzar y describen el producto final, incluyendo la concreción curricular y la secuencia didáctica.
• Atención a la Diversidad: Incorporan pautas DUA, estrategias de multinivelación y procesos cognitivos seleccionados en cada actividad, de forma que se facilite la atención a la diversidad del alumnado.
• Criterios e Instrumentos de Evaluación: Se especifican los criterios de evaluación de las competencias específicas, además de los instrumentos que permiten una valoración detallada del aprendizaje.

Este recurso constituye una herramienta valiosa para docentes y equipos directivos que buscan implementar metodologías basadas en competencias, promoviendo una educación inclusiva y adaptada a las necesidades del contexto educativo actual.

Recursos educativos Intef. Enlace

El espacio de Recursos Educativos del INTEF es una plataforma integral que brinda acceso a múltiples proyectos y herramientas desarrolladas e impulsadas por la institución. Este portal ofrece una amplia variedad de materiales, que incluyen propuestas didácticas de carácter curricular y de naturaleza diversa –algunas en forma de situaciones de aprendizaje–, experiencias educativas, artículos sobre tecnología y guías didácticas, además de la plataforma de recursos educativos en abierto denominada Procomún.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Acceso a múltiples proyectos: Permite explorar iniciativas de recursos educativos que abarcan desde situaciones de aprendizaje hasta experiencias innovadoras en el aula.
• Variedad de formatos y contenidos: Incluye propuestas didácticas, guías curriculares, artículos y materiales orientados a integrar la tecnología en la educación.
• Plataforma Procomún: Ofrece recursos educativos abiertos que pueden ser descargados, adaptados y compartidos, facilitando la reutilización en diferentes contextos educativos.
• Herramientas desarrolladas por INTEF: Además de los proyectos, el portal pone a disposición herramientas específicas que apoyan la creación y modificación de materiales educativos interactivos.

Este recurso es una herramienta valiosa para docentes y equipos educativos que buscan integrar metodologías innovadoras y el uso de las TIC en el aula, facilitando la transformación digital y la actualización pedagógica en el marco de la enseñanza actual.

Web tocamates. Enlace.

El portal Tocamates – Matemáticas y Creatividad es una iniciativa de divulgación educativa que transforma la forma en que se enseñan y aprenden matemáticas. Nace de la observación de la diferencia entre las matemáticas experimentales y vivenciales de la Educación Infantil y las más abstractas y repetitivas de la secundaria, proponiendo una metodología que permite "tocar" las matemáticas para comprenderlas y disfrutarlas de manera más cercana y manipulativa.

Entre sus aspectos clave, el portal ofrece:

• Recursos didácticos manipulativos: Brinda una amplia variedad de actividades prácticas y materiales descargables que facilitan la exploración tangible de conceptos matemáticos, fomentando una comprensión profunda a través de la experimentación.
• Fomento de la creatividad matemática: Promueve la creatividad mediante desafíos, juegos y problemas que estimulan el pensamiento divergente, permitiendo a los estudiantes desarrollar múltiples soluciones y enfoques para resolver problemas.
• Apoyo a docentes y familias: Funciona como una herramienta valiosa para docentes en la planificación de sus clases y también ofrece actividades para realizar en el hogar, fortaleciendo la colaboración entre la escuela y la familia.
• Divulgación y formación: A través de diversas iniciativas, como colaboraciones en programas de radio y conferencias, José Ángel Murcia impulsa la formación docente y la divulgación de las matemáticas, ampliando el alcance del proyecto y promoviendo una cultura matemática inclusiva y participativa.

Este recurso contribuye significativamente a transformar la enseñanza de las matemáticas en una experiencia interactiva, creativa y significativa, favoreciendo el desarrollo de competencias clave en los estudiantes y enriqueciendo las prácticas docentes.

Geoplano y funciones. Enlace

El recurso Geoplano y Funciones es un material digital ofrecido por la plataforma Ecoescuela del Gobierno de Canarias. Diseñado para facilitar la exploración de conceptos matemáticos a través del uso del geoplano, este recurso se centra en la representación y análisis de funciones de manera visual e interactiva. La propuesta integra teoría y práctica mediante actividades dinámicas que permiten a los estudiantes observar, experimentar y comprender las relaciones y propiedades fundamentales de las funciones.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Visualización gráfica de funciones: Utiliza el geoplano para representar funciones, facilitando la comprensión de la relación entre variables y la interpretación de sus características.
• Actividades interactivas y prácticas: Propone ejercicios y ejemplos que invitan a la experimentación, permitiendo a los estudiantes construir y validar sus propias representaciones gráficas.
• Enfoque didáctico innovador: Combina elementos tradicionales del geoplano con herramientas digitales, adaptándose a las nuevas demandas de la educación y fomentando un aprendizaje activo.
• Soporte curricular en matemáticas: Se alinea con los objetivos educativos actuales, potenciando el desarrollo de competencias matemáticas a través de una metodología práctica y visual.

Este recurso constituye una herramienta valiosa para docentes que buscan diversificar sus estrategias de enseñanza, promoviendo una mayor comprensión de conceptos abstractos mediante la integración de métodos interactivos y visuales en el aula.

Adicción matemática. Enlace

El portal "Adicción Matemática", alojado en Blogs Averroes de la Junta de Andalucía, es un espacio dedicado a la divulgación y enseñanza de matemáticas de forma lúdica y accesible. Inspirado en la filosofía de Martin Gardner, quien afirmaba que "el mejor camino para hacer las Matemáticas interesantes a los alumnos y profanos es acercarse a ellos en son de juego", este blog ofrece una amplia variedad de recursos y actividades que fomentan el interés y la comprensión de las matemáticas tanto en estudiantes como en docentes.

Entre sus aspectos clave, el portal ofrece:

Fomento del pensamiento lógico y creativo: A través de actividades como cuadrados mágicos, fractales, grafos y construcciones geométricas, se estimula el razonamiento lógico y la creatividad, permitiendo a los estudiantes explorar los conceptos matemáticos de manera profunda y significativa.

Recurso didáctico para docentes: Los materiales y actividades del blog pueden utilizarse como complemento en el aula, integrándose en enfoques innovadores que hacen las matemáticas más atractivas y comprensibles.

Desarrollo de competencias clave: Las propuestas están orientadas al fortalecimiento de competencias esenciales como la resolución de problemas, el razonamiento abstracto y la comunicación matemática, contribuyendo al logro de los objetivos curriculares.

Acceso libre y gratuito: Al estar disponible de forma online y sin coste, constituye una herramienta valiosa tanto en contextos educativos formales como en el aprendizaje autónomo.

En resumen, "Adicción Matemática" transforma la enseñanza de las matemáticas en una experiencia interactiva, creativa y significativa, enriqueciendo las prácticas docentes y fomentando el desarrollo de habilidades fundamentales en los estudiantes.

Mates y más. Enlace

El portal Mates y Más es una iniciativa educativa creada por los profesores de matemáticas cuyo objetivo principal es ofrecer recursos didácticos que hagan las matemáticas más accesibles, atractivas y comprensibles para estudiantes y docentes de Educación Secundaria y Bachillerato.

Entre sus aspectos clave, el portal ofrece:

• Recursos didácticos variados: Proporciona una amplia gama de materiales educativos, que incluyen problemas, pasatiempos, acertijos y actividades interactivas diseñadas para fomentar el pensamiento lógico y la creatividad en el aprendizaje de las matemáticas.
• Integración de las TIC en el aula: Promueve el uso de tecnologías de la información y la comunicación (TIC) mediante herramientas como Joomla, lo que permite a los docentes acceder a contenidos digitales que enriquecen la experiencia educativa.
• Apoyo a la enseñanza y el aprendizaje: Funciona como un complemento valioso para las clases de matemáticas, ofreciendo materiales aplicables tanto en el aula como en el hogar, lo que facilita la personalización del aprendizaje y el refuerzo de conceptos clave.
• Fomento de la motivación estudiantil: Al presentar las matemáticas de forma lúdica y contextualizada, ayuda a aumentar el interés y la motivación de los estudiantes, beneficiando especialmente a aquellos que encuentran dificultades en el aprendizaje tradicional de la materia.
• Actualización y formación docente: Los creadores participan activamente en la formación del profesorado, compartiendo estrategias y metodologías innovadoras para la enseñanza de las matemáticas, lo que contribuye al desarrollo profesional y a la mejora continua de la calidad educativa.

En resumen, Mates y Más es una herramienta educativa integral que apoya tanto a estudiantes como a docentes en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, promoviendo una educación más dinámica, interactiva y eficaz.

Simulaciones. Enlace

El portal PhET, desarrollado por la Universidad de Colorado, es una organización sin fines de lucro comprometida a proporcionar recursos STEM de alta calidad para cada aula. Su objetivo es crear experiencias de aprendizaje inclusivas y placenteras a gran escala, en las que los alumnos puedan explorar conceptos de matemáticas y estadísticas mediante simulaciones interactivas que involucran la vista, el oído, el tacto y otros sentidos.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Simulaciones interactivas: Actividades en HTML diseñadas para explorar y experimentar con conceptos matemáticos y estadísticos, facilitando la comprensión de ideas abstractas a través de la manipulación directa de variables y modelos.
• Experiencias de aprendizaje multisensoriales: Los recursos permiten a los estudiantes interactuar de forma rica y adaptativa, lo que fomenta un aprendizaje más profundo y personalizado en entornos STEM.
• Accesibilidad y calidad: Las simulaciones están pensadas para integrarse en diversos contextos educativos, complementando tanto el aprendizaje individual como la enseñanza colaborativa, y están disponibles de forma libre para docentes y estudiantes.

Este recurso es una herramienta valiosa para docentes que buscan enriquecer sus clases con tecnología interactiva, promoviendo un aprendizaje dinámico y experiencial que hace que los conceptos complejos de matemáticas y estadísticas sean más accesibles y atractivos.

NCTM Recursos. Enlace

Este recurso de la National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) es una plataforma integral que ofrece una amplia variedad de materiales pedagógicos para la enseñanza de las matemáticas. Desarrollada por una organización líder en la educación matemática, la sección de "Classroom Resources" proporciona herramientas que facilitan la implementación de metodologías activas y el desarrollo del razonamiento matemático en el aula.

Entre sus aspectos clave, este recurso ofrece:

• Lecciones y actividades interactivas: Una colección de más de 700 lecciones, interactivos y juegos educativos (como los recursos "Illuminations") que permiten una comprensión dinámica de conceptos matemáticos, adaptables a diversos niveles educativos.
• Problemas y desafíos semanales: La sección "Problems of the Week" brinda conjuntos de problemas que estimulan el pensamiento crítico y la resolución de problemas, facilitando la práctica continua y el debate matemático.
• Estrategias innovadoras: Iniciativas como "Notice and Wonder" invitan a los estudiantes a explorar y cuestionar conceptos, promoviendo un aprendizaje activo y colaborativo en el aula.
• Materiales diversificados para distintos niveles: Recursos específicos para Educación Primaria, Secundaria y nivel medio, que incluyen actividades prácticas, exploraciones en matemáticas y modelos para la integración de conceptos en contextos reales.

Este recurso es una herramienta valiosa para docentes que buscan enriquecer sus clases con materiales actualizados, interactivos y basados en evidencia, lo que favorece una enseñanza de las matemáticas más inclusiva y estimulante.

Instituto Freudenthal - Matemáticas en contexto. Enlace

El portal "Mathematics in Context" es un currículo integral de matemáticas dirigido a estudiantes de Secundaria, desarrollado conjuntamente por el Instituto Freudenthal de la Universidad de Utrecht y el Wisconsin Center for Education Research. Basado en los principios de la Educación Matemática Realista (EMR), este recurso propone un enfoque innovador para que los alumnos aprendan y apliquen conceptos matemáticos a través de situaciones del mundo real, haciendo el aprendizaje más relevante y motivador.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

Aprendizaje contextualizado: Introduce los conceptos matemáticos mediante situaciones reales, facilitando la conexión entre la teoría y la vida cotidiana.

• Desarrollo progresivo del pensamiento matemático: Guía a los estudiantes desde soluciones informales basadas en contextos reales hacia una comprensión más formal y abstracta, mediante un proceso de matematización progresiva.
• Fomento de la exploración y el razonamiento: Promueve la participación activa, el razonamiento crítico y la discusión entre los alumnos, permitiéndoles desarrollar y explicar sus propias estrategias para resolver problemas.
• Conexiones interdisciplinarias: Establece vínculos entre las matemáticas y otras áreas del conocimiento, como las ciencias y las ciencias sociales, mostrando la aplicabilidad de la materia en diversos campos.
• Recursos para docentes: Ofrece materiales y guías didácticas que facilitan la implementación del currículo en el aula y apoyan la formación profesional de los profesores.

En resumen, este portal del Instituto Freudenthal ofrece una propuesta educativa innovadora y efectiva para la enseñanza de las matemáticas, centrada en la comprensión profunda y la aplicación práctica de los conceptos en contextos reales. La web, aunque está en inglés, incluye recursos en español para cada actividad, permitiendo su adaptación en diversos entornos educativos.

Polypad Amplify. Enlace

El portal Polypad Amplify es una plataforma gratuita de manipulativos matemáticos virtuales diseñada para enriquecer la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles educativos. Su interfaz intuitiva y altamente interactiva permite a estudiantes y docentes explorar conceptos matemáticos de forma visual y práctica.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Amplia variedad de manipulativos digitales: Polypad Amplify dispone de herramientas para diversas áreas matemáticas, como:
  • Números y operaciones: barras y círculos de fracciones, líneas numéricas, cuadros numéricos y ábacos.
  • Álgebra: baldosas algebraicas, balanzas, máquinas de funciones y ejes de coordenadas.
  • Geometría: polígonos, sólidos 3D, tangrams, mosaicos y herramientas de medición.
  • Probabilidad y estadística: dados, monedas, ruletas, gráficos y herramientas de análisis de datos.
  • Lógica y computación: puertas lógicas, circuitos y juegos de lógica. Estas herramientas permiten una representación visual y manipulativa de conceptos abstractos, facilitando su comprensión.
• Accesibilidad y facilidad de uso: La plataforma es completamente gratuita, sin necesidad de registro, y es compatible con múltiples dispositivos y navegadores, lo que permite un acceso sencillo y sin complicaciones.
• Personalización y creación de actividades: Los docentes pueden diseñar y personalizar actividades adaptadas a las necesidades de su alumnado mediante el modo de autor. Esto incluye:
  • La opción de habilitar o restringir ciertas herramientas.
  • La posibilidad de agregar instrucciones específicas y diseñar actividades interactivas.
  • La capacidad de guardar y compartir creaciones mediante enlaces, además de integrarse con plataformas educativas como Desmos Classroom.
• Recursos adicionales para docentes: La plataforma ofrece una biblioteca de lecciones, actividades y rompecabezas que los docentes pueden utilizar directamente o adaptar según sus objetivos educativos, enriqueciendo la práctica pedagógica.
• Fomento de la creatividad y el pensamiento crítico: Polypad Amplify no se centra únicamente en la resolución de problemas tradicionales, sino también en estimular la creatividad mediante la creación de arte matemático, la exploración de patrones y el diseño de juegos, lo que favorece el desarrollo del pensamiento crítico e innovador.

En definitiva, Polypad Amplify es una herramienta versátil que transforma la enseñanza de las matemáticas en una experiencia interactiva, visual y significativa, adaptándose a diversos estilos de aprendizaje y niveles educativos.

MEDIAN (material bilingüe) Enlace

El portal MEDIAN, creado por el profesor británico Don Steward, es una fuente destacada de recursos didácticos para la enseñanza de matemáticas a estudiantes de entre 10 y 16 años. Su enfoque se centra en fomentar el pensamiento crítico y la comprensión profunda de los conceptos matemáticos a través de tareas y actividades diseñadas para la exploración y el descubrimiento.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Enfoque en la comprensión conceptual: Las actividades van más allá de la práctica mecánica, promoviendo la identificación de patrones y relaciones matemáticas para desarrollar una comprensión sólida y duradera.
• Amplia variedad de temas y recursos: Abarca álgebra, geometría, estadística, probabilidad y aritmética, con materiales descargables y presentaciones en PowerPoint que los docentes pueden adaptar a sus necesidades.
• Fomento del pensamiento crítico y la creatividad: Las tareas desafían a los estudiantes a pensar de manera crítica y creativa, con problemas abiertos que permiten múltiples enfoques y soluciones.
• Accesibilidad y facilidad de uso: El blog es de acceso libre y está organizado por temas, facilitando la búsqueda de recursos relevantes para la enseñanza.
• Inspiración para el diseño de tareas: Don Steward es reconocido por crear actividades que, aunque parecen simples, contienen una profundidad que estimula el razonamiento y la discusión en el aula.

En resumen, este portal es una herramienta valiosa para docentes que buscan enriquecer su enseñanza con actividades que promuevan la comprensión profunda, el pensamiento crítico y la creatividad en sus estudiantes.

https://donsteward.blogspot.com/2013/11/number-shacks.html

4.5.3. Recursos pedagógicos

No cabe duda que la investigación en educación está avanzando a buen ritmo en los últimos años y más concretamente en educación matemática. Por tanto, es importante que el profesorado conozca experiencias o en qué aspectos de metodología, evaluación, etc., se está avanzando. Exponemos a continuación algunos enlaces a publicaciones en revistas o actas de congresos, que pueden servir de modelo. Además de toda la información reflejada, nos pueden proveer de una rica bibliografía.

Redescubriendo el entorno con ojos matemáticos: Aprendizaje realista de la geometría en Educación Infantil. Enlace

Este artículo expone las principales ideas que sustentan la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en las primeras edades desde el enfoque de la Educación Matemática Realista (EMR). Además, realiza una revisión de las orientaciones curriculares contemporáneas en relación con la enseñanza de la geometría en Educación Infantil.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Fundamentos de la Educación Matemática Realista: Analiza cómo este enfoque permite a los niños aprender matemáticas a través de situaciones significativas y contextualizadas.
• Revisión de orientaciones curriculares: Examina las tendencias actuales en la enseñanza de la geometría en Educación Infantil, destacando metodologías y estrategias efectivas.
• Ejemplo de práctica docente: Presenta la experiencia "Redescubriendo la calle Mayor de Palencia con ojos matemáticos", llevada a cabo con niños de 5-6 años del colegio público Sofía Tartilán.
• Descubrimiento de conceptos geométricos: Muestra cómo los alumnos identifican formas geométricas en su entorno, analizan sus propiedades, observan patrones y transformaciones, y perciben el valor estético de las figuras.

Este recurso es una herramienta valiosa para docentes interesados en aplicar la Educación Matemática Realista en el aula, promoviendo un aprendizaje activo y significativo de la geometría desde edades tempranas.

Material manipulable para enseñar matemáticas en Educación Infantil. Enlace

El artículo presenta materiales diseñados para facilitar el aprendizaje de las matemáticas en Educación Infantil. Se destaca la importancia de estos recursos en la exploración matemática, ayudando a concretar nociones abstractas y permitiendo a los niños construir modelos mentales que les sirvan como referencia incluso cuando el material ya no está disponible.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Favorecimiento de la exploración: Los materiales permiten a los niños interactuar con conceptos matemáticos de manera tangible, promoviendo el descubrimiento y la experimentación.
• Concreción de nociones abstractas: Facilitan la comprensión de ideas matemáticas complejas al proporcionar representaciones visuales y manipulativas.
• Resaltado de distintos aspectos de un mismo concepto: Ayudan a los estudiantes a identificar diferentes propiedades y relaciones matemáticas dentro de un mismo contenido.
• Construcción de modelos mentales: Permiten que los niños desarrollen estructuras cognitivas que les ayuden a recordar y aplicar conocimientos matemáticos en distintos contextos.

Este recurso es una herramienta valiosa para docentes que buscan enriquecer la enseñanza de las matemáticas en Educación Infantil mediante el uso de materiales manipulativos y estrategias que favorezcan el aprendizaje activo y significativo.

Metodología Thinking Classrooms para trabajar las competencias específicas de la LOMLOE. Enlace

El artículo aborda la metodología Thinking Classrooms, desarrollada por Peter Liljedahl en su libro Building Thinking Classrooms in Mathematics. Esta metodología se ha convertido en una referencia en la enseñanza de las matemáticas, alineándose perfectamente con el currículo de la LOMLOE al fomentar el pensamiento crítico y la resolución de problemas en el aula.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Fundamentos de la Thinking Classroom: Explica los principios de esta metodología y cómo favorece el aprendizaje activo y la construcción del conocimiento matemático.
• Implementación en el aula: Detalla los aspectos clave de la metodología, desde la configuración de los grupos de trabajo hasta la evaluación y calificación, pasando por el uso del cuaderno como herramienta de aprendizaje.
• Experiencia docente: Presenta la visión de Gregorio Morales sobre la aplicación de Thinking Classrooms en el aula, proporcionando ejemplos prácticos y reflexiones sobre su impacto en el aprendizaje.
• Conexión con la LOMLOE: Analiza cómo esta metodología se integra con el currículo actual, promoviendo competencias específicas y estrategias de enseñanza innovadoras.

Este recurso es una herramienta valiosa para docentes que buscan transformar la enseñanza de las matemáticas mediante enfoques dinámicos y participativos.

Bases para la elaboración de un currículo de Matemáticas en Educación no Universitaria. (Cemat) Enlace

El artículo aborda las bases para la elaboración de un currículo de matemáticas en educación no universitaria. Se centra en la importancia de diseñar un currículo que responda a las necesidades actuales del alumnado y que favorezca el desarrollo de competencias matemáticas esenciales.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Fundamentos del currículo de matemáticas: Analiza los principios que deben guiar la enseñanza de las matemáticas en niveles educativos previos a la universidad.
• Enfoque competencial: Destaca la importancia de estructurar el currículo en torno a competencias clave, promoviendo el pensamiento lógico, la resolución de problemas y la aplicación de conocimientos en contextos reales.
• Metodologías y estrategias didácticas: Presenta propuestas para la enseñanza de las matemáticas, incluyendo enfoques innovadores y recursos que faciliten el aprendizaje significativo.
• Adaptación a las necesidades del alumnado: Examina cómo el currículo debe ajustarse a los distintos niveles educativos y a la diversidad de los estudiantes, garantizando una enseñanza accesible y efectiva.

Este recurso es una herramienta valiosa para docentes y responsables educativos que buscan mejorar la enseñanza de las matemáticas mediante un currículo estructurado y adaptado a los desafíos actuales.

Avances de Investigación en Educación Matemática. Enlace

La revista AIEM – Avances de Investigación en Educación Matemática, publicada por la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, tiene como objetivo contribuir al avance del conocimiento sobre los procesos involucrados en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Desde su creación en 2012, AIEM ha mantenido una fuerte vocación internacional, abarcando todos los dominios de estudio en educación matemática y promoviendo investigaciones de alta calidad.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Publicación de investigaciones teóricas y empíricas: AIEM acepta trabajos que aporten resultados novedosos en educación matemática, contribuyendo al desarrollo del conocimiento en la comunidad científica.
• Cobertura de múltiples áreas de estudio: La revista abarca todos los dominios de la educación matemática, desde metodologías de enseñanza hasta el análisis de procesos cognitivos en el aprendizaje.
• Enfoque internacional y multilingüe: Aunque AIEM publica preferentemente en castellano, también acepta artículos en inglés, portugués y francés, favoreciendo la difusión global de la investigación en educación matemática.
• Compromiso con la calidad científica: Los artículos deben cumplir con rigurosos estándares de calidad, asegurando que los estudios sean relevantes y comprensibles para investigadores y profesionales del ámbito educativo.

Este recurso es una herramienta fundamental para docentes, investigadores y especialistas en educación matemática que buscan profundizar en el estudio y la mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje en matemáticas.

4.6. APLICACIÓN DE LAS TECNOLOGÍAS DEL APRENDIZAJE Y EL CONOCIMIENTO.

El desarrollo de la competencia digital se ha convertido en un eje central del crecimiento y la capacitación de nuestro alumnado, así como de la sociedad en su conjunto. En un contexto cada vez más tecnológico, el entorno laboral y la vida cotidiana están estrechamente vinculados a las herramientas digitales que nos rodean. Esto requiere que mejoremos nuestra capacidad para navegar, comprender y utilizar eficazmente estas tecnologías, ya que es fundamental para promover el éxito tanto a nivel personal como profesional.

En el ámbito educativo, el desarrollo de estas habilidades depende de contar con los recursos digitales adecuados, de saber cómo utilizarlos y de cultivar competencias cognitivas y habilidades de pensamiento crítico. Estas competencias son necesarias para adaptarse a un entorno en constante cambio y evolucionar con las demandas de la sociedad. La integración de habilidades digitales en la educación no solo prepara a los estudiantes para el futuro, sino que también les permite ser participantes activos en la sociedad digital, facilitando su inserción en un mercado laboral altamente tecnológico.

Dentro de este marco, la incorporación de herramientas digitales en el aula ofrece oportunidades únicas para enriquecer el proceso de enseñanza-aprendizaje y potenciar el desarrollo competencial. A través de una amplia variedad de recursos y tecnologías, es posible complementar la actividad habitual en el aula, como lo señala Trujillo (2014, p. 27), quien destaca que hoy la mayoría de los estudiantes tienen acceso a dispositivos electrónicos en diversos formatos, tales como ordenadores de sobremesa, ordenadores portátiles, tabletas y teléfonos. Estos dispositivos cumplen una amplia gama de funciones, lo que hace que las posibilidades de su uso sean, en este sentido, literalmente inabarcables.

En este contexto, es relevante repasar algunos recursos que pueden ser especialmente útiles para desarrollar la competencia matemática y en ciencia, tecnología e ingeniería de los estudiantes, y más concretamente, el razonamiento matemático, teniendo en cuenta sus principales características y aplicaciones.

4.6.1 Breve fundamentación legal de las tecnologías de la información y la comunicación.

La Ley Orgánica 3/2020, de 29 de diciembre (LOMLOE), que modifica la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo (LOE), enfatiza la integración de las nuevas tecnologías en el proceso educativo, incluyendo el área de matemáticas. Aunque no se mencionan disposiciones específicas, la LOMLOE promueve el desarrollo de la competencia digital en todas las áreas del currículo. Esta competencia implica el uso creativo, crítico y seguro de las tecnologías de la información y la comunicación para alcanzar objetivos relacionados con el aprendizaje, el trabajo y la participación en la sociedad.

Más concretamente, la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación, establece en su artículo 102.3 que las administraciones educativas promoverán la utilización de las tecnologías de la información y la comunicación, estableciendo programas específicos de formación en este ámbito y en el artículo 111.bis dicta que se promoverá el uso, por parte de las administraciones educativas y los equipos directivos de los centros, de las tecnologías de la información y comunicación en el aula, como medio didáctico apropiado y valioso para llevar a cabo las tareas de enseñanza y aprendizaje.

Centrándonos en nuestra comunidad, la Ley 17/2007, de 10 de diciembre, de Educación en Andalucía (LEA), establece el marco general para la integración de las nuevas tecnologías en el sistema educativo andaluz, y, en su artículo 5, señala como uno de sus objetivos "incorporar las nuevas competencias y saberes necesarios para desenvolverse en la sociedad, con especial atención a la comunicación lingüística y al uso de las tecnologías de la información y la comunicación". Además, la LEA, destaca la importancia de la digitalización en el ámbito educativo, reconociendo las nuevas tecnologías como herramientas esenciales para el aprendizaje.

En el contexto de la enseñanza de las matemáticas, la LEA propone una metodología que incluye la resolución de problemas, el uso de nuevas tecnologías y la evaluación formativa. Esta aproximación busca fomentar una enseñanza competencial, donde las tecnologías digitales se emplean como herramientas para facilitar la comprensión y aplicación de conceptos matemáticos.

4.6.2 El uso de las nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas.

La mejora de la comprensión y el rendimiento académico del alumnado junto con un aumento exponencial de la motivación son varias de las razones por las que el uso de las nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas es necesaria y obligatoria.

Los principales beneficios del uso de las nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas, defendidos por autores como Pablo Beltrán Pellicer, Ángel I. Pérez Gómez y otros expertos en el campo, son:

• Visualización y comprensión de conceptos abstractos: las herramientas digitales permiten representar gráficamente conceptos matemáticos complejos, facilitando su comprensión.
• Aprendizaje activo y participativo: la integración de las TIC fomenta un aprendizaje más activo, donde los estudiantes interactúan con el contenido y participan en actividades prácticas. Según Beltrán Pellicer, "la incorporación de las TIC en la enseñanza de las matemáticas promueve una participación más activa y reflexiva de los estudiantes", ("Evaluación y cultura de aula en matemáticas", 2021).
• Acceso a recursos educativos diversos: las tecnologías proporcionan acceso a una amplia gama de recursos educativos, como videos, simulaciones y actividades interactivas, etc. que enriquecen el proceso de aprendizaje. Pérez Gómez destaca que "vivimos en la aldea global y en la era de la información, una era de cambio vertiginoso, incremento de la interdependencia y de la complejidad sin precedentes", ("La era digital. Nuevos desafíos educativos", 2013).
• Personalización del aprendizaje: Las plataformas digitales permiten adaptar el contenido y las actividades a las necesidades individuales de cada estudiante, promoviendo un aprendizaje más personalizado y efectivo. Beltrán Pellicer señala que "la tecnología ofrece herramientas que permiten una enseñanza más personalizada y adaptada a las necesidades de cada alumno" ("La resolución de problemas, mucho más que un eslogan", 2021).
• Desarrollo de habilidades digitales: El uso de las TIC en la enseñanza de las matemáticas contribuye al desarrollo de competencias digitales esenciales para el siglo XXI. Pérez Gómez enfatiza la importancia de "formar el pensamiento crítico y creativo, el desarrollo armónico de las emociones, la búsqueda de la identidad y sentido" ("Educarse en la era digital: la escuela educativa", 2012).

A partir de aquí, vamos a desarrollar de forma más extensa distintos aspectos relevantes a la hora de implementar las TIC en el aula.

4.6.3 Presentación de contenidos.

Un primer ámbito que se ha visto potenciado por el uso de la tecnología es el de la presentación de contenidos, tanto por parte de los docentes como del alumnado. En un par de décadas, hemos pasado de las pizarras tradicionales a las digitales, de las calculadoras básicas a las aplicaciones digitales avanzadas de matemáticas y de los métodos manuales de representación de datos a las visualizaciones interactivas en 3D. El enriquecimiento de las situaciones de aprendizaje es innegable. Del mismo modo, las herramientas tecnológicas diseñadas para presentar y trabajar el razonamiento matemático han evolucionado al mismo ritmo, permitiendo a los docentes crear experiencias didácticas más dinámicas y adaptadas a las necesidades de los estudiantes, siendo posible hoy encontrar una amplia gama de posibilidades donde se puede desarrollar la creatividad

Un elemento que se ha incorporado con naturalidad a la cotidianidad de las aulas es el uso de vídeos educativos plataformas como Youtube o Vimeo y presentaciones multimedia en webs con Canva o Genially para la presentación de contenidos, permitiendo explicar conceptos de manera visual y dinámica. Tanto el profesorado como el alumnado pueden visualizar y utilizar contenido matemático que se encuentran alojados en plataformas, en medios de comunicación, en redes sociales, o incluso que son creados por ellos mismos. Estos permiten trabajar competencialmente a través de situaciones reales o simuladas que exigen comprender, interpretar y valorar el contenido desarrollado en contextos diversos. Además, este tipo de recurso está estrechamente relacionado con la metodología flipped classroom (aula invertida), ya que su uso ofrece la posibilidad al alumnado de aprender de forma autónoma, acceder a contenidos visuales y dinámicos, y reforzar su comprensión antes de aplicar lo aprendido en clase.

Otro recurso que está ganando espacio en las aulas al mismo ritmo que en la sociedad es el uso de simuladores, herramientas ideales para potenciar el razonamiento matemático y la comprensión de conceptos más abstractos. Por ejemplo, la herramienta Desmos, una plataforma educativa gratuita que ofrece herramientas interactivas para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Su misión es ayudar a los estudiantes a aprender matemáticas de manera visual y dinámica, proporcionando calculadoras avanzadas y recursos interactivos.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Calculadora gráfica: Permite graficar funciones, visualizar ecuaciones algebraicas y explorar conceptos matemáticos de manera interactiva.
• Calculadora científica: Ofrece funciones avanzadas para evaluar porcentajes, fracciones, logaritmos, trigonometría y estadísticas.
• Geometría y 3D: Herramientas para explorar construcciones geométricas y visualizar curvas y superficies en tres dimensiones.

https://www.desmos.com/?lang=es

También podemos encontrar otros postales que incluyen simuladores como Geoboard, diseñado para la exploración matemática en Educación Primaria y Secundaria. Permite a los estudiantes manipular bandas elásticas sobre un tablero de clavijas para formar segmentos de línea y polígonos, facilitando el aprendizaje de conceptos geométricos y matemáticos de manera visual e interactiva.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

Exploración de conceptos matemáticos: Los estudiantes pueden experimentar con perímetro, área, ángulos, congruencia y fracciones mediante la manipulación de figuras en el tablero.

Interfaz intuitiva y accesible: La plataforma proporciona un espacio digital donde docentes y alumnos pueden resolver problemas y explicar su razonamiento de manera dinámica.

Herramientas de personalización: Permite cambiar colores, rellenar formas, duplicar figuras y realizar transformaciones geométricas como rotaciones y reflexiones.

Uso en múltiples dispositivos: Disponible en navegadores web y aplicaciones móviles, facilitando su integración en el aula y el aprendizaje autónomo.

https://apps.mathlearningcenter.org/geoboard/

Estos recursos permiten al alumnado interactuar con representaciones dinámicas de conceptos matemáticos, como ecuaciones, geometría o álgebra, y experimentar con ellos de forma práctica. A través de la resolución de problemas en entornos virtuales, los estudiantes pueden explorar diferentes enfoques y estrategias, desarrollando habilidades matemáticas desde un enfoque visual y experimental. Además, al ser recursos que pueden utilizarse de forma autónoma, fomentan el aprendizaje activo y la reflexión crítica, permitiendo a los estudiantes practicar y afianzar sus conocimientos de manera repetitiva y adaptada a su ritmo.

En cuanto a la accesibilidad, las herramientas de presentación de contenidos en la actualidad facilitan la adecuación a los principios del Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA). Por un lado, permiten presentar la información en múltiples formatos (audio, texto, imagen y movimiento), lo que favorece diferentes estilos de aprendizaje. Por otro lado, ofrecen opciones para personalizar la forma en que el contenido se percibe: el alumnado puede modificar el tamaño del texto, usar subtítulos, adaptar el contraste visual o acceder a descripciones auditivas. Todo ello facilita el acceso y la comprensión al alumnado con diferentes perfiles cognitivos, sensoriales o lingüísticos, favoreciendo una educación más inclusiva y equitativa.

Finalmente, la posibilidad de compartir estos recursos en plataformas colaborativas fomenta el trabajo en equipo, la coevaluación y el sentido de autoría, lo que contribuye a una alfabetización digital crítica y significativa.

4.6.3 Retroalimentación inmediata

Un aspecto fundamental para el docente es conocer qué sabe su alumnado sobre lo que están trabajando en clase, y cuanto más ajustado al tiempo real, mejor (Wiliam y Leahy, 2024: 105). De ahí la importancia del uso de herramientas que faciliten la retroalimentación, pues permiten al profesorado disponer de información inmediata del progreso, tanto del grupo como de los individuos que lo componen; y al alumnado, tomar conciencia de sus avances, detectar errores y reajustar sus estrategias.

Esta forma de compartir información se puede hacer en diferentes formatos. Existen aplicaciones, como veremos en el apartado siguiente, que permiten un desarrollo lúdico de estas sesiones, algo que favorece la motivación del alumnado y el clima de aula, además de aportar datos al momento sobre el rendimiento colectivo e individual de la clase. Estas herramientas, además, fomentan el aprendizaje activo y la participación, ya que el alumnado se enfrenta a retos en un entorno que estimula su implicación.

Por otro lado, si queremos situaciones más reflexivas y colaborativas, podemos utilizar otras aplicaciones o programas que permiten recoger comentarios y visualizarlos en tiempo real en tableros compartidos, que potencia el desarrollo de habilidades comunicativas y el pensamiento crítico, al dar voz a todo el grupo y promover el intercambio de perspectivas. Entre los que podemos destacar:

Padlet: Crea tableros digitales donde los estudiantes pueden interactuar con contenidos, subir imágenes, compartir ideas, etc. de forma colaborativa.

Como ya desarrollamos en apartados anteriores, estas herramientas potencian una evaluación formativa del alumnado.

4.6.4 Aplicaciones y juegos interactivos.

El aprendizaje lúdico se ha consolidado como una estrategia pedagógica eficaz, especialmente en el ámbito de las matemáticas, dado su impacto positivo en la motivación y participación del alumnado. La incorporación de elementos lúdicos en el proceso de enseñanza favorece una mayor implicación de los estudiantes, quienes, a través de actividades interactivas, desarrollan habilidades cognitivas y metacognitivas esenciales. El carácter dinámico y atractivo de los juegos educativos facilita la conexión de los estudiantes con los contenidos matemáticos, haciendo que conceptos complejos sean más accesibles y comprensibles. Además, el enfoque lúdico promueve un ambiente de aprendizaje relajado, donde los estudiantes pueden enfrentarse a desafíos matemáticos de forma menos intimidante y más efectiva, favoreciendo la resolución de problemas y la toma de decisiones estratégicas sin la presión de una evaluación formal.

En este sentido, las aplicaciones y juegos interactivos se han convertido en herramientas clave para potenciar el razonamiento matemático en el alumnado. Estos recursos permiten que los estudiantes interactúen de manera directa con los conceptos matemáticos, desarrollando sus habilidades de resolución de problemas, identificación de patrones y razonamiento lógico de forma práctica. Mediante la resolución de problemas y la participación en actividades que requieren de un pensamiento estratégico, los estudiantes son capaces de aplicar conceptos abstractos a situaciones concretas, lo cual facilita la comprensión y refuerzo de los contenidos matemáticos.

Además, el uso de aplicaciones interactivas proporciona a los estudiantes un entorno donde pueden explorar los contenidos a su propio ritmo, recibir retroalimentación inmediata sobre sus respuestas y revisar los procedimientos paso a paso. Por ejemplo, Geogebra ofrece herramientas interactivas para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Utilizada por millones de estudiantes y docentes en todo el mundo, GeoGebra combina geometría, álgebra, cálculo, estadística y probabilidad en un entorno dinámico y accesible.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Aplicaciones matemáticas interactivas: GeoGebra permite la exploración de conceptos matemáticos mediante gráficos, cálculos y simulaciones en 2D y 3D.
• Herramientas para docentes y estudiantes: Facilita la enseñanza y el aprendizaje con recursos diseñados para distintos niveles educativos, desde Primaria hasta educación superior.
• Colaboración en el aula: Ofrece funciones para la enseñanza interactiva, permitiendo a los docentes seguir el progreso de los estudiantes en tiempo real.
• Accesibilidad multiplataforma: Disponible en navegadores web y aplicaciones móviles, lo que permite su uso en diversos dispositivos sin necesidad de instalación.

https://www.geogebra.org/

Por su parte Khan Academy ofrece cursos, lecciones y ejercicios interactivos en diversas áreas del conocimiento. Su misión es proporcionar una educación de calidad accesible para cualquier persona, en cualquier lugar.

Entre sus aspectos clave, el recurso ofrece:

• Aprendizaje personalizado: El alumnado puede avanzar a su propio ritmo, reforzando conceptos y acelerando su aprendizaje según sus necesidades.
• Amplia biblioteca de contenidos: Incluye cursos de matemáticas, entre otros.
• Herramientas para docentes: Permite a los profesores identificar brechas en el aprendizaje de sus alumnos y adaptar la enseñanza para mejorar la comprensión.
• Accesibilidad gratuita: Todo el contenido está disponible sin costo para estudiantes y docentes, promoviendo la educación inclusiva.

https://www.khanacademy.org/

Este tipo de herramientas fomenta la autonomía en el aprendizaje, permitiendo que los estudiantes reflexionen sobre el proceso de resolución y profundicen en su comprensión de los conceptos matemáticos. La integración del juego con el aprendizaje no solo hace que el proceso educativo sea más atractivo, sino que también mejora la capacidad de los estudiantes para aplicar los conceptos matemáticos de manera práctica y significativa, contribuyendo al desarrollo de competencias matemáticas sólidas.

4.6.5. Entornos Virtuales de Aprendizaje.

Los Entornos Virtuales de Aprendizaje (EVA) son espacios digitales que posibilitan la organización, presentación y gestión de distintos aspectos del proceso educativo de forma integrada, permitiendo una expansión del espacio físico del aula. Desde la irrupción de internet estos espacios habían ido ganando terreno, sin embargo, es incuestionable su eclosión a partir de la pandemia de la COVID-19 y el confinamiento obligatorio. A partir de esos meses, su uso se ha generalizado, pasando a ocupar un lugar central en la práctica docente (Álvarez Jiménez, 2020, p. 49).

Estos entornos no solo reproducen de manera digital las dinámicas del aula tradicional, sino que las amplían y enriquecen. Permiten prolongar el espacio y el tiempo de aprendizaje, ofreciendo acceso continuo a materiales, tareas, foros, rúbricas y otros elementos clave en la gestión del proceso formativo, incidiendo de manera positiva en la autonomía del alumnado, su organización personal y su sentido de la responsabilidad.

Además, como ya hemos señalado, estas plataformas facilitan la integración de una gran variedad de recursos y formatos: textos digitales adaptados (como los textos pautados en versión digital), actividades interactivas, vídeos explicativos, formularios autoevaluables o tareas guiadas con pautas explícitas. De este modo, se ajustan a los principios del DUA, al ofrecer múltiples formas de representación de la información, expresión del conocimiento y compromiso con la tarea.

Desde el punto de vista del razonamiento matemático, los EVA abren nuevas posibilidades para fomentar la comprensión y aplicación de conceptos matemáticos. La interacción con actividades interactivas y simulaciones en plataformas digitales permite que los estudiantes experimenten con problemas matemáticos, visualicen soluciones y reflexionen sobre diferentes estrategias de resolución. El uso de foros de discusión, plataformas colaborativas y comentarios en tareas permite trabajar la argumentación y comunicación matemática, favoreciendo la capacidad crítica y reflexiva de los estudiantes ante problemas complejos. Además, las plataformas ofrecen herramientas como gráficos, calculadoras científicas y simuladores que posibilitan el análisis y la visualización de datos, facilitando la comprensión de conceptos abstractos.

Estas plataformas también proporcionan acceso a bibliotecas digitales con recursos de matemáticas, revistas en línea y contenidos seleccionados por los docentes, adecuados a los intereses y a los niveles de comprensión matemática del alumnado. Esta exposición a recursos matemáticos auténticos favorece el desarrollo de habilidades de razonamiento matemático en contextos reales y significativos, proporcionando al estudiante una visión práctica de la matemática aplicada.

Por último, el empleo de herramientas vinculadas que permiten al alumnado crear sus propios portafolios digitales, organizando evidencias de aprendizaje y reflexiones personales en torno a los problemas matemáticos resueltos o conceptos estudiados, sirve para potenciar el uso consciente de estrategias matemáticas y la visibilización del progreso individual. Este enfoque fomenta la creatividad, el sentido de autoría y, dependiendo del diseño de las actividades, el trabajo cooperativo, especialmente en proyectos de resolución de problemas complejos.

En resumen, los EVA ofrecen una oportunidad que no podemos dejar escapar, complementando la competencia digital con el razonamiento matemático, potenciando el desarrollo de habilidades de razonamiento lógico, ampliando el impacto de la enseñanza fuera del tiempo y el espacio del aula tradicional, posibilitando una adaptación individualizada y flexible según las necesidades del alumnado. De esta forma, los estudiantes pasan a ser agentes activos de sus propios procesos de aprendizaje, dejando de ser meros receptores de información (Corpas Martos, 2019: 183). Unas ventajas que se pueden ampliar aún más cuando entra en escena la Inteligencia Artificial.

4.6.6 Inteligencia Artificial

Si hay un fenómeno que se puede equiparar a las grandes revoluciones acontecidas en la historia de la humanidad, sin duda es la irrupción de la Inteligencia Artificial (IA) en nuestras vidas. Desde asistentes virtuales hasta generadores de cálculos matemáticos o aplicaciones de corrección y análisis numérico, las herramientas basadas en IA han comenzado a formar parte de la cotidianidad, incluyendo por supuesto el ámbito escolar.

Como en su día ocurrió con el uso de Wikipedia, conviene encontrar un equilibrio entre el entusiasmo y la prevención. No se trata de prohibir ni de entregarse ciegamente a estas tecnologías, sino de conocerlas, comprender su funcionamiento y aprender a utilizarlas con un propósito pedagógico claro. El verdadero reto no está en la herramienta, sino en el uso que se haga de ella, y por eso es fundamental que el profesorado actúe como modelo de uso crítico, ético y responsable de estas tecnologías.

En el ámbito concreto del razonamiento matemático, la IA ofrece múltiples aplicaciones educativas. Por ejemplo, puede generar ejercicios adaptados al nivel de competencia matemática del alumnado, permitiendo una mejor comprensión de los conceptos y acceso a los contenidos. También puede servir para proporcionar explicaciones automáticas de los pasos involucrados en la resolución de problemas, generar problemas personalizados o corregir soluciones matemáticas, lo que facilita el aprendizaje autónomo y una práctica más personalizada. Estas funciones son especialmente útiles para alumnado con dificultades o necesidades específicas de apoyo educativo, facilitando un acceso más equitativo a la comprensión de las matemáticas. Por supuesto, esto incluye los principios DUA que hemos ido mencionando en los apartados anteriores.

Otro aspecto muy importante del uso de la IA es el del modelaje, ya que herramientas como los generadores de ecuaciones pueden mostrar ejemplos de procedimientos de resolución, representaciones gráficas o estructuras algebraicas. Usadas con una orientación didáctica adecuada, pueden contribuir al desarrollo de estrategias matemáticas como la anticipación de resultados, la inferencia de relaciones numéricas o la identificación de patrones, pilares fundamentales del razonamiento matemático.

En definitiva, integrar la inteligencia artificial en los procesos de enseñanza-aprendizaje en general y en el razonamiento matemático en particular no implica sustituir el pensamiento crítico por una tecnología automatizada, sino enriquecer la experiencia matemática con herramientas que complementen la labor docente y amplíen las posibilidades y perspectivas del alumnado, de una manera ética y responsable.

Como mencionamos al comienzo de esta sección, en la actualidad disponemos de una inmensa cantidad de recursos tecnológicos que nos pueden ayudar y facilitar nuestra labor docente, un caudal que no para de crecer a diario, y no es una hipérbole. Es muy importante mantenerse actualizado, pero siempre sin perder la perspectiva y sin dejarse arrollar por la avalancha de novedades. En la web podemos encontrar múltiples lugares donde ya se ha realizado una selección por temáticas, intereses o incluso metodología, como, por ejemplo, el Observatorio de tecnología educativa del INTEF. Este Espacio es una biblioteca virtual de artículos creados por docentes en torno a la innovación digital en el aula. Cada artículo presenta una herramienta digital educativa, con su aplicación didáctica y metodológica, terminando con una valoración del docente que lo ha escrito y una recomendación final.

No obstante, la integración eficaz y significativa de estas herramientas debe ir acompañada de una reflexión crítica sobre las condiciones de acceso, participación y representación de todo el alumnado. En este sentido, resulta imprescindible prestar atención a las desigualdades estructurales que aún persisten en nuestro sistema educativo, como es el caso de la brecha de género. Este será el foco del siguiente apartado.

4.7. REDUCCIÓN DE LA BRECHA DE GÉNERO

La brecha de género es un concepto central en el tratamiento de la competencia matemática de la estructura curricular LOMLOE, siendo una idea fuertemente asociada a las dos competencias específicas que se denominan "procesos socioafectivos" y que suponen la confianza en uno mismo, la gestión de las emociones y las habilidades para el trabajo en equipo.

Históricamente, factores socioculturales han influido en la percepción y el desarrollo de las habilidades matemáticas en niñas y niños, generando disparidades que esta guía busca abordar. Al entender el origen de estas desigualdades, podemos diseñar estrategias pedagógicas que garanticen igualdad de oportunidades y potencien el pleno desarrollo del talento matemático de todo el alumnado, sin importar su género.

4.7.1. Introducción: ¿Qué es la brecha de género en matemáticas y por qué es importante abordarla?

La brecha de género en matemáticas se refiere, fundamentalmente, a las diferencias observadas en el rendimiento académico en esta materia entre estudiantes de distinto sexo, con una tendencia recurrente a que los chicos obtengan, en promedio, mejores resultados que las chicas en evaluaciones a gran escala. Este patrón ha sido señalado consistentemente por importantes estudios comparativos internacionales como el Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes (PISA) y el Estudio Internacional de Tendencias en Matemáticas y Ciencias (TIMSS). Estos estudios no sólo comparan el dominio de conceptos y procedimientos curriculares, sino que centran su evaluación en el desempeño de la competencia matemática.

Es crucial comprender y abordar esta brecha porque las diferencias de género en matemáticas no se consideran innatas ni inevitables (PISA, 2022). La investigación educativa apunta a que son producto de una compleja interacción de factores que pueden ser modificados. Ignorar esta realidad tiene consecuencias significativas y a largo plazo en las trayectorias personales, educativas y profesionales del alumnado.

El gusto y las actitudes positivas hacia las matemáticas no solo influyen en el rendimiento actual, sino que son predictores importantes en la elección de trayectorias académicas y profesionales (TIMSS, 2023). El alumnado que desarrolla una actitud positiva temprana tiene una mayor probabilidad de optar por estudios superiores en áreas de ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas. La subrepresentación de las mujeres en estas áreas limita su acceso a oportunidades y contribuye a la desigualdad económica y social. Abordar la brecha de género es, por tanto, un componente esencial de la equidad educativa y un objetivo fundamental para garantizar que todos los estudiantes, independientemente de su género, puedan desarrollar su máximo potencial en matemáticas.

En resumen, la brecha de género en matemáticas es una disparidad de rendimiento con profundas raíces en factores contextuales y socioemocionales, no en diferencias innatas. Su existencia tiene un impacto directo en la capacidad del alumnado para participar plenamente en el siglo XXI y acceder a oportunidades futuras. Por ello, esta sección de la guía didáctica se dedica a comprender mejor este fenómeno, analizando la evidencia, los factores que la causan y, crucialmente, las estrategias para promover la equidad de género en el aula de matemáticas.

4.7.2. Evidencia y datos de estudios a gran escala

Para comprender la magnitud y naturaleza de la brecha de género en matemáticas, es fundamental recurrir a los datos que arrojan las evaluaciones educativas a gran escala. Estos estudios internacionales ofrecen una visión comparativa del rendimiento del alumnado en distintos países y sistemas educativos, permitiendo identificar patrones y tendencias relevantes.

Los dos estudios más prominentes que se utilizan habitualmente para analizar el rendimiento en matemáticas, ciencias y lectura son el Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes (PISA), centrado en estudiantes de 15 años, y el Estudio Internacional de Tendencias en Matemáticas y Ciencias (TIMSS), que evalúa al alumnado de 4º de Educación Primaria y 2º de ESO. España participa en ambos estudios, en TIMSS con alumnos de 4º de Primaria desde 2011, lo que proporciona datos comparables a lo largo de 12 años.

Patrones recurrentes observados

De manera consistente, los estudios a gran escala han señalado la existencia de diferencias de género en el rendimiento académico en distintas áreas. Si bien las chicas tienden a obtener, en promedio, mejores resultados en lectura, en matemáticas, los resultados promedio suelen favorecer a los chicos. Las diferencias en ciencias, por su parte, tienden a ser menores y varían más entre países.

1. PISA 2022 (Estudiantes de 15 años): Según datos presentados en estudios a gran escala como PISA, la diferencia de rendimiento en matemáticas entre chicos y chicas fue de aproximadamente 10 puntos a favor de los chicos tanto en España como en el promedio de los países de la OCDE y la Unión Europea.

2. TIMSS 2023 (4º de Educación Primaria): Los resultados de TIMSS 2023 para el alumnado de 4º de Primaria en España, muestran una diferencia de 18 puntos a favor de los chicos en matemáticas. Esta diferencia es similar a la observada en el Total UE (18 puntos) y ligeramente superior a la del promedio de la OCDE (16 puntos). En contraste con PISA, el estudio TIMSS revela un incremento significativo de la brecha de género en matemáticas desde 2011


Diferencia de género en rendimiento medio de matemáticas (izq) y ciencias (dcha), según género, TIMSS 2023

4.7.3. Factores que influyen en la brecha de género: el papel de los estereotipos y la ansiedad matemática

Tal como hemos observado en el apartado anterior, las diferencias de rendimiento entre chicos y chicas en matemáticas no se deben a cuestiones innatas de capacidad, sino que, por el contrario, la investigación educativa señala que esta brecha es el resultado de una compleja interacción de factores, entre los que destacan, los estereotipos de género y una serie de variables socioemocionales, cristalizadas en la llamada ansiedad matemática.

4.7.3.1. Estereotipos de género

Los estereotipos de género juegan un papel crucial en la configuración de las actitudes y percepciones hacia las matemáticas desde edades tempranas. En muchas sociedades, las matemáticas y las ciencias son percibidas, a menudo, como dominios masculinos. Esta percepción culturalmente arraigada genera estereotipos, como el de que "las niñas no entienden bien las matemáticas" Szűcs y Mammarella (2020).

La mera existencia de estos estereotipos puede desencadenar lo que se conoce como "amenaza del estereotipo". Cuando una persona se encuentra en una situación en la que se siente en riesgo de confirmar un estereotipo negativo sobre su grupo social (en este caso, las niñas en matemáticas), puede sentirse amenazada. Esta amenaza puede afectar negativamente el rendimiento, especialmente en situaciones de evaluación como los exámenes.

Estos estereotipos no solo influyen en el rendimiento actual, sino que también modelan las expectativas, la autoeficacia y el interés del alumnado. Contribuyen a que las niñas tengan menos probabilidades de verse a sí mismas con éxito en tareas de matemáticas y ciencias y, en última instancia, pueden explicar, en parte, la subrepresentación persistente de las mujeres en las carreras STEM.

4.7.3.2. Aspectos socioemocionales: La ansiedad matemática

Más allá de los factores cognitivos como la capacidad o el conocimiento, las emociones, actitudes y creencias tienen un impacto significativo en el proceso de aprendizaje de las matemáticas. Dentro de este conjunto de factores socioemocionales, la ansiedad matemática y la autoeficacia son particularmente relevantes para entender la brecha de género.

1. Las emociones, actitudes y creencias nos construyen

En el ámbito de la didáctica de las matemáticas, las emociones, actitudes y creencias emergen como constructos psicológicos fundamentales que modulan significativamente el aprendizaje, la participación y el rendimiento del alumnado en la competencia matemática.

Conceptualizando estos términos, Mc Leod (1992) define la emoción como afectos viscerales de corta duración y alta intensidad, mientras que la actitud se entiende como una predisposición afectiva que orienta la acción. Por su parte, Vila y Callejo (2009) conciben las creencias como formas de conocimiento personal y subjetivo, arraigadas profundamente.

Es decir, el reto que supone enfrentarse a la resolución de una tarea matemática genera emociones, que repetidas una y otra vez, se cristalizan consolidando una actitud (positiva o negativa) hacia el trabajo matemático (y que condiciona el resto de vida académica del alumnado). Estas actitudes suponen el marco de la creencias -que modulan el comportamiento-, tanto individuales ("a mi familia nunca se les dieron bien las matemáticas") como sociales ("las matemáticas son cosas de listos").

La implementación de una enseñanza centrada en la resolución de problemas, diferenciándose del ejercicio rutinario mediante su carácter novedoso, abierto, rico, interrogativo y basado en la manipulación y el descubrimiento (Canals, 2010), fomenta la participación activa, la toma de decisiones y el desarrollo de habilidades no innatas. Este enfoque pedagógico contribuye a superar bloqueos emocionales y a generar un clima de aula donde las contribuciones individuales son valoradas, impactando positivamente en las emociones, actitudes y creencias de los estudiantes hacia las matemáticas.

2. Autoeficacia matemática.

Ruiz (2020) diferencia tres conceptos que como docentes debemos comprender para poder intervenir de forma adecuada en el rendimiento del alumnado, refiriéndose a las expectativas. Son autoestima (valoración global que una persona tiene de sí misma), autoconcepto (conjunto de percepciones y creencias que una persona tiene sobre sí misma en una temática específica) y autoeficacia (creencia de una persona en su capacidad para organizar y ejecutar las acciones necesarias para producir determinados resultados en una tarea muy concreta). Son tres conceptos muy enlazados entre sí, pero una vez distinguidos, vamos a centrarnos en este último.

La autoeficacia se refiere a la creencia en la propia capacidad para tener éxito en tareas específicas. Los estudios a gran escala también evalúan la confianza del alumnado en matemáticas (TIMSS, 2022). Los dos grandes marcos de análisis de la competencia matemática que estamos referenciando en este apartado coinciden, en resumidas cuentas, que las niñas, a menudo, informan de niveles más bajos de autoconfianza y autoeficacia en matemáticas que los niños y que los chicos tienden a percibirse más eficaces y competentes.

La autoeficacia percibida y la confianza en las posibilidades tienen un impacto muy alto sobre los resultados educativos. La autoeficacia académica se considera uno de los predictores más potentes del rendimiento, posiblemente solo por detrás de las aptitudes y los conocimientos previos. Una mayor confianza o autoeficacia se asocia significativamente con mejores resultados en matemáticas. En España (TIMSS 2023), la percepción sobre la propia competencia matemática se encuentra por debajo de los promedios internacionales, y un incremento de una unidad típica en el índice de autoconcepto matemático se asocia con una ganancia de 36 puntos en rendimiento.

3. La mentalidad de crecimiento

La creencia de que las habilidades pueden desarrollarse con esfuerzo ("mentalidad de crecimiento") contrasta con la creencia en un talento innato fijo ("mentalidad fija"). Una mentalidad de crecimiento puede ayudar a aliviar la ansiedad y reducir sus consecuencias negativas sobre el rendimiento. Normalizar el error como parte del aprendizaje es una estrategia para fomentar esta mentalidad.

Desde la praxis pedagógica, se aspira a fomentar una mentalidad de crecimiento en el alumnado, proceso en el cual las vivencias presentes y pasadas del estudiante ejercen una influencia determinante. Asimismo, la comunicación implícita inherente a la enseñanza de las matemáticas modula el desarrollo de dicha mentalidad. En consecuencia, la valoración del esfuerzo y la dedicación manifestada en el trabajo de los alumnos deviene un factor crucial, diferenciándose de la atribución de valor a capacidades innatas, ya que esta distinción moldea la configuración de su marco mental.

4. La ansiedad ante las matemáticas

La ansiedad ante las matemáticas (AM) se define como la preocupación y el nerviosismo que experimentan algunas personas al enfrentarse a situaciones matemáticas. Es un constructo distinto de la ansiedad general o la ansiedad ante los exámenes en otras materias. La investigación ha demostrado consistentemente que la AM es un factor importante asociado al rendimiento matemático.

La AM no es un concepto nuevo ni reciente, pues ya en el año 1972 Richardson y Suinn lo definieron como "un sentimiento de tensión y ansiedad que interfiere con la manipulación de los números y la resolución de problemas matemáticos en ... la vida cotidiana y situaciones académicas".

La AM tiene también un sesgo de género. Uno de los hallazgos recurrentes en los estudios a gran escala es que las chicas suelen mostrar niveles más altos que los chicos en muchas culturas. Esta diferencia de género en la AM se observa incluso en los primeros cursos de Educación Primaria, cuando los niveles de rendimiento matemático son generalmente similares entre ambos sexos. Esto sugiere que no es el bajo rendimiento lo que causa la AM en las niñas, en primera instancia, sino que otros factores, como los estereotipos de género o una posible mayor predisposición general a informar de ansiedad, pueden contribuir a niveles más altos de AM desde el principio (TIMSS, PISA, UNESCO).

En PISA 2022, España se encuentra con un índice de ansiedad matemática (0,37) significativamente por encima del Promedio OCDE (0,17) y el Total UE (0,17). La brecha de género en este índice también es notable en España (0,50), siendo mayor que en el Promedio OCDE (0,46) y el Total UE (0,49), con las chicas presentando mayor ansiedad.

La ansiedad matemática en datos, según PISA 2022.

La AM tiene una repercusión negativa en el rendimiento escolar, pues estos pensamientos ansiosos e irrelevantes interfieren negativamente con los recursos mentales necesarios para resolver problemas matemáticos (en su memoria de trabajo). Existe una asociación negativa constante y significativa entre la AM y el rendimiento matemático: a mayor ansiedad, peores resultados. En España, según PISA 2022, cada punto adicional en el índice de ansiedad matemática supone una pérdida de 20 puntos de rendimiento en matemáticas. Esta relación negativa se mantiene independientemente de otras características del alumnado.

Si bien la causalidad exacta entre bajo rendimiento y alta AM puede variar o formar un círculo vicioso, la creencia inicial de no ser capaz en matemáticas puede generar AM, llevar a evitar la materia o área y, consecuentemente, a un rendimiento más bajo. Incluso para el alumnado con alto rendimiento que experimenta alta AM (aproximadamente el 80% de los niños con AM alta tienen un rendimiento alto), esta ansiedad puede perjudicar sus decisiones educativas futuras y limitar la elección de carreras relacionadas con las matemáticas, a pesar de tener la capacidad para ello.

4.7.5. Estrategias para trabajar la equidad de género en el aula de matemáticas

El origen del trabajo de aula para el desarrollo de la competencia matemática emana desde la competencia específica y sus descriptores operativos, tal como observamos en apartados anteriores. Es por ello que los procesos socioafectivos que están descritos en estas competencias, sus criterios de evaluación y el bloque de saberes básicos correspondiente nos ponen en la pista para la metodología apropiada para trabajar estos procesos.

Vamos a extraer algunas pautas desde el currículo de Educación Primaria de la Comunidad Autónoma de Andalucía, que tiene definidas las competencias específicas socioafectivas 7 y 8. Sin embargo, también podríamos hacerlo, de forma paralela, en Educación Secundaria para sus competencias 9 y 10.

Estas dos competencias emanan de mezclar, de forma ordenada, los descriptores operativos de la competencia STEM y la competencia personal, social y de aprender a aprender, con el fin de abordar todos los aspectos socioafectivos y didácticos que se han expuesto en los puntos anteriores.

En primer lugar, la competencia número 7 se orienta al desarrollo de la autoconfianza y la gestión emocional frente a los desafíos matemáticos. Su finalidad primordial reside en fortalecer la autonomía del alumnado, promoviendo la perseverancia en la resolución de problemas y la regulación de las emociones asociadas al aprendizaje. El error se concibe como una oportunidad intrínseca para el análisis y la mejora, normalizándose como una etapa inherente al progreso individual.

Por otro lado, la competencia específica número 8 se centra en el fomento de las destrezas sociales a través de la interacción y la colaboración en el contexto matemático. Se enfatiza el diálogo como instrumento fundamental para el intercambio de ideas, la confrontación constructiva de diferentes enfoques y la edificación colectiva del conocimiento. Se promueve la participación en actividades de naturaleza no competitiva, donde la cooperación, el respeto y la valoración de las contribuciones individuales constituyen pilares esenciales para un ambiente de aprendizaje inclusivo y de apoyo mutuo. Adicionalmente, esta competencia busca otorgar visibilidad al relevante papel histórico y actual de las mujeres en el ámbito de las matemáticas, proporcionando modelos que fomenten la equidad de género y despierten vocaciones. En su conjunto, ambas competencias se erigen como elementos vertebradores de un aprendizaje matemático integral, que trasciende la mera adquisición de contenidos y procedimientos, incidiendo en el desarrollo personal y social del estudiante.

Para obtener pautas y estrategias de trabajo debemos analizar bien su estructura curricular, de lo que obtendremos importantes sugerencias sobre el trabajo competencial de la matemática. Vamos a analizar, a modo de ejemplo, con más detalle la competencia específica 7, para poder extraer pautas concretas de trabajo:

Esta competencia, siguiendo con el ejemplo, está vinculada con unos criterios de evaluación que son los referentes evaluativos, pero que también nos serán de especial utilidad a la hora de aportarnos el enfoque de trabajo en el aula. Veamos en los siguientes cuadros este análisis:

De esta forma, realizando este proceso con los criterios de evaluación de las dos competencias específicas y sus criterios, obtendremos la metodología de trabajo para el abordaje de la brecha de género, en particular, y de toda la competencia socioafectiva, en general.

Pero, ¿qué posibles pautas y consideraciones podemos extraer para el trabajo de esta competencia socioafectiva para la reducción de la brecha de género? Vamos a agruparlas para hacerlo más fácil de observar, aunque perdamos alguna información que, en otros niveles de aproximación más profundos, sea deseable tener en cuenta.

• Proporcionar herramientas para manejar las emociones de manera constructiva, especialmente la frustración y la ansiedad.

Una idea importante es crear espacios para que los estudiantes reflexionen sobre cómo se sienten antes, durante y después de resolver problemas matemáticos. Esto ayuda a concientizar sobre la relación entre pensamientos, emociones y comportamiento, lo cual puede ayudarles a eliminar pensamientos negativos. Al ser conscientes del impacto negativo de estos pensamientos, los estudiantes pueden comprender que la disminución de su rendimiento no se debe necesariamente a una falta de habilidad.

Para ello, el uso de un diario matemático puede ser un buen planteamiento, permitiendo reflexionar sobre sus dificultades, procesos y emociones. El profesorado debería proporcionar la oportunidad de hablar sobre sus emociones y los pensamientos asociados con situaciones de ansiedad. Este tiempo dedicado a la discusión está bien utilizado, traduciéndose en mejoras en el rendimiento debido a la optimización de la conciencia metacognitiva.

En niveles con alumnado menos autónomo o más joven (aunque se debe tener en cuenta que su capacidad metacognitiva no está totalmente desarrollada entre los 6 y 8 años), podemos hacer uso de algunas rutinas de pensamiento al final de las clases o al presentar un problema desafiante. Pedirles que con una palabra describan su estado emocional (curiosidad, ansiedad, entusiasmo...) y lo compartan entre iguales puede ser útil. Se pueden dar ejemplos de pensamientos más "útiles" y positivos relacionados con la situación, y pedir a los estudiantes que encuentren un "pensamiento útil" para cada "pensamiento malo".

Normalizar y hablar de las emociones que generan las matemáticas, especialmente entre iguales, es un camino para progresar en la reducción de la AM. Una discusión grupal y mixta de género sobre cómo hacer frente a la AM podría ser particularmente útil para las alumnas, quienes a menudo muestran niveles más altos de AM que ellos, incluso con el mismo rendimiento, y que pueden sentirse más cómodas admitiendo sus ansiedades. Durante estas discusiones, las chicas podrían reconocer las diferentes formas en que sus compañeros masculinos gestionan la AM, y el profesorado podría reforzar estrategias de afrontamiento efectivas sin hacer referencia explícita a las diferencias de género.

Ejemplo:

A continuación, se presenta un ejemplo de escala de ansiedad matemática para utilizar en clase.

ESCALA DE ANSIEDAD MATEMÁTICA

¿Estás de acuerdo?	Totalmente	Aceptable	Desacuerdo	Desacuerdo total
A menudo me preocupa tener dificultades en las clases de matemáticas.
Me estreso mucho cuando tengo que hacer deberes de matemáticas.
Me pongo muy nervioso cuando tengo problemas de matemáticas.
Me siento incapaz de resolver un problema de matemáticas.
Me preocupa sacar malas notas en matemáticas.
Me da miedo suspender matemáticas.

Cuestionario en contexto Informe PISA (2018) sobre ansiedad matemática.

Ejemplo: Ficha de recogida de datos emocionales basada en el mapa de humor de los problemas.

Un instrumento de recogida de información afectiva muy adecuado para el contexto de aula es el mapa de humor de los problemas (Gómez-Chacón, 2000). Se trata de una serie de 14 pictogramas o iconos que representan diversos estados emocionales tanto positivos como negativos. El alumnado, una vez familiarizados con la herramienta, señalan aquellos pictogramas que mejor describen su estado de ánimo mientras resuelven un problema o situación matemática. Idealmente, buscamos identificar las emociones justo después de haber leído el enunciado, durante el proceso de resolución y al final.

• Aportar buenos referentes femeninos en la matemática y erradicar estereotipos.

Los principales referentes para los estudiantes provienen de su entorno cercano, incluyendo la familia, los compañeros y compañeras y, muy especialmente, el profesorado. El profesorado y el entorno escolar son cruciales en la concepción de la AM. Las propias creencias del profesorado sobre las diferencias de habilidades matemáticas en función del género pueden reforzar involuntariamente ideas tradicionales, limitando el potencial de las niñas.

Es importante presentar las matemáticas como una construcción humana a la que han contribuido personas de diversas procedencias. Es conveniente dar a conocer la contribución de la mujer y diversas minorías, reconociendo las dificultades históricas a las que a menudo se enfrentaron.

Una forma de fomentar el sentido socioafectivo y erradicar las ideas preconcebidas relacionadas con el género es dar a conocer al alumnado el papel de las mujeres en las matemáticas a lo largo de la historia y en la actualidad. Se pueden abordar en clase las biografías de matemáticas de diferentes culturas y épocas, procurando que su campo de estudio o sus contribuciones resulten cercanos e interesantes para el alumnado. Utilice ejemplos reales de contra estereotipos, como "Mi hija está estudiando en la facultad de matemáticas" o "Su hermana tiene un título en ingeniería de software" (Szűcs y Mammarella, 2020).

Ejemplo:

Ejemplos de diferentes matemáticas que podemos traer a nuestras aulas con el objetivo de enseñar matemáticas y proporcionar referentes con sus aportaciones al mundo científico.

Referente	Aportación para el aula	Relación curricular
Téano	Número áureo Escuela pitagórica	Investigación, comprensión del mundo, sucesiones, proporción áurea...
Hipatia	Comentario Aritmética de Diofanto Secciones cónicas	Álgebra, aritmética, ecuaciones, geometría...
Gabrielle Émilie de Breteuil	Cálculo diferencial Traducción Principia de Newton	Tasa de variación, representación gráfica de funciones...
María Gaetana Agnesi	Curva de Agnesi Optimización	Representación gráfica de funciones, geometría analítica, desarrollo de modelos matemáticos...
Sophie Germain	Números primos de Germain	Teoría de números, lenguaje algebraico, razonamiento...
Ada Lovelace	Máquina analítica Desarrollo de algoritmos	Álgebra, desarrollo de modelos matemáticos, matemáticas y tecnología...
Florence Nightingale	Diagrama de la Rosa Bioestadística hospitalaria	Estadística, parámetros estadísticos, recogida e interpretación de datos...
Emma Castelnuovo	Geometría intuitiva	Geometría del plano y del espacio, traslaciones, giros y simetrías...

TFM: "Reducir la brecha de género en disciplinas STEM. Propuesta de actuación en Matemáticas". Barreal Rodríguez, Antonio A. (2021)

• Mejorar el autoconcepto y la autoeficacia.

Vamos a abordar dos ideas importantes para la mejora de la competencia matemática en lo que respecta a la brecha de género: la autoeficacia y el autoconcepto. La autoeficacia se refiere a un juicio personal sobre cómo se pueden afrontar situaciones futuras. Implica la creencia en la capacidad de uno mismo para lograr una meta. La autoconfianza y la autoeficacia bajas en matemáticas se asocian con una ansiedad hacia las matemáticas alta y con un rendimiento más bajo. Las investigaciones confirman que la percepción sobre la propia competencia matemática se encuentra entre las variables no cognitivas con mayor impacto sobre los resultados educativos. En el contexto español, el autoconcepto matemático del alumnado está por debajo de los promedios internacionales, lo que señala un área con margen de mejora en los centros educativos.

Para mejorar la autoeficacia y el autoconcepto, es crucial que los estudiantes, especialmente aquellos con dificultades, experimenten éxitos. Las tareas para estudiantes con dificultades en matemáticas deben incluir al menos algunas que puedan resolver correctamente. La autoeficacia y la autoconfianza pueden aumentar basándose en la percepción individual de poder hacer frente a tareas específicas. Los objetivos de rendimiento deben incrementarse de forma progresiva, lo que permitirá un aumento gradual de la autoconfianza y la autoeficacia.

Las personas con mentalidad de crecimiento (frente a la mentalidad fija), tienen más probabilidades de esforzarse para desarrollar sus habilidades y se motivan ante los contratiempos. Una característica de estos estudiantes es la reducción de la ansiedad por el aprendizaje, vinculada a su visión positiva del fracaso y los obstáculos. Es importante valorar el trabajo, no solo la capacidad. El profesorado debería elogiar siempre el esfuerzo y la dedicación, especialmente con el alumnado de mentalidad fija, incluso cuando las soluciones fallan o no son del todo perfectas. Es fundamental centrar el análisis en los procesos y razonamientos seguidos, y no solo en los resultados obtenidos. Cometer errores, como veremos un poco más adelante, durante el aprendizaje y la experimentación matemática es completamente natural, y los errores pueden incluso ayudar a la comprensión futura.

En esta línea de mejora de la autoeficacia, las tareas que se diseñen deberían ser "abiertas", permitiendo múltiples representaciones, métodos y vías de resolución. Esto se relaciona con la idea de "suelo bajo techo alto", donde la tarea es accesible para todos (suelo bajo) pero permite una exploración profunda y compleja para los estudiantes más avanzados (techo alto). Proporcionar a todos los alumnos éxitos que eviten su desaliento es un objetivo clave para que mejore el autoconcepto matemático y la autoeficacia ante las tareas de las situaciones de aprendizaje propuestas en clase.

Crucialmente, se debe evitar la presión del tiempo (tareas "a contra-reloj") tanto como sea posible, especialmente para alumnado con dificultades de aprendizaje en matemáticas y alta AM. Evitar la presión del tiempo disminuirá los niveles de AM, liberando recursos mentales para enfocarse en la tarea.

Finalmente, se recomienda explícitamente que las actividades en el aula de matemáticas sean no competitivas. El diálogo equitativo y las actividades no competitivas en el aula son estrategias que pueden disminuir actitudes negativas hacia las matemáticas. Esta idea la resume perfectamente Pablo Beltrán Pellicer diciendo "Si creas un ambiente competitivo en el que todo se basa en a ver quién tiene menos errores se fomenta una cultura en la que a los chicos les va mejor. Pero si creas un ambiente que no penalice el error, abordas los contenidos de manera más profunda, ahí la cosa cambia".

Ejemplo para la mejora del autoconcepto.

A continuación, se presenta un ejemplo de actividad para mejorar el autoconcepto matemático.

BUZÓN DE SENTIMIENTOS

Objetivos: Aprender a respetar y ser respetado por los demás.

Duración recomendada: 6 semanas

Materiales:

• Sobres
• Papel continúo para crear los buzones.
• Folios.
• Bolígrafos, pinturas y rotuladores.
• Chinchetas.

Desarrollo:

Crearemos un espacio donde cada alumno tendrá su sobre. Semanalmente deberán introducir a sus compañeros un mínimo de 5 mensajes positivos. Estos mensajes se abrirán al final de la semana y podrán ser introducidos en cualquier momento siempre y cuando no interrumpa el funcionamiento normal de las sesiones.

¿Qué se pretende?

Esta actividad, va a estar un poco condicionada ya que, semanalmente, cada niño o niña tendrá asignado un compañero al azar, al que deberá introducir los mensajes, es decir, no podrá elegir libremente a quien entregárselos. Los motivos son que ningún alumno/a quedará excluido de la actividad, y para que los niños aprendieran a valorar y respetar a todos sus compañeros por igual, independientemente del tipo de relación que tuviera con ellos.

Es una actividad que ayuda a ser responsable, y que anima a ser más participativo en clase y a no desanimarse con los estudios. Es una manera de no perder la motivación en el aula ya que se sentían apoyados por el resto de sus compañeros/as.

TFM: "Autoestima y autoconcepto en el aula de Matemáticas: una propuesta de intervención para la mejora del dominio afectivo". Brea Garrido, Lucía ( 2020)

Ejemplo para la mejora de la autoeficacia matemática.

A continuación, se presenta un ejemplo de actividad para mejorar la autoeficacia matemática.

AUTOEFICACIA EN MATEMÁTICAS

¿Estás seguro?	Muy seguro	Seguro	Inseguro	Muy inseguro
Extraer información matemática a partir de diagramas, gráficos o simulaciones
Interpretar soluciones matemáticas en problemas de la vida real.
Utilizar el concepto de variación estadística para tomar una decisión.
Identificar los aspectos matemáticos de un problema real.
Identificar las limitaciones y los supuestos en los que se basan los modelos matemáticos.
Representar una situación matemáticamente usando variables, símbolos o diagramas.
Evaluar la importancia de los patrones observados en los datos.
Codificar o programar ordenadores.
Trabajar con sistemas informáticos matemáticos (p. ej., hojas de cálculo, software de programación, calculadoras gráficas).

Cuestionario en contexto Informe PISA (2022) sobre autoeficacia.

Ejemplo. Actividad sobre mentalidad de crecimiento.

A continuación se presenta un ejemplo de actividad sobre mentalidad de crecimiento.

MENTALIDAD DE CRECIMIENTO

¿Estás de acuerdo?	Totalmente	Aceptable	Desacuerdo	Desacuerdo total
Con esfuerzo, todo el mundo puede aumentar su inteligencia.
La inteligencia es algo que no se puede cambiar mucho.
Con esfuerzo todo el mundo puede tener buenos resultados en matemáticas.
A algunas personas no se les dan bien las matemáticas independientemente de cuánto estudien.

Cuestionario en contexto informe PISA (2022) sobre mentalidad de crecimiento

Cuidar la asignación de grupos en clase.

Partimos de la idea central de cuidar la asignación de grupos y la estructura del trabajo colaborativo en el aula para favorecer el desarrollo socioafectivo y mejorar la autoeficacia y el autoconcepto en matemáticas. La asignación de alumnado a los grupos de estudio debe hacerse con cuidado. Es aconsejable crear pequeños grupos de trabajo de estudiantes con habilidades mixtas, alternando la formación aleatoria con la planificada. La intención es motivar a los estudiantes de bajo rendimiento a mejorar, tal como se ha visto en apartados anteriores.

Trabajar en grupo es una idea importante para desarrollar el sentido socioafectivo en matemáticas, potenciando las destrezas sociales como el respeto a las emociones de los demás, el valor de la diversidad, la participación activa, la identidad positiva y la confianza, el bienestar personal y las relaciones saludables. El trabajo cooperativo permite que todos participen, facilita el diálogo y la discusión, y potencia el aprendizaje social (co-construcción). En grupos de habilidades mixtas, los estudiantes con habilidades bajas pueden beneficiarse de trabajar con compañeros con mejores resultados, ya que estos les pueden explicar sus estrategias. A su vez, los estudiantes de alto rendimiento pueden beneficiarse al trabajar con los de menor rendimiento, mejorando sus actitudes prosociales y su habilidad metacognitiva al explicar conceptos.

Para fortalecer la equidad y contribuir a superar la brecha de género, es útil incorporar de manera explícita la dinámica de grupos aleatorios descrita en el punto 4.3.1.3.3 sobre Thinking Classroom. Al inicio de cada sesión, el profesorado puede repartir cartas, palillos o cualquier señalizador para formar grupos de tamaño variable (a veces de 4, otras de 3 e incluso de 2 integrantes), garantizando así la renovación constante de contextos y parejas de trabajo. Esta aleatoriedad rompe con las expectativas previas ("ella no es de ciencias" o "él siempre lidera") y redistribuye roles de forma imparcial, de modo que tanto alumnas como alumnos se enfrentan a nuevos retos colaborativos sin etiquetas de género ni nivel de competencia. Además, al alternar estructuras de grupos pequeños, se refuerza la visibilidad y la voz de todas las voces, fomentando la autoconfianza y el sentido de pertenencia de quienes habitualmente están infrarrepresentados en matemáticas. De este modo, el enfoque de Liljedahl no solo promueve el pensamiento auténtico y el diálogo socioafectivo, sino que actúa como palanca para la inclusión y la reducción de la brecha de género en el aula.

El tratamiento de los errores en matemáticas.

Lejos de ser un simple fallo a corregir, el error debe enfocarse como una oportunidad para la mejora y un paso natural dentro del proceso de resolución de problemas y experimentación matemática. Existe un potente cuerpo de investigación que apunta hacia la idea de que cometer errores es completamente natural y puede incluso ayudar a la comprensión futura. La gestión adecuada del error es lo que permite y abre nuevas oportunidades de aprendizaje, mejorando los razonamientos, técnicas y estrategias.

Para lograr esto, es crucial normalizar el error como parte del día a día en el aula de matemáticas, trabajando con él con naturalidad y sin prejuicios. Esto implica promover la visibilización de los errores de forma constructiva, lo que a su vez requiere generar una cultura de confianza (Morales y Fernández, 2022), en clase. En un entorno donde el alumnado se siente seguro, no temerán cometer errores ante los demás, lo cual es especialmente importante dado que la ansiedad puede aumentar al tener que resolver tareas rápidamente o frente al resto. Es fundamental asegurarse de que el alumnado no intimide a sus compañeros cuando cometen errores. Un clima escolar positivo, basado en relaciones sanas, respetuosas y cooperativas, fomenta el aprendizaje y el bienestar.

Además de normalizar el error, es crucial que el profesorado modele activamente una actitud positiva y curiosa frente a sus propias equivocaciones o ante los errores inesperados que surjan en clase. Cuando un docente admite abiertamente un error, lo analiza con naturalidad e incluso muestra entusiasmo por la oportunidad de corregir y aprender, envía un mensaje poderoso al alumnado. Esta modelización contribuye a desmitificar la figura del experto infalible y humaniza el proceso de aprendizaje de las matemáticas, haciéndolo más accesible y menos intimidante. Ver al profesorado enfrentarse a sus propios errores con una mentalidad de crecimiento puede inspirar a los estudiantes a adoptar una postura similar frente a sus propias dificultades.

El análisis detallado de los errores también ofrece una ventana privilegiada a las concepciones alternativas o incompletas que pueda tener el alumnado. En lugar de simplemente señalar la incorrección, el docente puede utilizar el error como punto de partida para una discusión más amplia sobre un concepto matemático. Por ejemplo, un error común en operaciones con fracciones puede revelar una incomprensión fundamental del significado de la fracción o de la operación en sí. Abordar estas ideas subyacentes, en lugar de limitarse a corregir el resultado, promueve una comprensión más robusta y duradera, previniendo la repetición del mismo tipo de error en el futuro.

En este proceso de transformar el error en una palanca para el aprendizaje, el feedback juega un papel absolutamente determinante. Como bien señala Neus Sanmartí, una retroalimentación eficaz no se limita a señalar el error, sino que debe ayudar al estudiante a comprender por qué se equivocó y, fundamentalmente, qué puede hacer para mejorar. Un feedback centrado únicamente en la calificación o en la corrección superficial no promueve la autorregulación del aprendizaje. Por el contrario, aquel que ofrece pistas, que plantea preguntas reflexivas y que orienta al alumnado hacia los indicadores de logro o éxito, se convierte en una herramienta poderosa para que los estudiantes asuman un rol activo en su propio proceso de aprendizaje, construyendo significado a partir de sus errores y avanzando en su comprensión matemática.

La investigación de Hattie (2020), subraya de manera contundente el impacto significativo del feedback en el rendimiento del alumnado, situándolo entre las influencias más poderosas en el aprendizaje. No obstante, Hattie también matiza que no todo feedback es igualmente efectivo. El feedback más potente es aquel que se dirige no solo a la tarea (corregir el resultado), sino también al proceso (cómo el estudiante abordó el problema y las estrategias utilizadas).

Conclusión: Hacia un futuro equitativo

Este apartado de la guía es valioso porque sitúa la reducción de la brecha de género como un concepto central en la competencia matemática, reconociendo que estas diferencias se deben a factores contextuales y socioemocionales modificables.

Al enfocarse en los procesos socioafectivos, proporciona pautas concretas para trabajar la equidad desde la práctica de aula. Esto incluye estrategias como la normalización del error como oportunidad de análisis y mejora; Pablo Beltrán Pellicer resume esta idea diciendo que "Como profesor lo que tienes que evaluar son los procesos, no los resultados de una hoja de fracciones. Eso lo tendría que echar para atrás un inspector. Si quiero evaluar hacer operaciones con fracciones, ordénalas de menor a mayor dificultad y argumenta por qué, sin hacerlas".

Cobra relevancia el fomento de destrezas sociales mediante la colaboración en actividades no competitivas, y herramientas para gestionar emociones como la ansiedad. Igualmente, al abordar la mejora del autoconcepto y la autoeficacia, cruciales para superar bloqueos y mejorar el rendimiento, se promueve el desarrollo integral del alumnado.

En definitiva, el profesorado debe tener recursos para ofrecer estrategias pedagógicas que construyan un clima de aula de confianza y respeto, permitiendo que cada estudiante desarrolle plenamente su potencial matemático y contribuyendo a hacer de la equidad una realidad cotidiana.

4.8. ATENCIÓN PERSONALIZADA DEL ALUMNADO.

4.8.1. Marco legislativo.

Nuestro actual marco normativo contempla la atención a la diversidad y a las diferencias individuales para todas las etapas educativas, más concretamente el Decreto 100/2023 para Educación Infantil, el Decreto 101/2023 para Educación Primaria y el Decreto 102/2023 para Educación Secundaria. En ellos se recoge lo siguiente:

"Se entiende por atención a la diversidad y a las diferencias individuales el conjunto de actuaciones y medidas educativas que garantizan la mejor respuesta a las necesidades y diferencias de todo el alumnado en un entorno inclusivo, ofreciendo oportunidades reales de aprendizaje en contextos educativos ordinarios. Las medidas de atención a la diversidad y a las diferencias individuales podrán aplicarse a cualquier alumno o alumna que lo necesite, en cualquier momento de su escolaridad".

A partir de lo contemplado en los diferentes Decretos, las distintas Órdenes de 30 de mayo de 2023 desarrollan las medidas generales y específicas de atención a la diversidad y a las diferencias individuales. En ellas se define como medidas de atención a la diversidad y diferencias individuales diferenciando entre:

Medidas generales: las diferentes actuaciones de carácter ordinario que, definidas por el centro en su Proyecto Educativo, se orientan a lograr el desarrollo integral, a la promoción del aprendizaje y del éxito escolar de todo el alumnado a través de la utilización de recursos tanto personales como materiales con un enfoque global e inclusivo.

Las medidas generales que se establecen para la etapa de Educación Infantil son:

• Apoyo en grupos ordinarios mediante un segundo profesor o profesora.
• Acción tutorial como estrategia de seguimiento individualizado.
• Metodologías didácticas basadas en el trabajo colaborativo en grupos heterogéneos.
• Actuaciones de coordinación en el proceso de tránsito.
• Actuaciones de prevención y control del absentismo.

En este sentido, para las etapas de Educación Primaria y Educación Secundaria se añaden las siguientes medidas generales:

• Agrupación de áreas en ámbitos.
• Desdoblamientos de grupos.
• Agrupamientos flexibles.

Medidas específicas: todas aquellas propuestas y modificaciones en los elementos organizativos, curriculares y metodológicos, así como aquellas actuaciones dirigidas a dar respuesta a las necesidades educativas del alumnado con necesidades específicas de apoyo educativo que no hayan obtenido una respuesta eficaz a través de las medidas generales de carácter ordinario.

Las medidas específicas que se contemplan tanto para Educación Infantil como para Educación Primaria y Educación Secundaria son:

• El apoyo dentro del aula por profesorado especialista de Pedagogía Terapéutica o Audición y Lenguaje, personal complementario u otro personal. Excepcionalmente, se podrá realizar el apoyo fuera del aula en sesiones de intervención especializada, siempre que dicha intervención no pueda realizarse en ella y esté convenientemente justificada.
• Las adaptaciones de acceso al currículo para el alumnado con necesidades específicas de apoyo educativo.
• Las adaptaciones curriculares significativas de los elementos del currículo dirigidas al alumnado con necesidades educativas especiales. La evaluación tomará como referencia los elementos fijados en ellas.
• Programas específicos para el tratamiento personalizado del alumnado con necesidades específicas de apoyo educativo.
• Las adaptaciones curriculares dirigidas al alumnado con altas capacidades intelectuales.
• La atención educativa al alumnado por situaciones personales de hospitalización o de convalecencia domiciliaria. Para Educación Secundaria, en este apartado, se añade situaciones personales objeto de medidas judiciales.

Por último, y para las tres etapas, no podemos olvidar los programas de atención a la diversidad y a las diferencias individuales, diferenciando entre:

• Programas de refuerzo, que tendrán como objetivo asegurar los aprendizajes y desarrollo de las competencias específicas de las materias.
• Programas de profundización, que tendrán como objetivo ofrecer experiencias de aprendizaje que permitan dar respuesta a las necesidades que presenta el alumnado altamente motivado para el aprendizaje, así como para el que presenta altas capacidades intelectuales.

Esta estructura normativa es consecuente con las Instrucciones de 18 de junio de 2024 de la Viceconsejería de Desarrollo Educativo y Formación Profesional, sobre las medidas para el fomento del razonamiento matemático a través del planteamiento y la resolución de retos y problemas en Educación Infantil, Educación Primaria y Educación Secundaria Obligatoria, recogiendo en su introducción lo siguiente:

"Asimismo, en las Órdenes de 30 de mayo de 2023, por las que se desarrolla el currículo correspondiente a las etapas de Educación Infantil, Educación Primaria y Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía, se regulan determinados aspectos de la atención a la diversidad y a las diferencias individuales, se establece la ordenación de la evaluación del proceso de aprendizaje del alumnado y se determina el proceso de tránsito entre las diferentes etapas educativas, se contemplan medidas de atención a la diversidad encaminadas a la detección y potenciación de capacidades en diferentes áreas de conocimiento del alumnado: creativa, lógica, matemática o espacial, contribuyendo no solo al éxito en su ámbito académico, sino también a una orientación personalizada que se ajuste a las capacidades y destrezas de cada uno de ellos."

4.8.2. Concepto de inclusión

De acuerdo con lo expuesto por la UNESCO (2009):

"La educación inclusiva se entiende como un proceso que permite identificar y dar respuesta a la diversidad de necesidades del alumnado a través de una mayor participación en el aprendizaje, en actividades culturales y comunitarias, y reduciendo la exclusión educativa. Implica cambios y modificaciones tanto de contenidos, enfoques, estructuras y estrategias, con el objetivo de dar respuesta a las necesidades de aprendizaje de todo el alumnado. Además, persigue el propósito de que maestros y estudiantes perciban la diversidad como una oportunidad de enseñar y aprender" (UNESCO, 2009).

Encontramos a autores como Parra Dussan, Carlos (2010), quien define en primer lugar el concepto de educación como "la construcción del conocimiento individual a partir de la incorporación de pautas culturales, que incluye compartir conocimientos y se constituye en la base para el aprendizaje", y por otro lado define la inclusión desde una perspectiva educativa como "hacer efectivo para todos y todas el derecho a la educación, contemplando la igualdad de oportunidades, la eliminación de barreras para el aprendizaje y la participación en el contexto físico y social".

Cabe destacar que la educación inclusiva se caracteriza por apoyar el derecho a la educación de todo el alumnado, así como, su participación, destacando la igualdad entre todos y todas, y dotando de gran importancia la educación en la diversidad, al mismo tiempo que suprime barreras y rechaza la exclusión. La educación inclusiva se basa en la solidaridad y justicia social; en el derecho que todo ser humano tiene a una educación que le permita preservar su dignidad, en contextos sociales de referencia, sin exclusiones, ni discriminaciones.

4.8.3. Diseño Universal para el Aprendizaje

En el actual sistema educativo, el profesorado debe entender que la variabilidad del alumnado es la regla y no la excepción. Es por ello que, tenemos que diseñar contextos flexibles y disponibles para todo el alumnado, para no perder al alumnado que se encuentra en los márgenes, que presentan dificultades de aprendizaje.

"El Diseño Universal para el Aprendizaje es un modelo que parte de la diversidad desde el comienzo de la planificación didáctica y trata de lograr que todo el alumnado tenga oportunidades para aprender" (Alba, 2012).

En este sentido, en 1984 se crea el Centro de Tecnología Especial Aplicada (CAST) que plantea el Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA), que es una nueva forma de pensar sobre la educación, que tiene el potencial para reformar el currículo y hacer que las experiencias de aprendizaje sean más accesibles y significativas para todos los estudiantes (Hartmann, 2011), y lo define como:

"El Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA) es un conjunto de principios para desarrollar el currículum que proporciona a todos los estudiantes igualdad de oportunidades para aprender" (CAST, 2011).

Dicho de otra manera, el Diseño Universal para el Aprendizaje es un enfoque que aborda una de las principales características y, a la vez, obstáculo de los currículos, y que es su diseño como una "talla única para todos". Estos currículos inflexibles son los que generan barreras no intencionadas para acceder al aprendizaje. Se busca eliminar las barreras para el aprendizaje, pero no el reto que este supone. Es decir, el aprendizaje supone un desafío específico en el área concreta en el que va a producir y para esto debemos eliminar barreras innecesarias sin eliminar estos desafíos. El currículum que se crea siguiendo el enfoque DUA es diseñado desde el principio para atender a todo el alumnado sin discriminación alguna.

A modo de ejemplo, imaginemos que vamos a diseñar un edificio, debemos pensar en todas las formas posibles que los usuarios de ese edificio necesitarán para acceder al mismo, rampas, ascensores, mobiliario adaptado... Esto se debe contemplar desde el diseño, y no una vez construido. El Diseño Universal para el Aprendizaje es un acercamiento didáctico a este planteamiento arquitectónico de eliminación de barreras de acceso. A medida que vamos conociendo este diseño, y una vez que lo ponemos en práctica, podemos observar la importancia que existe a la hora de diseñar el currículo en función de las necesidades de todo el alumnado.

El DUA se enfrenta a las barreras de la inflexibilidad del currículo tradicional al cual el alumnado debe adaptarse y propone un currículo diseñado previamente que tenga en cuenta las diferentes características del alumnado, ofreciendo diferentes posibilidades de aprendizaje en función de las necesidades y/o intereses, respetando así, la diversidad del aula y optando por una educación inclusiva. La diversidad de sujetos dentro del aula además de ser algo común, es beneficioso, ya que se puede aprovechar la riqueza que aporta el conjunto de estudiantes.

Por tanto, cuando estamos hablando de DUA nos estamos refiriendo a un marco teórico/práctico con fundamentación científica, como es, por ejemplo, la neurociencia, la psicología cognitiva de Vigostky, psicología de Brunner y/o la pedagogía, que nos sirve para guiar la práctica educativa y que se basa en tres principios que nos proporcionan flexibilidad en las formas en que la información es presentada, en los modos en los que los estudiantes responden o demuestran sus conocimientos y las habilidades y maneras en que los estudiantes son motivados y se comprometen con su propio aprendizaje. Esto es posible al reducir las barreras en la enseñanza, al proporcionar adaptaciones, apoyos y desafíos apropiados, y manteniendo altas expectativas de logro para todo el alumnado, incluyendo aquellos con discapacidades y a los que se encuentran limitados por su competencia lingüística en el idioma de enseñanza.

4.8.4. Principios y pautas DUA.

Las últimas investigaciones en neurociencia han proporcionado diferente información acerca de cómo se comporta el cerebro humano durante el proceso de aprendizaje, lo que ha llevado a concluir que existe tanta diversidad cerebral como diversidad en el aprendizaje, por tanto, la enseñanza debe adaptarse a estas necesidades.

La diversidad de sujetos en el aprendizaje está derivada en función de las diferencias en el cerebro humano, pues nadie tiene un cerebro igual a otro. En nuestro cerebro intervienen tres redes cerebrales dentro del proceso de aprendizaje las cuales están especializadas en tareas específicas del procesamiento y ejecución de la información. El funcionamiento de cada una de estas redes es distinto en el alumnado y determina claramente el aprendizaje.

La identificación de estas tres redes cerebrales, a saber, redes afectivas, redes de reconocimiento y redes estratégicas, sirvió de base para la construcción del marco del DUA. Teniendo en cuenta estas redes, se definió un principio para cada una de ellas. Estos tres principios, principio de compromiso, principio de representación y principio de acción y expresión, tienen el objetivo de que el currículo sea accesible para todo el alumnado y puedan conseguir las competencias establecidas a través del aprendizaje.

Los principios DUA responden básicamente a tres preguntas, ¿por qué?, ¿qué? y ¿cómo? se aprende. Analizando brevemente estos principios nos encontramos:

A) Principio I: Proporcionar múltiples formas de compromiso. Este principio se relaciona con las redes afectivas del aprendizaje, están especializadas en asignar significados emocionales a las tareas, se sitúan en el sistema límbico, en donde se encuentran localizadas las emociones. Sería el porqué de la enseñanza.

El afecto representa un elemento crucial para el aprendizaje y el alumnado difiere notablemente en los modos en que ellos pueden estar comprometidos o motivados para aprender. Hay una variedad de fuentes que pueden influir en la variación individual en el afecto, incluyendo la neurología, la cultural, la relevancia personal, la subjetividad y el conocimiento previo, junto con otra variedad de factores.

Algunos alumnos/as se interesan mucho con la espontaneidad y la novedad, mientras que a otros les desinteresan e incluso les asustan estos factores, prefiriendo la estricta rutina. Algunos prefieren trabajar solos, mientras que otros prefieren trabajar con los compañeros. En realidad, no hay un tipo de compromiso óptimo para todo el alumnado en todos los contextos; por lo que proveer múltiples opciones para comprometerse es esencial.

B) Principio II: Proporcionar múltiples formas de representación. Este principio se relaciona con la red de reconocimiento, especializadas en percibir la información y asignar significados, ¿qué se aprende? En este principio también encontramos tres pautas:

Algunos estudiantes difieren en la forma en que perciben y comprenden la información que se les presenta. Otros, simplemente, pueden captar la información más rápido o de forma más eficiente a través de medios visuales o auditivos que con el texto impreso. Además, el aprendizaje y la transferencia del aprendizaje ocurre cuando múltiples representaciones son usadas, ya que eso permite a los estudiantes hacer conexiones interiores, así como entre conceptos.

En resumen, no hay un medio de representación óptimo para todos los aprendices; por lo que proveer opciones de representación es esencial.

C) Principio III: Proporcionar múltiples formas de acción y expresión. Este principio se relaciona con las redes estratégicas, especializadas en planificar, ejecutar y monitorizar las tareas motrices y mentales, ¿cómo de la enseñanza?

El alumnado difiere en la forma en la que pueden navegar por un entorno de aprendizaje y expresar lo que saben. Algunos pueden ser capaces de expresarse bien con el texto escrito, pero no con el habla y viceversa. También hay que reconocer que la acción y la expresión requieren de una gran cantidad de estrategia, práctica y organización y este es otro aspecto, en el que los aprendices pueden diferenciarse.

En realidad, no hay un medio de acción y expresión óptimo para todos los estudiantes; por lo que proveer opciones para la acción y la expresión es esencial.

A su vez, para llevar a cabo cada uno de los principios se establecen tres pautas y dentro de cada una de ellas unas consideraciones. Pero, ¿qué es una pauta? Las pautas son un conjunto de estrategias que se pueden utilizar en la práctica docente para lograr que los currículums sean accesibles a todos los estudiantes y para eliminar las barreras que generan la mayoría de ellos. Las pautas DUA deben ser cuidadosamente seleccionadas y aplicadas al currículum según corresponda.

4.8.5. Respuesta educativa

Como ha quedado demostrado, el Diseño Universal para el Aprendizaje (DUA) favorece la personalización de la enseñanza al ofrecer un marco flexible que permite adaptar el proceso educativo a las características, intereses y necesidades individuales del alumnado, sin perder de vista los objetivos comunes. De esta forma el aprendizaje se enfoca desde una perspectiva inclusiva y equitativa ya que se diseñan experiencias de aprendizaje que atienden a la diversidad de estilos cognitivos, niveles de competencia y contextos personales del alumnado.

El DUA promueve un enfoque en el que todo el alumnado puede acceder a los conceptos, comprender las relaciones matemáticas y expresar sus ideas de forma significativa, eliminando barreras que históricamente han limitado la participación de estudiantes con dificultades de aprendizaje, altas capacidades, o estilos de pensamiento no tradicionales. Esta mirada no solo mejora la comprensión profunda, sino que también potencia el desarrollo de habilidades metacognitivas y de pensamiento crítico, fundamentales para una matemática al servicio de la vida real y del aprendizaje competencial (Navarro-Mateu, D., García-Sánchez, J. N., & González-Gil, F., 2021).

A. El razonamiento matemático en el principio de compromiso: motivación y perseverancia en la tarea.

El principio de compromiso del DUA se centra en despertar y mantener el interés, la motivación y la persistencia del alumnado en el proceso de aprendizaje.

En el ámbito del razonamiento matemático, este principio permite generar experiencias que conecten con la realidad, intereses y ritmos de cada estudiante, favoreciendo una implicación auténtica en la resolución de problemas. Al ofrecer opciones y fomentar la autorregulación, se eliminan barreras emocionales y motivacionales que afectan especialmente al alumnado con baja autoestima matemática o dificultades de acceso al pensamiento lógico-formal, contribuyendo así a una participación activa y equitativa.

Algunas estrategias que nos pueden ayudar a generar el interés, la motivación y el compromiso son:

• Contextualización significativa: Proponer situaciones problematizadas reales y realistas, cercanas y abiertas que despierten el interés y la motivación del alumnado.
• Varias opciones de elección: Permitir que el alumnado seleccione entre varios y/o diferentes experiencias de aprendizaje o formas de abordarlas para favorecer la autonomía.
• Visualizar metas visibles y autorregulación: A partir del uso de instrumentos de evaluación como rúbricas, listas de cotejo, escalas de valoración o/y registros anecdóticos el alumnado puede conocer desde el principio hasta el final de la experiencia de aprendizaje qué se espera de él y su aprendizaje.
• Gamificación y retos cooperativos: Introducir desafíos, juegos o retos por equipos para aumentar la motivación intrínseca.
• Uso de roles colaborativos: El alumnado asume una responsabilidad durante el desarrollo de tareas y actividades con funciones como, por ejemplo, coordinador, razonador, comprobador y comunicador.

B. El razonamiento matemático en el principio de representación: diversificación de los canales de representación de la información.

El principio de representación se basa en proporcionar múltiples formas de presentar la información y los contenidos matemáticos.

En el contexto del razonamiento, esto implica diversificar los recursos y medios a través de los cuales se exploran conceptos, estructuras y problemas, facilitando su comprensión por parte de todo el alumnado. Atendiendo a la diversidad de estilos cognitivos, experiencias previas y necesidades específicas, este principio permite que cada estudiante acceda al pensamiento matemático mediante apoyos visuales, manipulativos, simbólicos o digitales, derribando barreras cognitivas y de lenguaje.

Para desarrollar este principio en el desarrollo del razonamiento matemático podemos poner en marcha diferentes estrategias de accesibilidad, como las que se presentan a continuación:

Uso de representaciones múltiples: Números, dibujos, esquemas, gráficos, materiales manipulativos, tablas, diagramas o modelos físicos son algunas de las formas a partir de las cuales podemos desarrollar distintas tareas y actividades.

• Lenguaje accesible y adaptado: Glosarios visuales con pictogramas o ejemplos visuales contextualizados para términos como "proporción", "razonamiento inductivo", "estimación", etc.
• Apoyos visuales y simbólicos: Líneas numéricas, bloques base 10, regletas Cuisenaire, ejes cartesianos interactivos.
• Planificación de la resolución: Uso de rutinas visuales como, por ejemplo, esquemas o mapas conceptuales para entender el enunciado, plantear hipótesis y planificar la solución.

C. El razonamiento matemático en el principio de acción y expresión: diversificación de los canales de expresión.

El principio de acción y expresión promueve que el alumnado pueda demostrar lo que sabe y cómo razona a través de múltiples formas de expresión, más allá de los formatos tradicionales.

Aplicado al razonamiento matemático, favorece la inclusión al permitir que cada estudiante comunique su pensamiento de forma oral, escrita, visual, manipulativa o digital, según sus fortalezas y preferencias. Esta flexibilidad amplía las oportunidades de éxito, reduce el impacto de dificultades expresivas o comunicativas y visibiliza diversas formas válidas de pensar y resolver problemas, fortaleciendo una matemática más democrática y accesible.

Distintas estrategias que podemos implementar en el aula con nuestro alumnado para garantizar el principio de acción y expresión pueden ser:

• Formatos de respuesta alternativos: Grabaciones en vídeo explicando el razonamiento, esquemas o dibujos, presentaciones, dramatizaciones, apps digitales tipo GeoGebra.
• Resolución colaborativa de problemas abiertos: Debates sobre distintas estrategias y validación de soluciones posibles, visibilizando la diversidad de caminos y potenciando la construcción de conocimiento a partir de la resolución de problemas.
• Proyectos de investigación matemática: Por ejemplo, indagar sobre estimaciones tipo Fermi o modelizar problemas reales.
• Portafolios o diarios matemáticos: Donde recojan sus avances, estrategias empleadas, errores cometidos y aprendizajes adquiridos.
• Autoevaluación y coevaluación: como medio de conocer qué he aprendido y qué me falta por aprender en relación directa con lo socioafectivo.

4.9. EL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO EN ÁREAS NO CIENTÍFICAS.

La actual normativa educativa, concretamente la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación, establece que el sistema educativo debe responder a la realidad social actual mediante un enfoque competencial. En este contexto, la formación integral del alumnado se convierte en un objetivo prioritario, garantizando el desarrollo de competencias esenciales para el aprendizaje a lo largo de la vida. El aprendizaje debe ser competencial, autónomo, significativo y reflexivo en todas las áreas o materias del currículo.

Según los Reales Decretos 95/2022 para Educación Infantil, 157/2022 para Educación Primaria y 217/2022 para Educación Secundaria, las competencias clave se definen como los desempeños que se consideran imprescindibles para que el alumnado pueda progresar con garantías de éxito en su itinerario formativo y afrontar los principales retos y desafíos globales y locales.

Asimismo, la Ley 17/2007, de 10 de diciembre, de Educación en Andalucía, concede una especial relevancia al razonamiento matemático como habilidad esencial para utilizar números, operaciones básicas y símbolos con el fin de resolver problemas de la vida cotidiana. De igual forma, los Decretos 100/2023, 101/2023 y 102/2023 otorgan un énfasis particular al desarrollo del razonamiento matemático en las distintas etapas educativas, promoviendo su aplicación en contextos diversos y transversales.

En este marco, el desarrollo del razonamiento matemático es una de las habilidades más importantes que el alumnado debe adquirir a lo largo de su formación. Este tipo de razonamiento no solo implica el dominio de procedimientos o algoritmos, sino que fomenta una forma de pensamiento estructurada y crítica que permite resolver problemas, tomar decisiones fundamentadas y aplicar el conocimiento matemático a situaciones cotidianas y académicas.

El enfoque integrador propuesto considera el desarrollo natural del pensamiento matemático del alumnado, respetando sus etapas cognitivas y proporcionando herramientas adecuadas a cada nivel. De esta manera, se busca no solo mejorar el rendimiento académico, sino también dotar a los estudiantes de habilidades de pensamiento crítico, creatividad y capacidad para abordar problemas en distintos ámbitos.

Para ello, se plantea un enfoque progresivo para fomentar el razonamiento matemático desde la etapa infantil hasta el final de la educación secundaria obligatoria (ESO). En Educación Infantil, el alumnado debe iniciarse en las habilidades lógico-matemáticas. Durante la Educación Primaria, se desarrolla el dominio de competencias matemáticas básicas y se inicia en la resolución de problemas que requieren operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones aplicadas a la vida cotidiana. En Secundaria, se presta especial atención al uso de las matemáticas como herramienta fundamental para el análisis, la modelización y la resolución de problemas complejos.

Las competencias clave establecidas en el currículo reflejan la importancia del razonamiento matemático en diversos contextos. Por ejemplo, en la educación artística, las proporciones y la simetría son conceptos matemáticos aplicados al diseño y la composición visual. En el ámbito de la lengua y la literatura, el análisis estructural de textos puede beneficiarse del pensamiento lógico y de la identificación de patrones lingüísticos. En las ciencias sociales, el uso de estadísticas y gráficos es esencial para la interpretación de fenómenos económicos y demográficos. Asimismo, el desarrollo de habilidades matemáticas fortalece la capacidad de argumentación y justificación en debates, lo que resulta crucial en materias como la filosofía. La planificación y gestión de recursos requiere una comprensión matemática aplicada a la optimización de procesos y a la toma de decisiones estratégicas.

Por lo tanto, el razonamiento matemático no debe considerarse exclusivo de las áreas y materias científicas, sino como una competencia transversal que contribuye al desarrollo integral del alumnado. La interconexión entre distintas áreas del conocimiento refuerza la idea de que el aprendizaje no está compartimentado, sino que debe orientarse hacia una visión global e interdisciplinaria. En este sentido, fomentar el razonamiento matemático en todas las áreas del currículo es una estrategia clave para preparar a los estudiantes para los desafíos del mundo actual.

4.9.1. Cómo abordar el razonamiento matemático en cualquier área o materia

La propia estructura de la normativa educativa actual ayuda a la planificación y trabajo de las competencias clave desde varias áreas o materias. En la sección anterior, ya se ha descrito que la finalidad del sistema educativo es la adquisición de las Competencias Claves, siendo estas entendidas como desempeños que se consideran imprescindibles para que el alumnado pueda progresar con garantías de éxito en su itinerario formativo, y afrontar los principales retos y desafíos globales y locales (Decreto 100/2023, 101/2023 y 102/2023, de 9 de mayo). Entre estas competencias clave encontramos la competencia matemática y competencia en ciencia, tecnología e ingeniería (STEM). El elemento que propicia esta conexión entre las áreas y las materias con las competencias clave son los descriptores operativos. En cuanto a la dimensión aplicada de las competencias clave, se ha definido para cada una de ellas un conjunto de descriptores operativos, partiendo de los diferentes marcos europeos de referencia existentes.

Los descriptores operativos de las competencias clave constituyen el marco referencial a partir del cual se concretan las competencias específicas de cada área, ámbito o materia. Es por ello, que en las distintas órdenes de 30 de mayo de 2023 por las que se desarrolla el currículo correspondiente a las distintas etapas educativas, concretamente en el Anexo I en el caso de la etapa de Educación Infantil, Anexo II en Educación Primaria y el anexo III en el caso de Educación Secundaria Obligatoria, se puede encontrar la relación entre las competencias específicas de las cada área y materia con los descriptores operativos:

Una vez identificadas aquellas competencias específicas relacionadas con los descriptores operativos STEM, es el momento de hacer una lectura pedagógica de las mismas, intentando identificar las acciones de los descriptores operativos en las mismas. Esta información, permitirá diseñar tareas que contribuyan al desarrollo y adquisición de las competencias clave desde las distintas áreas o materias.

Posteriormente, se elige el criterio de evaluación más vinculado con el proceso de razonamiento matemático que se desea trabajar. Este criterio, a su vez, debe desglosarse en sus acciones evaluables, lo que permitirá determinar de manera precisa los aprendizajes que se quieren desarrollar.

Con toda esta información, se diseña una tarea o actividad competencial que fomente el razonamiento matemático dentro del área o materia correspondiente. Finalmente, se reflexiona sobre la relación entre la tarea diseñada y el desarrollo del razonamiento matemático, asegurando que la situación de aprendizaje plantee un problema real en el que el alumnado deba encontrar información desconocida mediante el razonamiento. No es suficiente el simple manejo de datos; es necesario que la actividad implique un proceso de análisis y toma de decisiones basado en la lógica matemática. Para facilitar este proceso, se recomienda problematizar la situación y enriquecerla competencialmente.

4.9.2. Cómo problematizar una situación y enriquecerla competencialmente.

La normativa educativa actual enfatiza la necesidad de integrar el aprendizaje basado en la resolución de problemas dentro de las diferentes áreas y materias del currículo. La LOMLOE establece en sus principios pedagógicos que, con el fin de fomentar la integración de las competencias, se dedicará un tiempo del horario lectivo a la realización de proyectos significativos para el alumnado y a la resolución colaborativa de problemas. Además, resalta que capacidades como la resolución de problemas o el pensamiento crítico no son habilidades generales de pensamiento, sino que se desarrollan cuando se asocian a conocimientos organizados y jerarquizados de cada materia.

En la Orden de 30 de mayo de 2023, por la que se desarrolla el currículo de Educación Infantil, se recoge en el área de Descubrimiento y Exploración del Entorno la necesidad de establecer relaciones entre aprendizajes, permitiendo al alumnado desarrollar progresivamente sus habilidades lógico-matemáticas. Siempre ligado a sus intereses y en conexión con lo colectivo, el acercamiento a la resolución de problemas lógico-matemáticos se plantea de manera natural a través de situaciones cotidianas.

En la etapa de Educación Primaria, la Orden de 30 de mayo de 2023, por la que desarrolla el currículo de esta etapa, se destaca que la resolución de problemas es una actividad esencial en la vida diaria que permite activar otros ejes del área de matemáticas, como el razonamiento y el pensamiento computacional, la representación de objetos matemáticos y la comunicación a través del lenguaje matemático. La resolución de problemas, además de ser un objetivo de aprendizaje en sí mismo, constituye un eje fundamental en la construcción del conocimiento matemático y en otras áreas del currículo mediante proyectos de diseño y aplicación del pensamiento computacional.

En Educación Secundaria, la Orden de 30 de mayo de 2023 incorpora la resolución de problemas en diversas áreas. En Educación Física, por ejemplo, se hace referencia a la "resolución de problemas en situaciones motrices" con un carácter transdisciplinar. En Tecnología y Digitalización, se enfatiza el desarrollo de habilidades para avanzar desde la identificación y formulación de un problema técnico hasta su solución constructiva. En Computación y Robótica, el currículo se centra en un marco de trabajo basado en la resolución de problemas, resaltando su vinculación con la vida cotidiana y su aplicabilidad en diversos contextos.

En el proceso de problematización, es esencial definir qué se entiende por problema. Según Rafaella Borasi, "un problema es una situación que muestra un determinado objeto y genera en un sujeto la necesidad de modificarlo". Esta definición implica presentar una situación suficientemente rica y abierta para motivar al alumnado, despertando en él la necesidad de transformación o acción. El estudiante debe percibir la situación como un desafío significativo que requiere su atención y resolución.

Desde la perspectiva de Isabel Echenique, "un problema es toda situación que presenta una dificultad o reto cuya solución no es inmediatamente evidente para quien la enfrenta y requiere poner en juego conocimientos, habilidades y estrategias para ser resuelta". De este modo, un problema debe plantear un reto intelectual que no pueda resolverse de manera automática o rutinaria. Además, implica la ausencia de una solución inmediata, ya que la respuesta no es obvia y requiere reflexión, análisis y creatividad. Por último, la resolución de problemas exige la movilización de recursos, como conocimientos previos, habilidades matemáticas y estrategias de resolución, favoreciendo así un aprendizaje más profundo y significativo.

Problematizar es un proceso cognitivo basado en la interacción entre preguntas y respuestas, que busca formular problemas significativos. Este enfoque considera las experiencias sociales y culturales del alumnado, permitiendo conectar el aprendizaje matemático con la realidad. (Santos Domite). De este modo, Sánchez Puentes destaca la conveniencia de centrarse en la problematización como proceso que desencadena generación de conocimiento científico.

De todo lo anterior, se pueden extraer las claves para problematizar:

1. Identificar una situación de partida.
2. Incluir incertidumbres o restricciones.
3. Relacionar con conocimientos previos.

Además, es aconsejable partir de una situación cotidiana que el alumnado pueda reconocer fácilmente, asegurando un vínculo con su entorno y contexto real. Estas situaciones pueden enriquecer el aprendizaje al integrarlas con diferentes áreas o materias. Uno de los aspectos más importantes consiste en transformar gradualmente esta situación en un problema matemático y multidisciplinar. Por ejemplo, en el caso anterior de la receta, se podría problematizar si el alumnado tiene que analizar la cantidad necesaria de cada uno de los ingredientes para elaborar el menú sano y equilibrado, calcular el presupuesto necesario para su elaboración o ajustar las cantidades para un número de comensales distinto al inicial.

4.9.3. Cómo enriquecer problemas competencialmente

El desarrollo competencial en matemáticas no solo implica resolver problemas, sino enriquecerlos para que generen un aprendizaje significativo. Para ello, debemos diseñar situaciones que no solo trabajen contenidos matemáticos, sino que desarrollen competencias clave como la resolución de problemas, el razonamiento lógico y el pensamiento crítico. En esta sección, exploraremos cómo potenciar los problemas diseñados en la sección anterior a través de los descriptores STEM.

Transformando problemas en oportunidades de aprendizaje competencial

En muchos entornos educativos tradicionales, el aprendizaje matemático ha estado ligado a la mecanización y memorización de fórmulas, sin un verdadero entendimiento del porqué. Sin embargo, en un aula basada en la enseñanza competencial, el error se considera una oportunidad de aprendizaje, la participación es clave y la conexión con la realidad se vuelve esencial. Esto es precisamente lo que buscamos al enriquecer problemas: transformar ejercicios rutinarios en retos significativos que fomenten la creatividad, la exploración y el aprendizaje autónomo.

Pautas para enriquecer problemas matemáticos

Para transformar una actividad matemática en una tarea rica desde el punto de vista competencial, podemos aplicar diferentes estrategias:

1. Profundizar en las conexiones

• Relacionar el problema con otros conceptos matemáticos o de otras áreas del conocimiento.
• Contextualizar la actividad en situaciones del mundo real.
• Integrar conocimientos de las disciplinas STEM (Ciencia, Tecnología, Ingeniería y Matemáticas).

2. Profundizar en la comunicación

• Modificar la información disponible: ocultar datos clave, agregar información irrelevante o proponer la búsqueda de datos.
• Fomentar la argumentación y la justificación de los procedimientos utilizados.
• Incorporar fuentes externas, como textos o recursos digitales, para enriquecer la resolución.

3. Profundizar en el razonamiento

• Alterar las preguntas para que el alumnado explore diferentes perspectivas del problema.
• Presentar respuestas y pedir a los alumnos que formulen preguntas que conduzcan a ellas.
• Plantear variaciones en los datos para analizar cómo influyen en la solución.

4. Profundizar en las representaciones

• Utilizar diversos niveles de abstracción: manipulativo, gráfico, simbólico.
• Proponer la representación del problema en distintos formatos (diagramas, tablas, gráficas, modelización matemática).
• Incorporar herramientas digitales para el análisis y representación de los datos.

5. Profundizar en las competencias socioafectivas

• Favorecer el trabajo cooperativo en la resolución de problemas.
• Desarrollar dinámicas de aprendizaje basado en juegos o gamificación.
• Crear espacios de debate y puesta en común donde el alumnado pueda argumentar sus soluciones.

6. Profundizar en el pensamiento computacional

• Diseñar algoritmos que representen los pasos de resolución.
• Incorporar programación o simulaciones para modelar soluciones matemáticas.
• Plantear problemas abiertos que requieran estructuras lógicas para su resolución.

Enriquecer problemas matemáticos a partir de los descriptores STEM no solo permite consolidar conocimientos matemáticos, sino que también desarrolla habilidades fundamentales para el siglo XXI. La clave está en ofrecer a los estudiantes retos auténticos, situados en contextos significativos, que fomenten la indagación, el trabajo colaborativo y el pensamiento crítico. Al adoptar este enfoque, transformamos las matemáticas en una herramienta poderosa para comprender y actuar en el mundo.

A continuación, se encuentran algunos ejemplos de cómo se puede trabajar el razonamiento matemático en otras áreas o materias de currículo.